解直角三角形
◆随堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，则c=______．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA=________．
3、在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB=2 D．cosB=
4、如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ）
A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2
5、已知直角三角形中有两边长分别为3和4，求第三边的长．
◆典例分析
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的长．
解:（1）∵sinB=，cos∠DAC=，tanB=cos∠DAC，∴BD=AC．
（2）sinC==，
设AD=12x，则AC=13x，BD=13x．
∵DC==5x，∴13x+5x=12．
∴x=，∴AD=12×=8．
故AD的长为8．
点评：此类题目主要考察锐角三角函数的定义，解题时一定要注意正弦、余弦、正切、余切是哪两条边的比值，不能弄混.
◆课下作业
●拓展提高
1、在△ABC中，BC=10，AB=4，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为________．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB=________．
3、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA=______．
(第3题) (第4题)
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．30° B．150°
C．60°或120° D．30°或150°
6、在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
7、在△ABC中，∠C=90°，由下列条件解直角三角形．
（1）已知：a=1，c=，求b; （2）已知：a=35，c=35，求∠B．
●体验中考
1、(温州) 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是
2、（恩施市）如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3、（白银市）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
参考答案
随堂检测：
1、10
2、
3、A
4、B
5、5或
拓展提高：
1、
2、
2、
4、A
5、D
6、B
7、（1）b=，∴∠B=45°．
体验中考：
1、6
2、B
3、C
1 / 34 解直角三角形
1．如图5－3，小明为了测量其所在位置点 ( http: / / www.21cnjy.com )A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m m，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于 ( )
图5－3
A．m·sinα m B．m·tanα m
C．m·cosα m D. m
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝______度，sinA＝________．
3．在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2 ，则AC＝________．
4．在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；
(2)已知a＝，c＝，求b；
(3)已知c＝28 ，∠B＝30°，求a；
(4)已知a＝2，cosB＝，求b.
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5．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图5－4所示的形状，那么折痕AB的长是 ( )
图5－4
A. cm B．2 cm
C．4 cm D. cm
6．如图5－5，在Rt△ABC中，∠C＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长(结果保留根号)．
图5－5
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7．[2013·常德]如图5－6，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan∠DAE的值．
图5－6
参考答案
1．B 2.30 3.3
4．(1)a＝4 (2)b＝ (3)a＝14 (4)b＝4
5．A 6.△ABC的周长为2 ＋5＋.
7．(1)BC＝2 ＋1 (2)tan∠DAE＝－
1 / 4解直角三角形
◆随堂检测
1、在△ABC中，∠C=90°，sinB=，b=，则a等于（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列关系中错误的是（ ）．
A．c=bsinB B．a=btanA C．b=csinB D．b=acotA
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边之和等于12，tanB=2，则AB=______．
4、如图，是引位线固定电线杆的示意图．已知：CD⊥AB，CD=3m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长度是_______m．
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=4，求c．
◆典例分析
根据下列条件解直角三角形，其中∠C=90°．
（1）Rt△ABC中，∠A=30°，c=6； （2）Rt△ABC中，a=24，c=24．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=6，
∴sin30°==，∴a=3，∴b=．
又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=60°．
（2）∵a=24，c=24，
根据勾股定理有b2=c2-a2，∴b=24，
∴∠A=∠B=45°．
点评：解直角三角形时，如果给出的是一个锐角角和斜边，那么利用正弦和余弦求另外两条边，利用直角三角形两个锐角互余求出另一个锐角；给出的条件是两边是利用勾股定理求出第三边，再根据正切或余切求出锐角.
◆课下作业
●拓展提高
1、已知Rt△ABC中，∠A=30°，a+b=1，则斜边c为（ ）．
A．+1 B．-1 C．+1 D．-1
2、一直角三角形的周长是4+2，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（ ）．
A． B．2 C．1 D．（1+）
3、如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（ ）．
A．3+ B．2+2 C．5 D．
4、在△ABC中，∠A=60，AC=1，BC=，那么∠B为（ ）．
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．30°
5、菱形周长是24cm，两相邻内角的比为1：2，试求菱形的面积．
6、如图，在一长方体盒内，长、宽、高分别是30cm，40cm，50cm，盒内可放入的棍子最长有多长？
7、如图，已知从A地经过B地到达C地，总行程为17km，其中∠ABC=90°，且∠BAC的正切值为，那么由A地直接到C地的最短距离是多少千米？
参考答案
随堂检测：
1、B. 点拨：因为是特殊角，可直接代入求值．
2、A. 点拨：要借助于图形来理解关系式．
3、4. 点拨：由已知得tanB==2，AC=2BC，
所以3BC=12，BC=4，又AB2=AC2+BC2=5BC2，则AB=BC=4．
4、6. 点拨：∵∠CAD=60°，CD⊥AB，
∴sin∠CAD==6．
5、解：∵∠A=60°，
∴tanA==，即a=b．
又∵a+b=4，∴b+b=4，
∴b=2（-1），a=6-2．
c==4（-1）．
拓展提高：
1、B. 点拨：利用三角函数把边和角联系起来相互转化．
2、B. 点拨：巧用公式a2+b2=（a+b）2-2ab直接求ab的值
3、C. 点拨：利用边表示三角函数值必须是在直角三角形中，所以构造直角三角形是关键，提示：过C作CD⊥AB于D．
4、D. 点拨：根据三角形的边的关系确定角的大小是理解问题的关键．
5、菱形周长是24cm，所以边长为6cm，
又∵相邻内角的比为1：2，
∴内角度数为60°，120°，所以菱形的高为3cm．
∴菱形的面积为6×3=18cm．
6、当棍子的端点分别在A，B时，此时棍子最长．
则AC==50cm，
∴AB2=AC2+BC2=502+502，
AB=50cm．
7、如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，AB+BC=17km，
tan∠BAC==，
∴BC=5km，AB=12km，
∴由勾股定理，AC=13km．
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