北师大版九年级数学下册4 直角三角形的边角关系 复习导航

《直角三角形的边角关系》复习导航
一、复习目标
1.进一步理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明.
2.能够进行含有30°、45°、60°角的三角形函数值的计算.
3.能够借助计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角.
4.能够运用直角三角形的边角关系，解决与直角三角形有关的实际问题，加强学生的数学应用意识，使学生进一步体会到三角函数是解决实际问题的有效工具.
5.体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的数形分析问题和解决问题.
二、重点、难度
重点：锐角三角函数的概念、勾股定理及直角三角形的解法.
难点：锐角三角函数之间的关系及直角三角形的边角关系的实际应用.
三、知识要点回顾
1.在直角三角形中，一个锐角的________与________的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作________.
2.在直角三角形中，一个锐角的________与________的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作________.
3.在直角三角形中，一个锐角的________与________的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作________.
4..特殊角的三角函数值.
三角函数 30° 45° 60°
5.直角三角形中的常用关系式：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则有：
（1）三边之间的关系：_________（勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系：_________；
（3）边角之间的关系：
sinA=_______=，sinB=_________=，cosA=_________=，cosB=________=________，tanA=________=，tanB=________=_________.
6.视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_________的角叫做仰角，视线在水平线________的角叫做俯角.
7.如图1，把________与________的夹角叫做坡角（如图1中的∠）.
坡面的_________与________的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为i=________.
8.应用直角三角形的边角关系来解决实际问题时，要注意：
（1）在解直角三角形时，是用三角函数知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合的一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件作出它的平面或截面示意图，按照图中________之间的关系进行计算，这样可以帮助我们思考，防止出错.
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些________三角形和矩形，从而转化为_________三角形的问题来解决.
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”，并要按照题目中已知数据的精确到进行近似计算.
四、中考考点归纳
以下试题均为中考试题
考点1：锐角三角形函数的定义
例1 （浙江省湖州市）如图1，在中，∠ACB=90°，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
分析：因为BC=1，AB=2，所以由勾股定理可得AC=.故有sinA==，tanA=，cosB=，tanB=.
解：选D.
点评：解决这类问题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，找准对边、邻边和斜边.
考点2：特殊锐角的三角函数值
例2 (浙江省义乌市) 计算
分析：把题目中的三角函数值用实数表示出来，转化为实数的运算.
解：原式=4+1-2×=4.
点评：本题主要考查特殊角的三角函数值.熟练掌握30°、45°、60°三个特色锐角的三角函数值是正确解答这类问题的关键.为了保证运算结果的正确，必须熟练记清楚特殊角的三角函数值，避免混淆.最好不要寄希望于用到的时候临时推导，那样做会浪费宝贵的时间，也容易出错.
考点3：与锐角三角函数相关的计算
例3 （陕西省）如图2在梯形ABCD中，DC∥AB，DA=CB，若AB=10，DC=4，tanA=2，则这个梯形的面积是________.
分析：分别过D、C作梯形的高DE、CF.则易知EF=DC=4.AE=BF=（AB-EF）=3.则Rt△ADE中，因为tanA==2，所以DE=6.所以梯形ABCD的面积=×（4+10）×6=42.
解：填42.
点评：本题考查直角三角形的有关知识.解决这类问题的关键在于构造直角三角形以便于利用已知的三角函数值求解.
考点4：直角三角形边角关系的实际应用
例4 （山东省烟台市）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图3①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图3②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据）．
分析：要求出雕塑AB的高度，可过点C作CE⊥AB，构造出两个直角三角形，再根据已知设法求出AE、BE的长即可.
解：过点作于．
，
．
．
在中，
，
，
在中，
， （米）．
所以，雕塑的高度约为6.8米．
点评：这类问题的解题思路是构筑直角三角形模型，将所求的量的线段分开来求，再将其相加减，或者将两个直角三角形联系起来，通过列方程求解.
例5 （济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子.
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图4为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶的仰角，在点和塔之间选择一点，测出看塔顶的仰角，然后用皮尺量出、两点的距离为m,自身的高度为m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（，结果保留整数）.
（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影的长为m（如图5）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？
.
分析：（1）设CD的延长线交MN于E点，则MN的长转化为ME+EN，故只要求出ME的长即可.（2）是一道与方案设计有关的开放型问题，答案不唯一.
解:（1）设的延长线交于点，长为，则.
∵,∴.∴.
∵,∴,解得.
∴太子灵踪塔的高度为.
(2) ①测角仪、皮尺； ② 站在P点看塔顶的仰角、自身的高度.(注：答案不唯一)
点评：在设计方案问题中，要充分考虑各个实际量，尽量测量地面上的量或塔一侧的量等容易测量的，这样更能体现数学的价值.
考点5：与三角函数相关的综合题
例6 （浙江省嘉兴市）如图5，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的值；
（3）求证：．
分析：设法求出直线AB与x轴、y轴的交点坐标，即可求出tan∠OCD的值.
解：（1）由，解得，所以
（2），．
在△OCD中，，，
∴．　
（3）取点A关于原点的对称点，
则问题转化为求证．
由勾股定理可得，
，，，
∵，
∴△EOB是等腰直角三角形．
∴．　
∴．
点评：本题以平面直角坐标系中的一次函数为主线，涉及三角函数、坐标等知识，解题过程中体现了数形结合、方程等重要的是数学思想方法，是对多种数学知识的综合考查.
l
h
图1
B
C
A
图1
A
B
C
D
图2
E
F
D
C
B
A
②
①
图3
图4
图5
B
D
C
A
O
1
1
图5
y
x
E
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