第二章 二次函数
《二次函数的图象与性质（第3课时）》学案
学习内容:北师大版九年级下册第二章第二节第3课时.
学习目标: 会画二次函数和的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线的图象的关系，理解对二次函数图象的影响.
学习重点: 二次函数的图象与性质.
学习难点: 二次函数图象与图象之间的关系，对二次函数图象的影响.
学习过程:
回忆一下：
二次函数的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .
二次函数的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由的图象向 平移 个单位得到.
探究一：的图象和性质
独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.
1、 完成下表：
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
观察上表，比较与的值，它们有什么样的关系？
2、在同一坐标系中作出与的图象. 完成后同伴交流：你是怎样作的
3、结合图象，议一议
交流：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随值的增大而增大？当取哪些值时，的值随值的增大而减小？
4、结论:将的图象向 平移 个单位就得到的图象.
5、猜一猜：的图象是怎么样的？它的图象与的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
猜测：将的图象向 平移 个单位就得到的图象.
结论：二次函数、、的图象都是 ，并且形状 ，只是位置不同.将的图象向 平移 单位,就得到的图象; 将的图象向 平移 单位,就得到的图象.
探究二：的图象和性质
1、小组活动：
（1）合情推理：由二次函数的图象，你能得到，，的图象吗？你是怎么样得到的？
将的图象向 平移 单位,就得到的图象；
将的图象向 平移 单位,就得到的图象；
将的图象先向 平移 单位, 再向 平移 单位,就得到的图象.
（2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化.
（3）议一议：二次函数的图象与有什么关系？
2、总结规律,填写表格:
图象特征二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>o ay=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
(1) 的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线
(3)顶点坐标是
随堂练习
课本习题2.4 1、2、3
拓展提高：
1)若抛物线y=－x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________
2)如何将抛物线y=2(x－1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2？
3) 将抛 物线y=2(x －1) 2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2) 2－1？
4)若抛物线y=2(x－1) 2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______ _.
1 / 32.2 二次函数的图象与性质（1）
学习目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验。掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。
学习重点:
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好。只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节。
学习难点:
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质。
学习方法：
探索——总结——运用法。
学习过程:
一、作二次函数y=x的图象。
二、议一议：
1．你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2．图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3．当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4．当x取什么值时，y的值最小？
5．图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、y=x的图象的性质：
四、做一做：
y=－x2的图象是什么形状的？先想一想，然后再画出y=－x2的图象。它与y=x2的图象有什么相同点与不同点？
【例1】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
五、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 。
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= 。
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到。
六、课后练习
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 。
2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点。
3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上。
4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标。
5．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
6．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
1 / 3§2.2 二次函数的图象与性质（一）
学习目标：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验；
学习重点：根据图象认识和理解二次函数和的性质和异同；
学习难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系。
学习过程：
一、学前准备
函数名称 正比例函数 反比例函数
函数解析式
画出图象
图像名称
增减性
二、师生探究
（一）独立思考，解决问题
作出二次函数的图象：
（1）列表：观察的表达式，选择适当的值，填写下表：
（2）描点：在直角坐标系中描点：
（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象
（二）师生探究，合作交流
1.观察上面的图像，回答下列各题
（1）试描述图象的形状、开口方向
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当x＜0时，x增大，y如何变化？x＞0时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小的值是什么？你是如何知道的？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找出几对对称点？
2．下面我们系统地总结一下．
的图象的性质．
(1)图像形状是 ，开口方向是 ．
(2)它的图象有最 点（填高或低），最 点坐标是( )．
(3)它是 对称图形，对称轴是 ．
在对称轴左侧，y随x的增大而 ；
在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的 ，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最低点，所以函数有最 值(填大或小)，即当时，．
3．在上面同一个直角坐标系中作出二次函数的图象
4.对比上面两个函数的图象与性质，填写下表：
函数表达式（抛物线）
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
三、学习体会
本节课你的收获：
本节课你的疑惑：
四、自我测试
1.关于函数图像的说法：①图像是一条抛物线；②开口向上；③ 是轴对称图形；④过原点；⑤对称轴是轴；⑥随增大而增大；正确的有 ;
2.关于抛物线和，下面说法不正确的是（ ）
A、顶点相同 B、对称轴相同 C、开口方向不相同 D、都有最小值
3.直线与抛物线有（ ）
A、1个交点 B、 2个交点 C、 3个交点 D、 没有交点
4.已知点A（－2，），B（4，）在二次函数的图象上，则
.
5.若＞1，点、、都在函数的图像上，
判断的大小 .
6.设边长为的正方形的面积为，是的 二次函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）
五、应用与拓展
1.点(2，4)在二次函数的图像上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标、关于原点的对称点的坐标,点、、在二次函数的图像上吗？在二次函数的图像上吗？
2.已知抛物线经过点A（1，－4），
求（1）函数的关系式；（2）＝4时的函数值(3)＝－8时的的值。
1 / 4§2.2二次函数的图象与性质（4）
学习目标
1．会用配方法把转化成的形式，确定抛物线的顶
点和对称轴。
2.会用公式确定抛物线的顶点坐标，对称轴。
学习过程
一、知识链接：
1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。
2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：
例1、求二次函数的图象的对称轴和顶点坐标。
提示：化成的形式！
思考：怎样能把二次函数转化成的形式呢 我们先来看几个练习题：
填空：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方．
思考：当二次项的系数不为1时，应怎么办呢
利用提公因式法，先把二次项的系数化成1，再用上述方法．
下面，我们就一起来看一个具体的问题：
画函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
分析：首先要用配方法将函数写成的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线．
解：
；
画图略，所以它的对称轴是 ， 顶点是 。
例2 通过配方求抛物线的对称轴和顶点坐标．
解：
所以，抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 。
做一做
两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y 轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
三、巩固练习
1、完成课本P41随堂练习
四、归纳小结：
y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a（x－h）2 y＝a（x－h）2＋k y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
五、当堂测评
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．
5．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
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