4.3 探索三角形全等的条件 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
北师大版七年级下册数学
第四章 三角形
4.3 探索三角形全等的条件
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
回顾旧知
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
问题引入
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
一、三角形全等的判定（“边边边”）
探究新知
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60o
300
不一定全等
探究活动2：两个条件可以吗？
3cm
4cm
不一定全等
300
60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
探究新知
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
（1）有三个角对应相等的两个三角形
60o
300
300
60o
90o
90o
探究活动3：三个条件可以吗？
探究新知
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？
探究新知
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′ ,使A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
A
B
C
A ′
B′
C′
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B',A 'C '.
动手试一试
探究新知
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
归纳小结
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．是说明：（1）△ABD ≌△ACD ．
C
B
D
A
解题思路：
先找隐含条件
公共边AD
再找现有条件
AB=AC
最后找准备条件
BD=CD
D是BC的中点
例题讲解
证明：∵ D 是BC中点，
∴　BD =DC．
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
C
B
D
A
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
AD =AD （公共边）
准备条件
指明范围
摆齐根据
写出结论
(2)∠BAD = ∠CAD.
由（1）得△ABD≌△ACD ，
∴ ∠BAD= ∠CAD.
（全等三角形对应角相等）
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？
怎么办？可以帮帮我吗？
二、三角形全等的判定（“角边角”）
探究新知
做一做
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如
三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,
你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等
吗？
改变角度和边长，你能得到同样的结论吗
探究新知
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写
成“角边角”或“ASA”.
归 纳
探究新知
归 纳
1.判定方法三：两角和它们的夹边分别相等的两个三
角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
2. 证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A＝∠A′,
AB＝A′B′，
∠B＝∠B′ ，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
∵
探究新知
例1
已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥DF.
试说明：△ABC≌△DEF.
要说明△ABC与△DEF全等，
从条件看，已知有一边和一角
相等，由AC∥DF易得相等线
段的另一端点处的角相等．
因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.
又因为∠A＝∠D，AC＝DF，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
导引：
解：
例题讲解
例2
如图，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.试说明：BC＝ED.
要说明BC＝ED，需说明
它们所在的三角形全等，
由于∠B＝∠E，AB＝AE，
因此需说明∠BAC＝∠EAD，
即需说明∠BAD＋∠1＝∠BAD＋∠2，易知成立．
导引：
例题讲解
因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD.
在△BAC和△EAD中，因为
所以△BAC≌△EAD(ASA)．
所以BC＝ED.
解：
例题讲解
在说明两个三角形全等所需要的角相等时，目前
通常采用的方法有：(1)公共角、对顶角分别相等；
(2)等角加(减)等角，其和(差)相等，即等式的性质；
(3)同角或等角的余(补)角相等；(4)角平分线得到相等角；
(5)平行线的同位角、内错角相等；(6)直角都相等；
(7)全等三角形对应角相等；(8)第三角代换，即等量代
换等．
总 结
议一议
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对
边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”中的
条件吗？
三、三角形全等的判定（“角角边”）
探究新知
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
三角形全等，简写成 “角角边”或“AAS”.
归 纳
归纳小结
例3
如图，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线CF，BE.试说明：BE＝CF.
要说明BE＝CF，可根据中线
及垂线的定义和对顶角的性质
来说明△BDE和△CDF全等．
导引：
例题讲解
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.
因为CF⊥AD，BE⊥AE，
所以∠CFD＝∠BED＝90°.
在△BDE和△CDF中，因为
所以△BDE≌△CDF(AAS)．
所以BE＝CF.
解：
例题讲解
利用两个三角形全等解决问题，先根据已知条件
或要说明的结论确定三角形，然后再根据三角形全等
的判定方法看缺什么条件，再去说明什么条件，简言
之：即综合利用分析法和综合法寻找解题的途径．
总 结
例4
如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.
试说明：△ABC与△DEC全等．
例题讲解
如图，因为∠BCE＝∠ACD＝90°，
所以∠3＋∠4＝∠4＋∠5.
所以∠3＝∠5.
在△ACD中，∠ACD＝90°，
所以∠2＋∠D＝90°.
因为∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
所以∠1＝∠D.
在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC.
解：
例5
我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是
E，F.
试说明：OE＝OF.
例题讲解
因为在△ABD和△CBD中，
所以△ABD≌△CBD(SSS)．
所以∠ABD＝∠CBD.
又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB.
在△BOE和△BOF中，
所以△BOE≌△BOF(AAS)．
所以OE＝OF.
解：
问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角形全等吗？
四、三角形全等的判定（“边角边”）
探究新知
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等
动手试一试
探究新知
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C '.
？
思考：
① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
探究新知
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
归纳小结
例1
如图，点A，F，E，C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF.
试说明：△ABE≌△CDF.
要说明△ABE≌△CDF，
已知BE＝DF，只需说明
∠AEB＝∠CFD和AE＝CF即可．
而∠AEB＝∠CFD由BE∥DF可得；
AE＝CF由AF＝CE可得．
导引：
探究新知
因为BE∥DF，所以∠AEB＝∠CFD.
又因为AF＝CE，所以AF＋FE＝CE＋EF，
即AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，因为
所以△ABE≌△CDF (SAS)．
解：
探究新知
例2
如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，
OB＝OD.试说明：DC∥AB.
根据“边角边”可说明
△ODC≌△OBA，
可得∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)，
即可说明DC∥AB.
导引：
探究新知
在△ODC和△OBA中，因为
所以△ODC≌△OBA(SAS)．
所以∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)(全等三角形的对应
角相等)，
所以DC∥AB(内错角相等，两直线平行)．
解：
探究新知
1
如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．∠A＝∠D
D．BF＝EC
C
课堂练习
2
如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE＝AD，AE分别交BD，BC于点F，G. 图中与△FAD全等的三角形是(　　)
A．△ABF
B．△FEB
C．△ABG
D．△BCD
B
课堂练习
△ABC≌ （SSS）.
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由.
解： △ABC≌△DCB.
理由如下：
AB = CD,
AC = BD,
=
（2）如图，D、F是线段BC上的两点，
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件_________________.
BC
CB
△DCB
BF=CD
填空题：
A
B
C
D
=
=
A
E
B D F C
=
=
或 BD=FC
3
课堂练习
4
如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能说明△ABC≌△DEF，这个条件是(　　)
A．∠A＝∠D
B．BC＝EF
C．∠ACB＝∠F
D．AC＝DF
D
课堂练习
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，
试说明： BE=CE.
解：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5
课堂练习
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