1.7.2 正切函数的诱导公式 教案

正切函数的诱导公式
【教学目标】
1．推导正切函数的诱导公式.
2．掌握正切函数的诱导公式.
【教学重难点】
正切函数诱导公式与正弦余弦函数的关系.
【教学过程】
一、基础铺垫
正切函数的诱导公式
角x 函数y＝tan x 记忆口诀
kπ＋α(k∈Z) tan α 函数名不变， 符号看象限
－α －tan α
π－α －tan α
π＋α tan α
＋α －1/ tan α 函数名改变， 符号看象限
－α 1/ tan α
思考：前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？
[提示] 因为tan α＝，所以口诀对正切函数依然适用．
二、合作探究
1．三角函数间关系的应用
【例1】 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
（1）求sin α＋cos α的值；
（2）求的值．
[解] （1）因为tan α＝＝－，所以y＝－4，则r＝5．
∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－.
（2）原式＝＝＝＝＝－10．
【规律方法】
三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系：tan α＝进行弦切互化；正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切.
2．利用诱导公式求值
【例2】 求下列各式的值：
（1）tan；
（2）tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
[思路探究] 利用诱导公式化为锐角三角函数，再求值．
[解] （1）tan＝－tan
＝－tan＝－tan
＝tan ＝.
（2）原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin 1 866°－sin(－606°)＝tan 10°－tan 10°＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝sin 66°－sin 66°＝0.
【规律方法】
利用诱导公式求值一般为：把负角三角函数化为正角三角函数，再化为0～2π间的三角函数，最后转化为锐角三角函数求值.
3．利用诱导公式化简与证明
[探究问题]
（1）与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题？
[提示] 求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件．求值域时，不要忽视这个函数的定义域．
（2）利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的？
[提示]
【例3】 （1）化简：；
（2）求值：.
[思路探究] 解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．
[解] （1）原式＝
＝＝－cos α.
（2）原式＝
＝＝＝2－.
【规律方法】
1．三角函数式化简的常用方法
（1）依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
2．三角恒等式的证明策略：
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
定义法，化弦法，拆项折角法，公式变形法．
三、课堂小结
1．正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·±α所在的象限．
2．在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．
特别提醒：应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.
四、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）tan＝cot α.( )
（2）对任意α∈R，都有tan(－α)＝－tan α.( )
（3）tan(kπ－α)＝－tan α.( )
[答案] （1）√ （2）× （3）√
2．tan 300°＋sin 450°的值为( )
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
B [tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.]
3．若cot α＝m，则tan＝( )
A．m B．－m
C． D．－
A [tan＝tan＝tan＝cot α＝m.]
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