(共24张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
2.2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象
2.二次函数y=ax2的性质
新知导入
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
9
4
1
0
1
9
4
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象
定义：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.
对称轴
定义：对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
顶点
图象开口向上，有最低点
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
问题1.2：根据所学知识，画出二次函数y=-x2的图像。
在y = -x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … …
-9
-4
-1
0
-1
-9
-4
课程讲授
-1
-2
-3
-4
-6
3
-9
-5
1
2
-3
4
5
y
O
x
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = -x2 的图象
2
二次函数y=ax2的性质
对称轴
顶点
图象开口向下，有最高点
课程讲授
-1
-2
-3
-4
-6
3
-9
-5
1
2
-3
4
5
y
O
x
2
二次函数y=ax2的性质
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
y = x2
y =- x2
课程讲授
1
二次函数y=ax2的图象
练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( )
C
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
问题1：根据y=x2和y=-x2的图像，试着探究二次函数y=ax2的性质.
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
y = x2
y =- x2
对称轴都是y轴
共同点：
顶点都是坐标原点
不同点：
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
问题2：在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
… …
y=2x2 … …
9
4
1
0
1
9
4
2
0.5
0
4.5
2
0.5
4.5
8
2
0
8
0.5
18
18
课程讲授
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
2
二次函数y=ax2的性质
y=x2
y=2x2
当a>0时，a越大，开口越小.
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
问题3：在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … …
… …
y=-2x2 … …
-9
-4
-1
0
-1
-9
-4
-2
-0.5
0
-4.5
-2
-0.5
-4.5
-8
-2
0
-8
-0.5
-18
-18
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
-1
-2
-3
-4
-6
3
-9
-5
1
2
-3
4
5
y
O
x
y=-x2
y=-2x2
当a<0时，a越大，开口越大.
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
二次函数y=ax2的性质：
（1）当a>0时，开口_____,顶点是抛物线的最____点，a越大，开口越____，x>0时,y随x取值的__________,当x<0时，y随x取值的___________；
（2）当a<0时，开口_____,顶点是抛物线的最____点，a越大，开口越____,x>0时,y随x取值的__________,当x<0时，y随x取值的___________.
低
向上
小
向下
高
大
增大而增大
增大而减小
增大而减小
增大而增大
课程讲授
2
二次函数y=ax2的性质
练一练：抛物线y=2x2，y=-2x2，y=x2的共同性质是（ ）
A.开口向上
B.对称轴是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
B
随堂练习
1.若点（x1，y1），（x2，y2）是二次函数y=-4x2图象上两点，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.y1≥y2 D.y1≤y2
2.已知抛物线y=ax2（a＞0）过点A（-2，y1），点B（1，y2），则下列关系式一定成立的是（ ）
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1
C.y1＞y2＞0 D.y1≤y2
B
C
随堂练习
3.如图，从y=-x2的图象上可看出当-3A.-9B.-9≤y<-1
C.-9≤y≤0
D.-9D
随堂练习
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= x2，③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________.（填序号）
①③②
随堂练习
5.二次函数y=ax2的图象如图所示.
(1)求这个二次函数解析式；
(2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个函数的解析式.
解 (1)因为图象经过(2,2)，代入解析式，
得a= ，
2
1
y=- x2.
2
1
故所求的解析式为y= x2.
2
1
(2)由题意得另一个函数的解析式为
随堂练习
6.二次函数y=ax2的图象与直线y=2x-1相交于点P（1，m）.
(1)求a，m的值;
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大；
（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
(3)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.
解 (1)将(1,m)代入y=2x-1，
得m=2×1-1=1.
所以点P的坐标为(1,1)，
将点P的坐标(1,1)代入y=ax2，得
1=a×12，
解得a=1.
(2)二次函数的表达式为y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
课堂小结
二次函数y=ax2的图象及性质
图象及性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）,开口向上
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0），开口向下
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
特性
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．(共18张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
2.2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
知识要点
1.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
2.抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移关系
新知导入
看一看：观察下列图形，试着发现它们的规律。
O
y
x
新知导入
看一看：观察下列图形，试着发现它们的规律。
O
y
x
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-4.5
-2
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-4.5
-2
问题1.1：在同一直角坐标系中，画出 ， 的图象.
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
-1
-2
-2
-4
-1
-3
1
2
y
O
x
3
4
-3
-4
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
-1
-2
-2
-4
-1
-3
1
2
y
O
x
3
4
-3
-4
问题1.2：在抛物线 的开口方向、顶点坐标和对称轴各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
-1
-2
-2
-4
-1
-3
1
2
y
O
x
3
4
-3
-4
向下
向下
（-1,0）
（1,0）
直线x=1
直线x=-1
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
练一练：在平面直角坐标系中，二次函数 的图象可能是（ ）
D
课程讲授
2
抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移关系
问题1：在抛物线 与 有什么关系？
-1
-2
-2
-4
-1
-3
1
2
y
O
x
3
4
-3
-4
课程讲授
2
抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移关系
归纳：
可以发现，把抛物线 向_____平移_____个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向_____平移_____个单位，就得到抛物线 .
左
1
右
1
课程讲授
2
抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移关系
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图像的关系：
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象____得到.
（1）当h>0时，y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象_________平移h个单位长度得到；
（2）当h<0时，y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象_________平移IhI个单位长度得到.
平移
右
左
课程讲授
2
抛物线y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移关系
练一练：把抛物线 向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
D
随堂练习
1.抛物线y=-(x+7)2的开口向_____,对称轴为__________，顶点坐标是_______；当______时，y随x的增大而增大;当_____时，y随x的增大而减小；当x=_____时，函数y有_____(填“最大”或“最小”)值.
2.已知函数y=-(x-1)2的图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1，y2的大小关系是y1_____（填“＞”“＜”或“=”）y2.
下
直线x=-7
（-7,0）
x＜-7
x＞-7
-7
最大
＞
随堂练习
5.对于函数y=-2(x-m)2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是直线x=m
C.最大值为0 D.与y轴不相交
D
3.抛物线y=-2(x+1)2可以由抛物线____________向______平移1个单位长度得到.
4.已知抛物线y=a(x-h)2向左平移2个单位长度后，所得抛物线y=-2(x+5)2，则a=______，h=______.
y=-2x2
左
-3
-2
随堂练习
6.在同一平面直角坐标系中，抛物线y=(x-a)2与直线y=a+ax的图象可能是（ ）
D
随堂练习
7.已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点(1,-3),求此二次函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大.
∴当x<2时，y随x的增大而增大.
解 ∵y=a(x-h)2当x=2时有最大值，
∴a<0,h=2.
∵函数的图象经过点(1,-3),
∴-3=a(1-2)2,
∴a=-3,
∴二次函数的解析式为y=-3(x-2)2,
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2的图象及性质
图象及性质
与 y=ax2的联系
对于抛物线y=a(x-h)2（a＞0）,开口向上，对称轴轴为 直线x=h，顶点坐标为（h，0），
当x>0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线y=a(x-h)2（a＜0），开口向下，对称轴轴为 直线x=h，顶点坐标为（h，0），
当x>0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
二次函数y=a(x-h)2的图象可以由 y=ax2 的图象沿x轴左、右平移得到.
括号内：左加右减(共17张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
2.2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
知识要点
1.二次函数y=ax2+k的图象
2.二次函数y=ax2+k的性质
新知导入
看一看：观察下列图形，试着发现它们的规律。
O
y
x
新知导入
看一看：观察下列图形，试着发现它们的规律。
O
y
x
课程讲授
1
二次函数y=ax2+k的图象
问题1.1：在同一直角坐标系中，画出y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象.
x … -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 …
y=2x2+1 … …
y=2x2-1 … …
9
3
1.5
1
1.5
9
3
7
1
-0.5
-1
-0.5
7
1
课程讲授
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
y=2x2+1
y=2x2-1
1
二次函数y=ax2+k的图象
课程讲授
1
二次函数y=ax2+k的图象
问题1.2：在抛物线y=2x2+1 ，y=2x2-1的开口方向、顶点坐标和对称轴各是什么？
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
二次函数 y=2x2+1 y=2x2-1
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,1）
（0,-1）
y轴
y轴
y=2x2+1
y=2x2-1
课程讲授
1
二次函数y=ax2+k的图象
练一练：二次函数y=-2x2+3的图象大致为( )
C
课程讲授
问题1：在抛物线y=2x2+1 ，y=2x2-1与y=2x2有什么关系？
-1
-2
-3
9
3
6
1
2
3
y
O
x
2
二次函数y=ax2+k的性质
y=2x2+1
y=2x2-1
y=2x2
课程讲授
1
二次函数y=ax2+k的图象
归纳：
可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移_____个单位，就得到抛物线y=2x2+1；把抛物线y=2x2向_____平移_____个单位，就得到抛物线y=2x2-1 .
上
1
下
1
课程讲授
2
二次函数y=ax2+k的性质
二次函数y=ax2+k与y=ax2的图像的关系：
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象____得到.
（1）当k>0时，y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象_________平移k个单位长度得到；
（2）当k<0时，y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象_________平移IkI个单位长度得到.
平移
向上
向下
课程讲授
2
二次函数y=ax2+k的性质
练一练：对于二次函数y=2x2+3，下列说法中错误的是（ ）
A.最小值为3
B.对称轴是y轴
C.图象与x轴没有公共点
D.当x＜0时，y随x的增大而增大
D
随堂练习
1.抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )
A.直线x=1 B.直线x=-2
C.y轴 D.直线x=2
2.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )
A.y=(x-1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1
D.y=x2+3
C
C
随堂练习
3.若有二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x=x1+x2时，函数值为（ ）
A.a+c B.a-c C.-c D.c
4.在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
D
D
随堂练习
5.已知y=x2+k的图象上有三点A(-3,y1),B（1，y2）,C（2,y3），则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3
B.y3>y2>y1
C.y1>y3>y2
D.y3>y1>y2
6.若点(x1,y1)和(x2,y2)在二次函数 的图象上，且x17.抛物线y=ax2+(a-3)的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是__________.
C
y1>y2
a<3
随堂练习
8.已知二次函数y=-x2+4.
（1）当x为何值时，y随x的增大而增大？
（2）当x为何值时，函数y有最大值？最大值是多少？
（3）求函数图象与x轴、y轴交点的坐标.
（3）与x轴的交点坐标是（2，0）（-2，0），
解 （1）x＜0.
（2）当x=0时，y有最大值，最大值为4.
与y轴的交点坐标是（0,4）.
课堂小结
二次函数y=ax2+k的图象及性质
图象及性质
与 y=ax2的联系
对于抛物线 y = ax 2+k （a＞0）,开口向上，对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k），
当x>0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +k（a＜0），开口向下，对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k），
当x>0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象沿y轴上、下平移得到.k正向上平移；k负向下平移.(共20张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
2.2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
知识要点
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
2.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
新知导入
看一看：观察下列图形，试着发现它们的规律。
O
y
x
O
y
x
可以看成抛物线向左、向下移动
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
问题1.1：画出函数 的图像.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
-1
-2
-3
-4
-2
3
-4
-5
-1
-3
-5
1
2
4
5
y
O
x
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
问题1.2：根据函数的图像，指出它的开口方向、顶点与对称轴.
-1
-2
-3
-4
-2
3
-4
-5
-1
-3
-5
1
2
4
5
y
O
x
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向下
（-1,-1）
直线x=-1
课程讲授
1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
练一练：如图，函数 的图象大致是（ ）
C
课程讲授
问题1.1：怎样移动抛物线 得到这个函数图像？
-1
-2
-3
-4
-2
3
-4
-5
-1
-3
-5
1
2
4
5
y
O
x
2
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
课程讲授
问题1.2：你还有其他的平移方法吗？
2
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
-1
-2
-3
-4
-2
3
-4
-5
-1
-3
-5
1
2
4
5
y
O
x
课程讲授
2
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
归纳：
可以发现，把抛物线 向_____平移_____个单位，再向_____平移_____个单位，就得到抛物线 .
下
1
左
1
课程讲授
2
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像的关系：
二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由 y=ax2 的图象____得到.
y = a (x - h)2 + k
平移
上、下平移
左、右平移
课程讲授
2
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
练一练：将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A.y=(x+2)2-5
B.y=(x+2)2+5
C.y=(x-2)2-5
D.y=(x-2)2+5
A
课程讲授
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二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
课程讲授
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二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移关系
解 如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴， 水管所在直线为y轴，建立直角坐标系,
3
1
2
y/m
x/m
O
3
2
1
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0)，可得
0=a(3－1)2＋3.
解得
3
4
a=－
因此
当x=0时,y=2.25.
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
也就是说，水管长应为2.25m.
随堂练习
1.抛物线y=-2(x-3)2-4的顶点坐标为（ ）
A.（-3，4） B.（-3，-4）
C.（3，-4） D.（3，4）
2.将抛物线y=-5x2+1向左移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A.y=-5(x+1)2-1
B.y=-5(x-1)2-1
C.y=-5(x+1)2+3
D.y=-5(x-1)2+3
C
A
随堂练习
3.对于抛物线 ，有下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(-1,3);
④x>1时，y随x的增大而减小.
其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
随堂练习
4.如图是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是_________.
（1,0）
随堂练习
5.将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为_____________.
6.将抛物线 沿____轴向____平移_____个单位长度，再沿____轴向_____平移______个单位长度得 .
y=2x2
x
右
y
4
上
2
随堂练习
7.在直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当-3解 (1)∵二次函数的图象的顶点为A(1，-4)，
当1∴0=a(3-1)2-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4.
∴该二次函数为y=a(x-1)2-4.
∵该二次函数的图象过点B(3，0),
(2)∵y=(x-1)2-4,
∴其对称轴是直线x=1，
∴当-3课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k的图象及性质
图象及性质
与 y=ax2的联系
对于抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）,开口向上，对称轴轴为 直线x=h，顶点坐标为（h，k），
当x>h时，y随x取值的增大而增大；
当x对于抛物线y=a(x-h)2+k（a＜0），开口向下，对称轴轴为 直线x=h，顶点坐标为（h，k），
当x>h时，y随x取值的增大而减小；
当x一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
