5.2.1 复数的加法与减法 教案

复数的加法与减法
【教学目标】 【核心素养】
1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．（重点） 2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．（难点、易混点） 通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即时，必定有
，
.
那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？
二、新知探究
1.复数的加减法运算
【例1】（1）________.
（2）已知复数z满足，求z.
（3）已知复数z满足，求z.
[解析]（1）.
[答案]
（2）解：法一：设，因为，所以，即且，解得，，所以.
法二：因为，所以.
（3）解：设，则，又，所以，由复数相等得，解得，所以.
【教师小结】复数加减运算法则的记忆：
（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
（2）把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有与z时，一般要用待定系数法，设．
2.复数加减法的几何意义
【例2】（1）在复平面内，平行四边形ABCD（顶点顺序为ABCD）的三个顶点A，B，C对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为__________．
（2）已知，，，求.
[思路探究]（1）先写出点A，B，C的坐标，利用向量列方程求解．
（2）由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
（1）[解析]设，类比向量的运算知，所以有复数，得，，所以D对应的复数为.
[答案]
（2）解：设复数，，在复平面上对应的点分别为，，Z，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得
，
所以，所以，
因此是正三角形，
所以．
若把上例（2）中的条件“”改为“”，则等于多少？
[解]设复数，在复平面上对应的点分别为，，由，知，以，为邻边的平行四边形是菱形，OZ为对角线，为正三角形，由余弦定理，
得，
因为，所以，
所以.
【教师小结】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
（一）技巧
（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
（2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
（二）常见结论
在复平面内，，对应的点分别为A，B，对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
（1）为平行四边形；
（2）若，则四边形OACB为矩形；
（3）若，则四边形OACB为菱形；
（4）若且，则四边形OACB为正方形．
3.复数加减法的几何意义的应用
[探究问题]
（1）在实数范围内恒成立，在复数范围内是否有恒成立呢？
提示：若，则成立．否则.
如果，，虽然，但不能说大于i.
（2）复数的几何意义是什么？
提示：复数表示复数，对应两点与间的距离．
【例3】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,，由A→B→C→D按逆时针顺序作，求.
[思路探究]首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
[解]如图，设，F为的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以，即．
所以点D对应的复数为，所以，所以.
【教师小结】
（1）解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
（2）复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
三、课堂总结
（一）复数代数形式的加减法
1．运算法则
设，，
则，.
2．加法运算律
设，有，
．
（二）复数加减法的几何意义
若复数，对应的向量分别为，.
复数加法的几何意义 复数是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义 复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅰ）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
[答案]C
2．设复数对应的点在虚轴右侧，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
[答案]D
3．已知，且是纯虚数，则________.
[解析]设，，且是纯虚数，则，
由①可得..
[答案]3i
4．若，则的最小值是________ .
[解析]由，知z对应点的轨迹是到与到点距离相等的点即虚轴，表示z对应的点到点的距离，．
[答案]1
5．集合，，集合.
（1）指出集合P在复平面内所表示的图形；
（2）求集合P中复数模的最大值和最小值．
[解]（1）由可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点和为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．
（2）由（1）知，圆的方程为，
直线l的方程为．
解方程组，
得，.
所以，.
因为点O到直线l的距离为，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，，
所以集合P中复数模的最大值为，最小值为.
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