(共11张PPT)
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
（第2课时）
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x 轴的上方
在x 轴的下方
向上
向下
最小值为0
最大值为0
二次函数y=x2 与y=-x2的性质
如图所示
如图所示
复习
二次函数 y=2x2 的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系
函数y=ax 的图象
在同一坐标系中作出二次函数y=x2和y=2x2的图象。
想一想
比较二次函数y=x2和y=2x2的图象。
⑴完成下表,并比较x2和2x2的值,它们之间有什么关系
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
x2 … …
2x2 … …
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=x2和y=2x2的图象
做一做
4
1
2.25
0.25
0
0.25
1
2.25
4
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
议一议
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
y=x2
y=2x2
二次函数 的图象是什么形状？它与二次函数 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
二次项系数a>0,
开口都向上;对
称轴都是y轴;
增减性也相同.
顶点都是
原点(0,0).
只是开口
大小不同.
二次函数y=2x2的
图象形状与y=x2
一样,仍是抛物线.
说一说
想一想,在同一坐标系中作二次函数y= x2的图象,会是什么样
y=x2
y=x2
在直角坐标系中，画出函数 的图象．观察它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？
y=2x2
y=x2
不同点：
a 越大，抛物线的开口越小．
说一说
相同点：
(1)开口都向上;
(2)顶点是原点而且是抛物线的最低点;
(3)对称轴是y轴.
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
在直角坐标系中画出y=2x2+1的图象，说说你是怎样画的？与同伴交流
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
2x2+1 …
二次函数y=2x2+1的图象与y=2x2的图象有什么关系？
它是什么形状 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
二次函数y=2x2+1的图象与y=2x2的图象有什么关系？
它是什么形状 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
二次函数y=2x2+1的
图象形状与y=2x2
一样,仍是抛物线.
二次项系数a>0,
开口都向上;对
称轴都是y轴;
增减性也相同.
函数y=2x2
顶点(0,0).
函数y=2x2+1
顶点(0,1).
二次函数y=2x2-1的图象呢？
归纳小结
y=ax2
c>0
c<0
下移
上移
y=ax2+c
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>o ay=ax2
y=ax2+c
向上
向上
向下
向下
y轴
y轴
（0，0）
（0，c）
习题2.3
祝你成功！
独立作业(共38张PPT)
2.2 二次函数的图象与性质（1）
01
02
03
学习目标
旧知回顾
新知探究
04
拓展应用
随堂练习
06
05
课堂小结
1．经历探索二次函数图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2.能用描点法画出二次函数的图象，并能根据二次函数的的图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
是常数,a≠0)
1．定义：一般地,形如______________________
2．我们学习过哪些函数？
y =ax +bx+c(a、b、c
____________的函数叫做x 的二次函数.
y = ax + bx +c (a≠0)
二次函数
y = k x+ b (k≠0)
y = k x (k≠0)
一次函数
变量之间的关系
函数
反比例函数
正比例函数
y = (k≠0)
3.一次函数的图象是 ．
4.反比例函数的图象是 .
双曲线
5.二次函数的图象是什么形状呢？
一条直线
6.通常怎样画一个函数的图象？
(1)观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y 值，完成下表：
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x … …
y … …
9
4
9
0
1
4
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
(1)你能描述图象的形状吗？
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
(1)你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
(3)当x<0时，随着x值的增大， y的值如何变化？当x>0时呢？
当 x<0 时，y随着x的增大而减小．
当 x>0 时，y随着x的增大而增大．
(4)当x取什么值时,y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
对称点有很多，如：
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
二次函数y=x2的图象的顶点是原点，它是图象的最低点．
x
y
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
y=x2
(6)图象与对称轴有交点吗？
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
二次函数y=ax2的图象特点：
(1)图象是一条抛物线，开口向上；
(2)原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；
(3)图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大.
探究2 作出二次函数y = -x2 的图象．
(1) 列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-9
-4
-1
-1
-4
-9
0
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=-x2 的图象.
y
x
-1
-2
-3
O
1
2
3
-6
-7
-8
-3
-4
-5
-9
-1
-2
y=- x2
(1)二次函数 y=-x2 的图象是一条抛物线．
(2)图象与x 轴交于原点(0，0)．原点是图象的顶点，也是最高点.
y
x
-1
-2
-3
O
1
2
3
-6
-7
-8
-3
-4
-5
-9
-1
-2
y=- x2
(5)当x <0时，y 随 x 的增大而增大；当x >0时，y 随 x 的增大而减小．
(3)当 x=0时，y最大值 = 0
(4)图象关于 y 轴对称．
2．顶点坐标；
1．对称轴；
3．开口方向；
二次函数 y=±x2 的图象和性质：
4．增减性；
5．最值.
y
x
o
y=x2
y=－x2
抛物线 y = x2 y = - x2
图象
对称轴
顶点
开口方向
增减性
最值
y
x
o
y
x
o
在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小
y 轴
开口向上
开口向下
y 轴
原点（最低点）
原点（最高点）
当x=0时,最大值为0
在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右
侧,y随着x的增大而增大
当x=0时,最小值为0
相同点：
y
x
o
y=x2
y=－x2
3)形状完全相同．
1)顶点都是原点；
2)对称轴都是 y 轴；
探究3 二次函数y=±x2(a≠0)的图象和性质：
y
x
o
y=x2
y=－x2
不同点:
1．开口方向不同；
2．y 随 x 值的变化趋势不同；
3．最值不同．
y
x
o
y=x2
y=－x2
函数 y = - x2 的图象与函数 y = x2 的图象关于 x 轴对称．
联系：
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数 y =a x + b x + c 的图象叫做抛物线 y =a x + b x + c .
每条抛物线都有对称轴，顶点是抛物线的最低点或最高点．
2．点 A(2，a)，B(b，9)在抛物线y=x2 上，则 a = ，b = ．
4
±3
1．抛物线 y=ax2 与 y=x2 的开口大小、形状一样、开口方向相反，则 a = .
-1
4．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________．
减小
3．若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于y 轴对称点的坐标是 ．
(-2，4)
5．已知a＜－1,点（a－1,y1）、（a,y2）、（a＋1, y3）都在函数y=x2 的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
C
观察图象，在 y 轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，所以 y3＜y2＜y1.
y1
y2
y3
也可以用特殊值法计算得到答案．
分析：用数形结合的思想解决问题．
a
S
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
6．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
解：
S = a2(a>0)
列表：
a 0 1 2 3 …
S …
0
1
4
9
描点并连线．
S=a2
二次函数 y= x2 和y=- x2的图象与性质．
抛物线 y = x2 y = - x2
图象
对称轴
顶点
开口方向
增减性
最值
y
x
o
y
x
o
在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小
y 轴
开口向上
开口向下
y 轴
原点（最低点）
原点（最高点）
当x=0时,最大值为0
在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右
侧,y随着x的增大而增大
当x=0时,最小值为0
二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.请看下面的一些例子：
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
（g为定值）
2
1
2
S gt
=
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.(共24张PPT)
第二章 二次函数
01
02
03
学习目标
旧知回顾
新知探究
04
课堂小结
随堂练习
05
1.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质．能正确说出 y=ax2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.能够作出函数y=ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=ax2+k的性质．能说出y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.知道y=ax2与y=ax2+k的图象的关系.
二次函数 的图象特点：
(1)图象是一条抛物线，开口向上；
(2)原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；
(3)图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
二次函数 的图象特点：
(1)图象是一条抛物线，开口向下；
(2)原点（0,0）是图象的顶点，也是最高点，当x=0时，函数y有最大值0；
(3)图象是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
探究1:画二次函数y=2x2的图象
(1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y＝2x2 … …
(2)画出y=2x2的图象：
8
2
0
2
8
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状
它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.
2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:
(1)开口方向相同,都向上.
(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).
(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).
(4)在y轴左侧,y值随x值的增大
而减小；在y轴右侧,y值随x值
的增大而增大.
(5)都有最低点,即原点.
函数都有最小值.
y=x2
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
3.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:
(1)两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.
y=x2
【想一想】
在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
探究2:画出y= x2的图象
（1）画出y= x2的图象.
y=x2
（2）它与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
相同点:
(1)开口方向相同,都向上.
(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).
(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).
(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.
(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
不同点：
y= x2的图象在y=2x2和y=x2的图象的外侧，开口较大.y= x2中函数值的增长速度较慢.
【想一想】
在同一坐标系中作二次函数y=- x2、y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样
思考：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？
开口大小：
由a的大小（绝对值）决定——|a|越大，抛物线的开口越小.
开口方向：
由a的正负决定——正，开口向上；负，开口向下.
二次函数y=ax2的图象与性质
图像
开口
对称性
顶点
增减性
最值
开口向上
开口向下
│a│越大，开口越小
关于y轴对称（或直线x=0）对称
顶点坐标是原点
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
当x=0时，函数y有最大值，为0
当x=0时，函数y有最小值，为0
探究3:画二次函数y＝2x2+1的图象
（1）画出y=2x2+1的图象.
（2）它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
1.相同点:
(1)图象都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.
(2)它们都是轴对称图形,且对称轴都是y轴.
(3)在y轴左侧,y随x的增大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而增大.
(4)都有最低点,y都有最小值.
探究3:画二次函数y＝2x2+1的图象
（1）画出y=2x2+1的图象.
（2）它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
2.不同点:
(1)它们的顶点不同:y=2x2的顶点在原点,顶点坐标为(0,0); y=2x2+1的顶点在y轴上,顶点坐标为(0,1).
(2)最小值不同,y=2x2的最小值为0,y=2x2+1的最小值为1.
探究3:画二次函数y＝2x2+1的图象
（3）它与二次函数y=2x2的图象有什么联系
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数y=2x2+1的图象.
二次函数y=2x2和y=2x2+1的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.
【想一想】
怎样有函数y=2x2的图象得到函数y=2x2-1的图象？
归纳概括
1.二次函数y=ax2+k（a、k为常数，a≠0）的图象性质是什么？
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
y轴
(0，k)
开口向上
开口向下
当x=0时，y最小值=k
当x=0时，y最大值=k
(0，k)
y轴
当x＜0时，
y随着x的增大而减小；
当x＞0时，
y随着x的增大而增大.
当x＜0时，
y随着x的增大而增大；
当x＞0时，
y随着x的增大而减小.
2.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
抛物线
抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的形状相同；
而在画某个函数的图象时，可以用描点法，也可以由与之形状相同的函数的图象平移得到．其平移规律如下：
抛物线
当k＞0时，向上平移k个单位
当k<0时，向下平移│k│个单位
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( )
A.y=-x+1 B.y=x2-1
C.y= D.y=-x2+1
解析:A.y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错误;
B.y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正确.
C. y= ,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错误.
D. y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而增大,错误.
故选B.
B
解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是 ( )
A.直线x= B.直线x= - C.y轴 D.直线x=2
C
解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.
3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是 .
解析:抛物线y=4x2与抛物线y= - 4x2的图象形状、大小、顶点坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.
4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于 轴对称.
x
a>2
5.已知二次函数 .
（1）写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值．
（2）若点（x1、y1）、（x2，y2）在该二次函数的图象上，且x1 > x2 >0，试比较y1 与y2的大小关系．
（3）抛物线 可以由抛物线 平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
解：（1）因为a＝ ＜0，所以它的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，4)，当x＝0时，y最大值＝4.
（2）因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x＞0时，y随x的增大而减小．所以当x1 > x2＞0时， y1 （3）抛物线 可以由抛物线 平移得到，其平移方法是：将抛物线 向下平移5个单位.
二次函数y=ax2的图象与性质
图像
开口
对称性
顶点
增减性
最值
开口向上
开口向下
│a│越大，开口越小
关于y轴对称（或直线x=0）对称
顶点坐标是原点
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
当x=0时，函数y有最大值，为0
当x=0时，函数y有最小值，为0
二次函数y=ax2+k的图象性质：
当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x=0时，取得最小值，这个值等于k；
当a<0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x=0时，取得最大值，这个值等于k.
当k＞0时，向上平移k个单位
当k＜0时，向下平移│k│个单位
2.抛物线平移规律：
抛物线
抛物线
