1.7 正切函数的定义 教案

正切函数的定义
【教学目标】
1．掌握正切函数的定义.
2．会求特殊角的正切值.
【教学重难点】
正切函数的定义域.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．正切函数的定义
（1）任意角的正切函数
根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tanx，其中x∈R，x≠＋kπ，k∈Z.
（2）正切函数与正弦、余弦函数的关系
根据定义知tanx=，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z.
（3）正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为三角函数．
二、合作探究
【例1】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．
【解】r＝ ＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，
角α在第二象限，sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝－.tanα＝＝＝－；
若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－，
cosα＝，tanα＝－.
【教师小结】已知角α终边上任一点的坐标(x，y)利用定义求tanα时，其值与该点的位置无关且tanα＝y/x.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α 0
tanα 0 1 － －1 －
【活学巧用】已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是( )
A． B．
C． D．
解析：点(，－1)在第四象限，tanα＝－，∴α的最小正值为.
【例2】求函数y＝的定义域．
【错解】∵1＋tanx≠0，即tanx≠－1．
∴x≠kπ－，k∈Z.
即y＝的定义域为.
【错因分析】错解忽略了y＝tanx本身的定义域．
【正解】由题意得
故函数的定义域为.
二、课堂练习
1．tan 300°的值为( )
A． B．－
C． D．－
解析： tan 300°＝tan(180°＋120°)＝tan 120°
＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－；或tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
2．在平面坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanαA． B． C． D．
解析：逐个分析A．B．C．D四个选项，利用三角函数的定义可得正确结论．
当点P在上时，cosα＝x，sinα＝y，∴cosα>sinα，故A选项错误；当点P在上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，∴tanα>sinα>cosα，故B选项错误；当点P在上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，∴sinα>cosα>tanα，故C选项正确；当点P在上且在第三象限时，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故D选项错误．综上，故选C．
3．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：函数应满足(k∈Z)，即
(k∈Z)，所以x≠，k∈Z.
4．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线y＝－2x上，x≥0，求tan α－sin α的值．
解析：取射线y＝－2x(x≥0)上一点(x，－2x)(x≥0)，可得r＝|x|＝x所以tan α＝＝＝－2，sin α＝＝＝－.故tan α－sin α＝－2＋2＝0.
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