23.2中心对称复习练习（附答案解析）

中心对称
一、知识点：　　（一）中心对称　　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，则称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
　　（二）中心对称的特征：　　1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。　　2.关于中心对称的两个图形是全等图形。
　　（三）中心对称图形：　　中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形．一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这种图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
　　二、典型例题：　　（一）基础题型：　　1.下列说法中，不正确的是（　　）　　A.轴对称图形的对称轴是对称点连线的垂直平分线　　B.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中点　　C.成轴对称的两个图形中，对应线段相等　　D.成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等
　　解析：选D。成中心对称的两个图形中，对应线段相等，有可能平行，还有可能在同一直线上。
　　2.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（　　）　　A.3个 　　B.4个 　　 C.5个 　　 D.6个
　　解析：选B。线段、矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；等腰梯形、等边三角形是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形。
　　3.选出下列图形中的中心对称图形（　　）　　　 　 　　　 　　① 　　　　　　　②　　　　　　　 ③　　　　 ④　　A.①② 　　B.①③ 　　C.②③ 　　D.③④
　　解析：选B。根据定义，一个图形绕着某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这种图形叫做中心对称图形。
　　4.在等腰三角形、等边三角形、菱形、等腰梯形中是轴对称图形，但不是中心对称图形个数是(　　)　　A. 1个 　　B. 2个 　　 C. 3个 　　D. 4个
　　解析：选C。等腰三角形、等边三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；菱形则既是轴对称图形，又是中心对称图形。
　　5.下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）　　A. 菱形 　　B. 矩形 　　C. 正方形 　　D. 等边三角形 　　解析：选D。等边三角形是轴对称图形。
　　6.下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 　　　　　B. 　　　 C. 　　　　　 D.
　　解析：选B。只有B不是中心对称图形。
　　7.下列说法正确的是(　　)　　A.两个会重合的三角形一定成轴对称　　B.两个会重合的三角形一定成中心对称　　C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等　　D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在同一条直线上）且相等
　　解析：选D。
　　8.下列正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）　　　　　　 　　A. 　　　　　　　B. 　　　　　C.　　　　 D.
　　解析：选A。
　　（二）提高题型：　　例1.如图所示，观察图中的“风车”的平面图案，其中是中心对称图形的有（　　）
　　　　A. 1个　　 B. 2个 　　C. 3个　　D. 4个
　　分析：抓住图形特征，观察图形绕中心点旋转180°后能否与自身重合，则第2个、第4个是，共有2个，选B。
　　例2.如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：（1）点E和点F；点B和点D是关于中心O的对称点；（2）直线BD必经过点O；（3）四边形ABCD是中心对称图形；（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；（5）△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为（　　）　 　　
　　A. 1个 　　B. 2个 　　C. 3个 　　D. 5个
　　分析：△ABC与△CDA关于点O对称是两个图形的关系，但我们将这两个图形看成一个整体，那么它就是一个关于O点的中心对称图形，故（3）正确。B与D关于O对称，图形上的两点的连线若经过中心，这两点就是对称点，同时对称点的连线必经过对称中心，所以（1）（2）都正确；从中心对称图形的性质得知，四边形DEOC与四边形BFOA是四对对称点所围成的图形，△AOE与△COF也是对称点所围成的图形，所以它们分别成中心对称，故（4）和（5）都正确。选D
　　例3.某同学学习了几何中的对称后，忽然想起了过去做过一道题：有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和。这个同学想，方阵就象正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，能不能利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题吗？这个同学试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你也能试试看吗？　 　　
　　下面将这位同学的想法告诉大家，我们一起来体验一下。
　　从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作轴，把正方形翻折一下，对称位置的两数之和都是10，这样方阵中数的和即可求。也可考虑：把方阵绕中心旋转180°，就得到另一方阵，再加到原来的方阵上去，就得到所有的数都是
　　10的方阵，这一方阵数的和亦可求。
　　解法一： 　　解法二： 　　
　　此题还可引伸成解决其它数学问题。
　　当在求一组有规律的数的和时，经常会用到对称思想。如：　　　　考虑：　　　　所以
　　因此，数形结合是学习数学的一种重要思想方法。
　　例4. 一块方角形钢板（如图所示），如何用一条直线将其分为面积相等的两部分。　 　　
　　解析：首先考虑分形（分成n个规则图形）。　　（1）该钢板可看成由上下两个矩形构成（如图所示），矩形是中心对称图形，过对称中心的任一直线把矩形分成全等的两部分，自然平分其面积，而矩形的对称中心是两条对角线的交点，因此，先作出两矩形的对称中心A、B，直线AB即为所求；　　
　　（2）该钢板同样可看成左右两矩形构成（如图所示），作出两矩形对称中心C，D，直线CD也符合要求；　　
　　（3）将钢板补成一个完整矩形（如图所示），作出大矩形对称中心E和补上一块矩形的对称中心F，直线EF既平分大矩形，又平分补充矩形的面积，于是EF平分原钢板面积。