福建省晋江市季延中学2012-2013学年高二上学期期中考数学（理）试题

季延中学2012—2013学年度第一学期期中试卷
高二理科数学
（分值：150分 时间：120分钟）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“若，则”的否命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．命题“任意的x∈R, 2x4－x2＋1<0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R, 2x4－x2＋1<0 B．存在x∈R, 2x4－x2＋1<0
C．任意的x∈R, 2x4－x2＋1≥0 D．存在x∈R, 2x4－x2＋1≥0
3．已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
A. B. C. D.
4. 若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A. B.  C.  D.
5. 双曲线与直线(m∈R)只有一个公共点的充要
条件是 ( )
A． B． C． D．
6. 在下列四个命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；
②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；
③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
④已知三个不共面的向量、、，则任意一个向量都可唯一表示为．
其中正确命题的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7. 已知，则与的值分别为（ ）
A．5，2 B．－5，－2 C． D．
8．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．若椭圆和双曲线有相 同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是(　　)
A．　　 B．　 　C．　 　D．
10. 已知、是抛物线y2=2px (p>0)上异于原点的两点，则“·=0”是“直线恒过定点(2p, 0)”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.
11．准线方程为的抛物线的标准方程是__ _ _
12．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 .
13．已知三棱锥O—ABC中，M、N分别是棱OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底表示向量，有=x，则
x= ， y= ， z=
14. 已知平行六面体中， AB=4， AD=3， ， ，，则等于
15. 已知直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，若直线的斜率
为，直线的斜率为，则等于
三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
前四题每题13分，最后两题14分)
16. 已知命题p：方程x2＋2x＋3－m＝0有两个不等的实根；
命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．已知p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
17．已知椭圆C的焦点与双曲线的顶点重合，椭圆C的长轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若已知直线．当为何值时，直线与椭圆有C公共点？
18. 已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2) 设直线l的斜率为k，当线段AB的长等于5时，求k的值．
19. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，
,
（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，
求证： ∥
（III）求二面角的余弦值.
20．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=， AD=1，点E是SD上的点，且
（Ⅰ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值.
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，线段BE上是否存在一点M，使得M不与B、E重合，且直线CM与AE所成的角为，若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
21.已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线过与椭圆交于，两点，若，
求直线的方程；
（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
季延中学2012—2013学年度第一学期期中试卷
高二理科数学答题卡
一、选择题：（共12题，每题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.
11． 12. 13. x= ， y= ， z=
14. 15.
三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.，共80分)
16.
17.
18.
19
20.

21．
高二理科数学期中考试参考答案
一、选择题CDACD BCAAB
二、填空题 11 y2=--8x; 12 或;13 ;14 15
三、解答题
16解:若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的实根，则⊿=4(m-2)>0解得m＞2，即p：m＞2.---3分
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3. ---6分 因p或q为真，所以p，q至少有一为真，
又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，---8分
即p为真，q为假或p为假，q为真．
∴或解得m≥3或1＜m≤2. ---13分
17解：（1） ------------------6分
（2）把直线方程代入椭圆方程得
，即．-------9分
，------11分
解得．-------13
18解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1) |AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x, 得y＝±2.∴点A为(3,2)或(3，－2)-5分
(2)直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0（*），---8分 因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋. -----9分 由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋=5，解得k=±2 ------13分
19.解: 因又因为平面，所以⊥平面，所以,即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,----------1分
(I) 设，则，
∵，∴，从而
，
于是，∴⊥,⊥
∵平面，平面，∴--------5分
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面， 不在平面内， 故∥平面--8分
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（ , 即
取，则，，从而＝（1，1，3）----10分，取平面的一个法向量为,--12分，
二面角的余弦值为---13分
20.（Ⅰ）解：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），-------1分
设平面ACE的法向量为=(x，y，z)，则由得
--------------4分
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.

由得.-------------8分（Ⅱ）可设（0所以，---------11分
由，
解得t=0(舍去)或t=0.8,此时EM：MB=4:1------------------14分
21解（1）由， ，得，，
所以椭圆方程是：……………………4分
（2）设EF：（）代入，得，
设，，由，得．
由，……………………6分
得，，或
直线的方程为： 或……………………9分
（3）将代入，得（*）
记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．………………12分
解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………14分