5.3.2复数乘除运算的几何意义 教案

复数乘除运算的几何意义
【教学目标】
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
【教学重难点】
复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义.
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
二、基础知识
复数三角形式的乘、除运算：
若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则
（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
（2）＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
三、合作探究
1．复数三角形式的乘、除运算
【例1】计算：
（1）8×4；
（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；
（3）4÷.
【解】（1）8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos 75°＋isin 75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
（3）4÷
＝4(cos 0＋isin 0)÷
＝4
＝2－2i.
【规律方法】
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
2．复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例2】在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【解】因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
【规律方法】
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
四、课堂检测
1．计算：
（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.
解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos 90°＋isin 90°
＝i.
（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷
＝2÷
＝
＝
＝－＋i.
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