福建省晋江市季延中学2012-2013学年高二上学期期末考数学理试题

2012-2013学年高二理科数学（上）期末考试卷
满分150分 时长120分钟
参考公式：
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分共50分）
1、线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是
(A) (B) (C) (D)
2、要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的
(A) 平均数 (B) 方差 (C) 众数 (D) 频率分布
3、在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是
(A)23与26　　　 　 　(B)31与26
(C)24与30　　 (D)26与30　　
4、从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
(A) 至少1个白球，都是白球 (B) 至少1个白球，至少1个红球
(C) 至少1个白球，都是红球 (D) 恰好1个白球，恰好2个白球
5、数4557，1953，5115的最大公约数为
（A）93 （B）31 （C）651 （D）217
6、用秦九韶算法求多项式，当时，的值为
(A) 27 (B)86 (C)262 (D)789
7与椭圆共焦点且过点(5,-2)的双曲线标准方程是
8、函数，已知在时取得极值，则=
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
9、是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是
（A） （B） （C） （D）
10、过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，若存在直线使坐标原点恰好在以为直径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（每题4分共20分）
11、阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ；
12、 ；
13、已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy= ；
14、点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 ；
15、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 。
三、解答题（解答时写出必要的解题过程，共80分）
16、（本题满分12分）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用(万元)统计数据如下:
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若有数据知对呈线性相关关系.求:
(1) 求出线性回归方程的回归系数；
(2) 估计使用10年时,维修费用是多少。
17、（本小题满分12分）为了了解中学生的体能情况，抽取了某中学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如下图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4.第一小组的频数是5.
(1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；
(2) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
(3) 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？
18、（本小题满分12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
19、（本小题满分12分）已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤成立,求m的取值范围.
20、（本题满分14分）已知、为椭圆的焦点，且直线与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过的直线交椭圆于、两点，求△的面积的最大值，并求此时直线的方程。
21、（本小题满分14分）已知函数且
（Ⅰ）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
2012级高二理科数学（上）期末考试卷
参考答案
1-5 D D B D A 6-10 C A D D D
11、4 12、0 13、96 14、 15、
16、(1)y=1.23x+0.08
(2)12.38(万元)
17、解：(1) 第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2，因为第一小组的频数为5，第一小组的频率为0.1，所以参加这次测试的学生人数为5(0.1=50（人）.
(2) 0.3(50=15，0.4(50=20，0.2(50=10，则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.
(3) 跳绳成绩的优秀率为（0.4+0.2）(100%=60%.
18、解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3
由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为。
19、解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，
20、解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，
由得代入消去并整理得
，
由
解得，
，．
（Ⅱ）设过的直线：，代入消去并整理得
，
，
，
当，即时，面积S最大，此时直线方程为．
21、解法一：
（Ⅰ）依题意，得
由得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故
令，则或
①当时，
当变化时，与的变化情况如下表：

+
—
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数在处取得极值。
故
所以直线的方程为
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二：
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
由得
解得
所以线段与曲线有异于的公共点。