3.3圆周角定理（1）
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3.3（1）圆周角定理
一、圆周角的定义
(复习)圆心角定义:
_________________________________
★顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角
根据定义，判断下图中的角是否是圆周角
思考：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 ，
那么，相等的弧所对的圆周角有什么关系？
二、圆周角定理（性质）
1、如图所示，在⊙O中，AB为弦，
BC为直径，连接OA，则∠B是_____角， ∠AOC是_____角，它们的大小有
什么关系？说明理由。
若∠AOC=50°，则∠B=_______。
若∠A=30°，则∠AOC= 。
2、如右图所示，∠B所对的弧是____
∠AOC所对的弧是______，请猜想并 证明∠B与∠AOC的数量关系 （提示：连接BO并延长）
3、如果点B是⊙O上的动点，且当 点B运动到如图所示位置时，上述结 论还成立吗？请说明理由
★圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___________。
典型例题：
例1、
如图，⊙O的直径CD⊥AB，
∠AOC=50°，则∠CDB=
(2)如图2，若∠AOB=2∠BOC,则∠ACB与∠BAC的数量关系是_____________________
图2 图3
(3)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝70°，则∠BCD ＝ ( )
A.140° B.110° C.70° D.20°
总结：★圆内接四边形的性质：________________
例2、如图,△ABC的顶点均在⊙O上,
AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
【跟踪练习】
1、如图，是⊙O的直径， ，则的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2、如图,△ABC内接于⊙O,∠C=,
则∠ABO= 度.
3、如图，A,B,C是⊙O上的三点，
，，那么⊙O的
半径等于
4、如图，AC是⊙O的直径，点B, D
在⊙O上，那么图中等于∠BOC的
角有（ ）个
A. l B. 2 C.3 D. 4
5、如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦
AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，
则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
6、若圆的一条弦分圆周成1:4两部分，求这条弦所对圆周角。
课后作业：
1、如图，△ABC内接于⊙O，
∠A=40°，则∠BOC的度数_____
2、如图，已知AB为⊙O的直径，
点C在⊙O上,∠C=15°,
则∠BOC的度数为( )
A．15° B． 30
C． 45 D．60°
3、如图，⊙O的直径CD⊥AB，
∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( )
A．25° B．30° C．40° D．50°
4题
4、如图AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，
则∠1+∠2=_____
5、如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CD，
∠B＝22°，则∠A＝________°．
6、如图，AB是⊙O的直径，C为弧AB的三等分点
OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____.
7、如图，⊙O中，点C为优弧
AB上一点，
若∠AOB=84°，则
∠ACB= ，
劣弧AB的度数为 ；
（2）在右图中画两个劣弧AB所对的圆周角，与原图中的圆周角不同；
（3）你所画两个圆周角的度数为 ；
当点C在优弧AB上运动时，∠ACB的度数变化吗？请用一句话概括你的发现。
8、如图，⊙O中，点C为劣弧AB上一点，
若∠AOB=110°，则∠ACB= ；
9、若圆中一弦的长等于半径，求它所对圆周角的 度数。
选作：
10、如图，在直径为AB的⊙O中，∠DAB=30°∠COD=60°，你能判断OD与AC的位置关系吗？请证明你的结论。
3.3（2）圆周角定理的推论
一、圆周角定理的推论
1、探索推论1
如图，已知⊙O中，
∠B所对的弧是 ，
∠D所对的弧是 ，
∠E所对的弧是 ，
若∠B=30°， 那么∠D=____,∠E=_____
请说明理由。
★圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角________
【练一练】
如图， 与∠BAC相等，
与∠DBC相等，
理由是
图中共有 对相等的圆周角。
2、探索推论2
根据右图填空
若∠BOD=150°，则∠A=____
若∠A=80°，则∠BOD=_________
若∠BOD=180°，则∠A=_______
若AB⊥AD，则∠BOD=________
圆周角定理的推论2：
直径所对的圆周角是_ _____;
90°的圆周角所对的弦是__ _____。
【练一练】
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、90°
2、
二、典型例题
例1、如图，圆内接四边形ABCD， 其对角线交于点P
1）写出图中与∠1相等的角
________, 理由是______________
2）请至少再写出两组相等的圆周角
________________________________
3）若C为弧BD的中点,则图中与∠1相等的角还有哪些？并说明理由
__________________ _________________
4）添加一个条件_____ __，使∠1=∠7
5）若弦AD∥BC，求证：∠7=∠8
6）若弦AD经过圆心，则图中有哪些角是直角？
________________________________
7）若AB⊥BC，求证：∠ADC=90°
例2、已知A,B,C三点都在圆上，P为圆外 一点，请比较∠A与∠P的大小并说明理由
变式：若P为圆内的点，结论是否会变化？
例3、△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，求证BD=CD。
练习：
以⊙O半径OA为直径作⊙O1，⊙O中的弦AB交⊙O1于点C。请判断BC与AC的关系，并证明。
课后作业：
1、下列命题中真命题有（ ）个：
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③900的圆周角所对的弦是直径；
④直径所对的角是直角；
⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；
⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．
⑦同弦所对的圆周角相等。
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
OD∥AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝∠BAC
B．∠BOD＝∠COD
C．∠BAD＝∠CAD
D．∠C＝∠D
3、如图，AB是⊙O的直径,点D在⊙O上
∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于C,则∠A=
4、如图（4），△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，
∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝____
（4） （5）
5、如图（5），AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB=
6、如图，是的直径，是⊙O的弦，连接，若，则的度数为 ．
7、如图⊙O直径AB=3，∠D=30°
则AC=____,BC=_____
能力提高：
8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4. BD为⊙O的直径，则BD=
9、如图，内接于⊙O，，，是圆的直径， 交于点，连结，则等于（ ）
A． B．
C． D．
10、如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠A
BC=30°过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连
接DC，则∠DCB= °．
一、圆周角的定义
(复习)圆心角定义:
_________________________________
★顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角
根据定义，判断下图中的角是否是圆周角
思考：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 ，
那么，相等的弧所对的圆周角有什么关系？
二、圆周角定理（性质）
1、如图所示，在⊙O中，AB为弦，
BC为直径，连接OA，则∠B是_____角， ∠AOC是_____角，它们的大小有
什么关系？说明理由。
若∠AOC=50°，则∠B=_______。
若∠A=30°，则∠AOC= 。
2、如右图所示，∠B所对的弧是____
∠AOC所对的弧是______，请猜想并 证明∠B与∠AOC的数量关系 （提示：连接BO并延长）
3、如果点B是⊙O上的动点，且当 点B运动到如图所示位置时，上述结 论还成立吗？请说明理由
★圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___________。
典型例题：
例1、
如图，⊙O的直径CD⊥AB，
∠AOC=50°，则∠CDB=
(2)如图2，若∠AOB=2∠BOC,则∠ACB与∠BAC的数量关系是_____________________
图2 图3
(3)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝70°，则∠BCD ＝ ( )
A.140° B.110° C.70° D.20°
总结：★圆内接四边形的性质：________________
例2、如图,△ABC的顶点均在⊙O上,
AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
【跟踪练习】
1、如图，是⊙O的直径， ，则的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2、如图,△ABC内接于⊙O,∠C=,
则∠ABO= 度.
3、如图，A,B,C是⊙O上的三点，
，，那么⊙O的
半径等于
4、如图，AC是⊙O的直径，点B, D
在⊙O上，那么图中等于∠BOC的
角有（ ）个
A. l B. 2 C.3 D. 4
5、如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦
AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，
则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
6、若圆的一条弦分圆周成1:4两部分，求这条弦所对圆周角。
课后作业：
1、如图，△ABC内接于⊙O，
∠A=40°，则∠BOC的度数_____
2、如图，已知AB为⊙O的直径，
点C在⊙O上,∠C=15°,
则∠BOC的度数为( )
A．15° B． 30
C． 45 D．60°
3、如图，⊙O的直径CD⊥AB，
∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( )
A．25° B．30° C．40° D．50°
4题
4、如图AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，
则∠1+∠2=_____
5、如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CD，
∠B＝22°，则∠A＝________°．
6、如图，AB是⊙O的直径，C为弧AB的三等分点
OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____.
7、如图，⊙O中，点C为优弧
AB上一点，
若∠AOB=84°，则
∠ACB= ，
劣弧AB的度数为 ；
（2）在右图中画两个劣弧AB所对的圆周角，与原图中的圆周角不同；
（3）你所画两个圆周角的度数为 ；
当点C在优弧AB上运动时，∠ACB的度数变化吗？请用一句话概括你的发现。
8、如图，⊙O中，点C为劣弧AB上一点，
若∠AOB=110°，则∠ACB= ；
9、若圆中一弦的长等于半径，求它所对圆周角的 度数。
选作：
10、如图，在直径为AB的⊙O中，∠DAB=30°∠COD=60°，你能判断OD与AC的位置关系吗？请证明你的结论。
3.3（2）圆周角定理的推论
一、圆周角定理的推论
1、探索推论1
如图，已知⊙O中，
∠B所对的弧是 ，
∠D所对的弧是 ，
∠E所对的弧是 ，
若∠B=30°， 那么∠D=____,∠E=_____
请说明理由。
★圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角________
【练一练】
如图， 与∠BAC相等，
与∠DBC相等，
理由是
图中共有 对相等的圆周角。
2、探索推论2
根据右图填空
若∠BOD=150°，则∠A=____
若∠A=80°，则∠BOD=_________
若∠BOD=180°，则∠A=_______
若AB⊥AD，则∠BOD=________
圆周角定理的推论2：
直径所对的圆周角是_ _____;
90°的圆周角所对的弦是__ _____。
【练一练】
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、90°
2、
二、典型例题
例1、如图，圆内接四边形ABCD， 其对角线交于点P
1）写出图中与∠1相等的角
________, 理由是______________
2）请至少再写出两组相等的圆周角
________________________________
3）若C为弧BD的中点,则图中与∠1相等的角还有哪些？并说明理由
__________________ _________________
4）添加一个条件_____ __，使∠1=∠7
5）若弦AD∥BC，求证：∠7=∠8
6）若弦AD经过圆心，则图中有哪些角是直角？
________________________________
7）若AB⊥BC，求证：∠ADC=90°
例2、已知A,B,C三点都在圆上，P为圆外 一点，请比较∠A与∠P的大小并说明理由
变式：若P为圆内的点，结论是否会变化？
例3、△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，求证BD=CD。
练习：
以⊙O半径OA为直径作⊙O1，⊙O中的弦AB交⊙O1于点C。请判断BC与AC的关系，并证明。
课后作业：
1、下列命题中真命题有（ ）个：
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③900的圆周角所对的弦是直径；
④直径所对的角是直角；
⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；
⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．
⑦同弦所对的圆周角相等。
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，
OD∥AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝∠BAC
B．∠BOD＝∠COD
C．∠BAD＝∠CAD
D．∠C＝∠D
3、如图，AB是⊙O的直径,点D在⊙O上
∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于C,则∠A=
4、如图（4），△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，
∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝____
（4） （5）
5、如图（5），AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB=
6、如图，是的直径，是⊙O的弦，连接，若，则的度数为 ．
7、如图⊙O直径AB=3，∠D=30°
则AC=____,BC=_____
能力提高：
8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4. BD为⊙O的直径，则BD=
9、如图，内接于⊙O，，，是圆的直径， 交于点，连结，则等于（ ）
A． B．
C． D．
10、如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠A
BC=30°过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连
接DC，则∠DCB= °．