4.3.1 二倍角公式 教案

二倍角公式
教学目标 核心素养
1．理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。（重点） 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。（难点） 1．通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养。 2．借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养。
【教学重难点】
1．理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系。
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
【教学过程】
一、问题导入
前面我们已经学习了三角函数的和差公式，你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin2α，cos2α，tan2α的一般公式吗？
二、新知探究
1．利用二倍角公式化简求值
【例1】化简求值。
（1）cos4 －sin4 ；
（2）sin ·cos ·cos ；
（3）1－2sin2 750°；
（4）tan 150°＋。
思路探究：灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得。
解：（1）cos4 －sin4
＝
＝cos α。
（2）原式＝cos
＝sin cos ＝
＝sin ＝，
∴原式＝。
（3）原式＝cos（2×750°）＝cos 1500°
＝cos（4×360°＋60°）＝cos 60°＝，
∴原式＝。
（4）原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－，
∴原式＝－。
[教师小结]二倍角公式的灵活运用：
（1）公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现。主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，＝tan 2α。
（2）公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式。主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝（sin α±cos α）2，1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝，sin2 α＝。
2．利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】（1）已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为（ ）。
A．2 B．－2
C． D．－
（2）已知sin＝，则cos的值等于（ ）。
A． B．
C．－ D．－
（3）已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈。
①求sin 2α的值；②求cos（2α＋β）的值。
思路探究：（1）可先求tan α，再求tan 2α；
（2）可利用π－2α＝2求值；
（3）可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos（2α＋β）。
答案：（1）D；（2）C
[（1）因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝＝＝－。
（2）因为cos＝sin＝sin＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－。]
（3）解：①因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝。
②因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2 α－1＝2×－1＝，
所以cos（2α＋β）＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－。
[教师小结]
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
（1）sin α（或cos α）cos α（或sin α）sin 2α（或cos 2α）。
（2）sin α（或cos α）cos 2α＝1－2sin2 α（或2cos2 α－1）。
（3）sin α（或cos α）
3．利用二倍角公式证明
【例3】求证：＝sin 2α。
思路探究：可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边。
证明：法一：
左边＝
＝
＝
＝
＝sin ·cos ·cos α＝sin α·cos α＝sin 2α＝右边。
∴原式成立。
法二：左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边。
[教师小结]
证明问题的原则及一般步骤：
（1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想。
（2）证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的。
4．倍角公式的灵活运用
[探究问题]
（1）在化简＋时，如何灵活使用倍角公式？
提示：在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝＋＝＋＝＝。
（2）如何求函数f（x）＝2cos2x－1－2sin x·cos x（x∈R）的最小正周期？
提示：求函数f（x）的最小正周期，可由f（x）＝（2cos2x－1）－（2sin x·cos x）＝cos 2x－sin 2x＝2sin，知其最小正周期为π。
【例4】求函数f（x）＝5cos2x＋sin2x－4sin x·cos x，x∈的最小值，并求其单调减区间。
思路探究：→→
→
解：f（x）＝5·＋－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
f（x）取最小值为3－2。
因为y＝sin在上单调递增，
所以f（x）在上单调递减。
[教师小结]本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质。解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝A·sinωx＋φ的形式，再利用函数的图像解决问题。
三、课堂总结
1．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sinα·cosα。
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan 2α＝。
2．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝（n ∈ N*）。
3．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛。常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2 α；②cos2 α＝；③1－cos 2α＝2sin2 α；④sin2α＝。
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅱ）已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝（ ）。
A．
B．
C．
D．
答案：B。[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α。
∵α∈，∴2sin α＝cos α。又∵sin2 α＋cos2 α＝1，
∴sin2 α＝。又α∈，∴sin α＝。
故选B。]
2．的值为（ ）。
A．－ B．－
C． D．
答案：D。[原式＝cos2－sin2＝cos ＝。]
3．已知tan α＝－，则＝________。
答案：－。[＝
＝＝tan α－＝－。]
4．求下列各式的值：
（1）cos ·cos ；
（2）－cos2。
解：（1）原式＝＝＝＝＝。
（2）原式＝＝－＝－cos ＝－。
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