第二章 二次函数
《二次函数的图象与性质（第1课时）》
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.
学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
二、教学任务分析
教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质.为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够利用描点法画函数的图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质．
2．猜想并能作出的图象，能比较它与的图象的异同．
过程与方法
1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数的图象及性质，对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质.
教学难点：由的图象及性质对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点.
三、教学过程分析
（一）创设问题情境，引入新课
［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为（其中均为常数且）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.
（二）新课讲解
1、作函数的图象
［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？
［生］记得. 列表，描点，连线.
［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出的图象.
（1）列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）在直角坐标系中描点.
（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.
［师］同学们有没有什么疑惑？
［生］老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？
［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.
[生]老师，我明白了.
2、议一议
对于二次函数的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当时，随着值的增大，的值如何变化？当时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.
［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.
（2）图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.
（3）当时，图象在y轴的左侧随着值的增大，y的值逐渐减小；当时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大.
（4）观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值为0.
（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是轴，从刚才的列表中可找到对应点（－1，1）和（1，1）；（－2，4）和（2，4）；（－3，9）和（3，9）.
［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.
3、的图象的性质
［师］二次函数，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：
［生］（1）最低点坐标是（0，0）.
（2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.
（3）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.
（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小值＝0.
4、做一做
PPT显示：二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数的图象有什么关系？与同伴进行交流.
［师］请大家按照画图的步骤作出函数的图象.
［生］的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于轴对称.
［师］下面我们试着讨论的图象的性质.
［生］（1）抛物线的开口方向是向下.
（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.
（3）它是轴对称图形，对称轴是轴.在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小.
（4）图象与轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.
（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当时，最大值＝0.
［师］大家总结得非常棒.
5、函数与的图象的比较.
我们观察函数与的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.
不同点：
（1）开口方向不同，开口向上，开口向下.
（2）函数值随自变量增大的变化趋势不同，在图象上，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大。在图象上，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小.
（3）在中有最小值，即时，y最小值＝0；在中，有最大值.即当时，最大值＝0.
（4）有最低点，有最高点.
相同点：
（1）图象都是抛物线.
（2）图象都与轴交于点（0，0）.
（3）图象都关于轴对称.
联系：它们的图象关于轴对称.
6、思考拓展.
［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？
［生］从和两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？
［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象、（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象、（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？
［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.
［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.
［师］说得非常好，对于这类二次函数来说，与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）
设计思路：
先通过列表描点连线初步得到的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.
（三）布置作业
1 / 6第二章 二次函数
《二次函数的图象与性质（第3课时）》
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础
学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数、函数的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数 的图象和性质.
学生活动经验基础
在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质.
二、教学任务分析
根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下：
知识与技能：学生会画出特殊二次函数和的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线的图象的关系，理解对二次函数图象的影响.
过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.
情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点：二次函数的图象与性质.
教学难点：二次函数图象与图象之间的关系，对二次函数图象的影响.
三、教学过程分析
学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性.
第一环节: 提出问题,引入新课
1、回忆一下：
二次函数的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .
二次函数的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由的图象向 平移 个单位得到.
2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，与，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点都是原点．还知道的图象是函数的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数的图象左右移动呢 它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢 本节课我们就来研究有关问题．
设计意图：
复习前两节课内容，唤醒学生的记忆，并提出问题，为下面的教学作准备.
第二环节: 合作探究,发现和验证
探究一：的图象和性质
学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.
1、 完成下表：
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
观察上表，比较与的值，它们有什么样的关系？
2、在同一坐标系中作出与的图象.
同伴交流：你是怎样作的
3、结合图象，议一议
交流：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随值的增大而增大？当取哪些值时，的值随值的增大而减小？
4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数与的图象之间的关系呢
5、猜一猜：的图象是怎么样的？它的图象与的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
讨论交流后得出结论：二次函数、、的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将的图象向右平移一个单位,就得到的图象; 将的图象向左平移一个单位,就得到的图象.
设计意图：
通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.
先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.
注意事项：
小组合作探究，让学生先独立完成图象，再交流探讨作法和探讨性质，教师注意学生画二次函数图象的规范性.
同伴交流时,教师注意让学生多角度地观察图象特点,同时注意小组内辅导有困难的学生.
要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系.
探究二：的图象和性质
1、小组活动：
（1）合情推理：由二次函数的图象，你能得到，，的图象吗？你是怎么样得到的？
（2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化.
（3）议一议：二次函数的图象与有什么关系？
2、总结规律,填写表格:
图象特征二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>o ay=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
设计意图:
经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力， 有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.
注意事项:
在学生自觅知识、自悟性质的过程中，教师要关注学生是否能建立二次函数图象与表达式之间的联系，是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化.
第三环节: 启发引导,形成结论
总结:目前为止，二次函数图象我们共研究了哪些类型？从解析式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？
学生交流后得出结论:
当h>0时，向右平移|h| 个单位长度 当k>0时，向上平移|k| 个单位长度
当h<0时，向左平移|h| 个单位长度 当k<0时，向下平移|k| 个单位长度
第四环节: 巩固提高,拓展延伸
随堂练习：
1、 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2、对于二次函数，它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
3、 怎样由的图象得到函数的图象？当取哪些值时，的值随值的增大而增大？当取哪些值时，的值随值的增大而减小？
拓展提高：
1)若抛物线y=－x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________
2)如何将抛物线y=2(x－1)2 +3经过平移得到抛物线y=2x2？
3)将抛 物线y=2(x －1) 2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2) 2－1？
4)若抛物线y=2(x－1) 2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______ _.
设计意图: 练习基础题，及时对全班同学进行巩固，帮助学生对所学的知识进行理解. 由于学生层次不一，练习的设计充分考虑到学生的个体差异，满足不同层次学生的学习需求，
第五环节: 当堂检测
就本节课的学习内容对学生进行八分钟的当堂测试.
设计意图: 进一步巩固学生所学内容，根据学生的检测情况调整下一步的教学.
四、教学反思分析
三维目标分析
本课是《二次函数的图象与性质》的第三课时，学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数、函数的图象和性质，学生要在这节课中，在二次函数和的图象的基础上，进一步研究和的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．这是对前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习函数的基础.同时, 二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力.由此, 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，特制定以下三维目标：第一个层面是基础知识与能力目标：学生会画出特殊二次函数和的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线的图象的关系，理解对二次函数图象的影响；第二个层面是过程和方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力；第三个层面是情感、态度和价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
学法分析
要想根据图象对二次函数的性质进行分析,积累研究函数性质的经验,必须有动手做的过程.这个做的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想象、推理、验证、思考的过程，只有在这样的过程中，学生才能把握二次函数图象和性质的本质，建立函数观念.虽然本课内容多，学生要列表、画图，归纳性质，但一定要让学生充分地活动，一定要在学生经历画图、观察、概括的基础上，让学生自觅知识、自悟性质.另外,为使学生能够从多个角度看问题,进而比较准确地理解二次函数的性质,要尽可能多地运用小组活动的形式,因此,这节课采用的学法是小组合作学习,让学生画图、图象观察、列表对比、自己发现结论的学习方法，使学生通过本节课的学习，进一步理解数形结合,从特殊到一般的思想方法.
教法分析
学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性.由此，本节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式.本课时还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！
课堂教学中的几个注意
学生在猜一猜的环节中,可能猜想的结果或许很多，老师不要急于表态，而是要引导学生画图验证，从而使学生经历猜想、验证等数学活动，形成自己对本节课重点内容的理解和有效的学习策略，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力，加深对数学学习的体验，进一步突破重难点.
在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系, 是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化. 要引导学生从感性认识上升到理性认识.
y=a(x-h) 2
y=ax2
y=a(x-h)2+k
1 / 8第二章二次函数
《二次函数的图象与性质（第 4 课时）》
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：已经能够正确说出y=ax2、y=ax2+c、y=a(x-c) 2、
y=a(x-h) 2+k 图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，特别是对y=a(x-h) 2+k 形式的函数有感性认识，知道特定的形式反映特定的几何特征.
学生活动经验基础：学生已经熟练掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，学生能够根据以往画y=ax2、y=ax2+c、y=a(x-c) 2、y=a(x-h) 2+k图象的经验理解y=a(x-h) 2+k与y=ax2的图象的关系.
二、教学任务分析
进一步对a、h、k 响影二次函数图象产生感性认识，进一步体会建立
y=a(x-h) 2+k形式的必要性，能够利用二次函数顶点式解决实际问题，鼓励学生利用类比等方法探究数学问题，认识到真理来源于实践，又能指导实践.具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．经历探索二次函数y =ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程；
2．推导二次函数y =ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式；
3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题.
过程与方法
1．体会建立二次函数y =ax2+bx+c对称轴和顶点坐标公式的必要性；
2．在学习y =ax2+bx+c的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性.
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识.
教学重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题.
教学难点：用配方法推导y =ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式
三、教学过程分析
本节课分为五个环节：复习练习、引入课题学习y =ax2+bx+c的顶点坐标公式并加以练习、链接生活解决问题、小结、布置作业
第一环节 复习练习
活动内容：说出y=ax2、y=ax2+c、y=a(x-c) 2、y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标.
活动目的：对前面知识作回顾， 温故而知新， 为后面学生学习y =ax2+bx+c的顶点公式作铺垫.
实际教学效果：学生知道特定的函数形式反映特定的几何特征.
第二环节 引入课题学习y =ax2+bx+c的顶点坐标公式
活动内容：
1．提供素材：2017年11月25日2时10分，中国长征二号丙运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射，将遥感三十号02组卫星送入预定轨道。发射任务圆满成功。本次发射是长征系列运载火箭的第256次飞行。
2．提出问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t +150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
3．为了解决这个实际问题，从一个具体的数学问题出发，要求学生y=3x -6x + 5 的顶点坐标、开口方向、坐标轴等.
引导学生思考：如果二次函数的表达式为y＝a(x-h) +k 的形式，则可以很快知道它的顶点坐标、开口方向等.于是用配方的方法计算出该函数的顶点式，根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
4．要求学生利用配方法做随堂练习
5．学生在实践中发现，每道题的思路都是一样的，解决这样的问题所经历的步骤和过程类似，能否一般化？让学生尝试完成例题：求二次函数y=ax +bx+c 的对称轴和顶点坐标.
6．小结：二次函数y=ax +bx+c 的图象是一条抛物线，
7．练习：学生用顶点公式做随堂练习：
活动目的：渗透化归的思想方法.
实际教学效果：
学生通过先计算有具体参数的二次函数的顶点式，再尝试计算出比较抽象的二次函数y=ax +bx+c 的顶点式，无疑是降低了难度，得出结论后反过来再应用于一般情况.在求顶点坐标时，可能会有学生结合图象，如练习（3）指出：对称轴为x＝M，其中M 为函数图象与x 轴交点的两个坐标的平均值，在（3）中对称轴为,应予以鼓励.
第三环节 链接生活， 解决实际问题：
活动内容：
1．提出问题：
两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y 轴对称．
2．解决问题：
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
活动目的： 从模仿到活用，通过解决实际问题，对学生进行数形结合思想方法的渗透；另外，数学来源于生活，培养学生的数学能力，提高数学修养.
实际教学效果：充分体现以教师为主导，学生为主体的教学原则，让学生自主学习，开动脑筋，理论与实际相结合.
3．想一想
你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
活动目的：通过对课内知识的变式，培养学生的创新精神.
4．解决上课伊始提出的问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m)与时间 t (s) 的关系可以用公式h=-5t +150t+10表示, 经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
第四环节 课堂小结
活动内容：
1，二次函数y=ax +bx+c 的图象是一条抛物线
2，总结函数y=ax +bx+c 和y=ax 的图象之间的关系
活动目的：通过总结函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象和性质，与y=ax 图象之间的区别与联系，培养学生的分析能力、表达能力、归纳能力，得出的理论可再重新指导实践.
实际教学效果：让学生谈收获 ，分享学习成果提高了学生的分析能力.
第五环节 布置作业
预习下一节.
四、教学反思
1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；
2．坚持启发式教学，反对注入式；
3．加强教学的计划性；
4．多采用计算机辅助教学，效果好.
1 / 6第二章 二次函数
《二次函数的图象与性质（第2课时）》
教学设计说明
一、学生知识状况分析
学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法.在本章第一节课中学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.第二节课又学习过并能够独立作出一个二次函数的图象，掌握了二次函数y=x2和y=－x2的一般性质.
二、教学任务分析
本节将讨论形如和的二次函数图象和性质.它和学生前一节课学习的、的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？具体的，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够利用描点法作出函数的图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质．能正确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2．能够作出函数的图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质．能正确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
过程与方法
1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程.
情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数和的图象，并根据图象认识和理解二次函数和的性质.
教学难点：和的图象的关系，的图象性质.
三、教学过程分析
(一) 复习引入
提出问题，让学生讨论交流：
二次函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、随的变化情况分别是什么？
二次函数的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？
（二） 合作探究（1）
先作二次函数的图象，再回答问题.
1. 在同一坐标系下用描点法画二次函数、与的图象函数、与的图象有什么关系 与同桌交流
2. 他们的对称轴、开口方向、顶点坐标相同吗？
3. 当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
4. 当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
总结二次函数的性质：
抛物线
顶点坐标 （0，0） （0，0）
对称轴 直线x＝0 直线x＝0
位置 在x轴的上方（除顶点外） 在x轴的下方（除顶点外）
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值 当x＝0时，最小值为0 当x＝0时，最大值为0
开口大小 |a|越大，开口越小
（三）课堂练习（1）
1.函数图象开口方向______,对称轴________，顶点坐标_____;
函数图象开口方向______,对__________，顶点坐标_______.
2.二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点A（1，2），则函数y=ax2的表达式为________；若点C(－2,m), D（n ,4）也在函数的图象上，则点C的坐标为______,点D的坐标为_________.
3.已知点（1，y1），（2，y2），（3，y3）在抛物线y=4x 的 图像上，则y1, y2, y3的大小关系___________;
已知点（－1,y1），（－2，y2），（－3，y3）在抛物线y=－3x2 的 图像上，则 y1, y2, y3 的大小关系__________.
（四）合作探究（2）
1.在同一坐标系中作出二次函数与的图象.
2.二次函数,的图象的形状相同吗？
3. 函数的图象与的图象的位置有什么关系
4. 在同一坐标系中作出二次函数与的图象.
5. 图像经过怎样的平移得到的图像？
总结出二次函数与的关系
一般地,由的图象便可得到二次函数的图象: 的图象可以看成的图象先沿轴整体上(下)平移|c|个单位(当从c>0时,向上平移;当c<0时,向下平移c)得到的.
因此,二次函数的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与、的值有关.
总结二次函数k的性质
抛物线
顶点坐标 （0，） （0，）
对称轴 直线x＝0 直线x＝0
位置 由的符号确定 由的符号确定
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值 当x＝0时，最小值为 当x＝0时，最大值为
(五) 课堂练习(2)
1.函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2－11的图象 可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到.
2.将函数y=－3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=－3x2的图象；将y=2x2－7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象.将y=x2－7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象.
3.将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 .
将抛物线y=－5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 .
4.抛物线y=－3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .
5.抛物线y=7x2－3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .
6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，－1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 ；若点C(－2,m),D（n ,15）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为______________.
（六）课堂小结
填表：二次函数和的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（七）布置作业
习题2.3 3题、 4题
四、教学反思
1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；
2．加强教学的计划性,保证每堂课的教学效果,提高教学质量；
3，在函数教学中采用计算机辅助教学，教学效果更好.
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