2012年湖南省普通高中学业水平考试
数 学
考试方法策略与考前归类集训
郴州明星学校高中数学组：孟宪南
目录索引表
问题类别
类型问题题号
页数
1、集合问题
1,2
1
2、不等式问题
3,4,5,6
1-2
3、函数问题
7,8,9,10,11,12,13,14,15，16,17
2-3
4、立体几何问题
18,19,20,21
3-4
5、直线方程
与圆问题
22,23,24,25,26,27
4
6、算法与程序问题
28,29,30,31
5
7、统计与概率问题
32,33,34,35
5-6
8、向量问题
36,37，38,39
6-7
9、解三角形问题
40,41，
7
10、数列问题
42，43,44，45, 46
7
11、三角变换问题
47， 48,49, 50
7-8
12、线性规划问题
51，52,53,54
8
13、综合问题
55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65
8-11
14、参考答案
12-18
编者前言
根据新课改的要求及湖南省学业水平考试大纲的精神，以及本校的学生实际情况，综合本人连续担任两届新课标教学的经验体会，特编写本册子，以强化学生在阶段性复习后，再一次进行全面的、系统的检测及对知识的掌握和运用，以提升复习的效果，使学生能顺利完成学业水平考试，达到预定的目标。
在编写上立足于基础，强调重点知识点的消化理解运用，按照必修1至必修5五个模块对问题归纳为13个知识小块进行归类，编拟成各种形式的题型进行训练，符合学生的学习实际，也便于操作，同时，为保证学有余力的同学进行训练以及对复习时间紧凑的学生复习，在类题之后附有“教学反思”一栏，可以让老师与学生对本册子运用上作出恰当的选择和调整，如老师在教学时可以灵活增加有关的有层次的问题，或进行必要的扩展和补充，有利于学生能力的形成，这会对后面的高三复习打下坚实的基础性铺垫。
当然，由于是个人的一些观点和思考，因此本册子在编辑的过程中可能存在一些不尽如意的地方，敬请同行批评指教，在此深表致谢！
2012-6-5
高中数学学业水平考试策略与归类集训
心理调整策略
入场静坐闭目，深呼吸，平静心情；
观望四周，与旁人微笑招呼，熟悉环境，营造和谐气氛；
全面熟悉考室，把心境调至最佳状态。
次序安排策略
试卷发下后，浏览一遍；
记下自己最易解的题；
合理分配好解题的时间，有把握的题充分保证时间，尽量避免失分；
先易后难，遇难先放行，跳过去做下一题，千万别纠缠不休；
题型、方法选取策略
选择题、填空题：此类题不看过程，只看结果，答对为上。
【方法策略】直接法，特殊值法，排除法，检验法，矛盾法，观察法等。
解答题
【方法策略】书写整洁，规范；从条件入手，每个条件都要用；先考虑通法通则；过程要完整；关键步骤不可少；看清条件，减少眼误和笔误；解题时不急躁，计算要细心；不会解的大题不留空，可把条件抄下来，进行简单变形，或利用相关的知识转化，得到新的结论，一般是可得分的。
重点题型演练
【集合问题】
1、已知集合=，=，则∪=（ ）
A．（1，3） B．[－1，5] C．（－1，5） D．（1，5]
2、已知集合，若，则集合的子集是 ；
【不等式问题】
3、不等式的解集是 ；的解集是 ；
的解集是 ；的解集是
4、的最小值是 ；的最小值是 ；的最大值是 ；
5、若且则的最大值是 ；的最小值是 ；
6、已知满足，则的最小值是 ；对应区域的面积为 ；
【函数问题】
7、下列函数与表示同一函数的是（ ）。
A． B． C． D．
8、函数的定义域是 ；的定义域是 ；的定义域是 ；的定义域是 ；
9、已知函数，则；
10、的值是（ ）。
A．1 B．a C． D．
11、的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
12、函数在区间[2，8]上的最小值是 ，最大值是 ；
13、函数的零点所在的区间是（ ）。
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
14、下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A B C D
15、若 ，则；
16、= ；；；
；；
17、函数的最大值是 ，最小值是 ，最小正周期是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
由需要向 平移 个单位可得函数；由向
平移 个单位可得
【立体几何问题】
18、如图所示，一个空间几何体的三视图如右，正视图
与侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则几
何体是 ，其表面积为 ； 正视图 侧视图 俯视图
体积为 ；
19、已知如图，四棱锥的四条侧棱都相等，底面是正方形，是的中点，求证：平面；
20、已知四棱锥的四条侧棱都相等，底面是正方形，是的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面.
21、如图，长方体中，，
（1）异面直线与所成的角的余弦值是 ；
（2）设与相交于，直线与
平面所成的角的正弦值 ；
【直线与圆的问题】
22、已知直线过的斜率 ，倾斜角为 ，直线在轴上的截距是 ，在轴上的截距是 ，直线的方程是 ；
23、直线若，则；若，则；
24、已知圆，则圆心是 ，半径为；
25、已知圆，则圆心是 ，半径为；
26、若圆经过点，且圆心是的圆的标准方程为 ；
27、已知直线与圆交于、两点，则圆心到直线的距离是 ；弦的长为 ；
【算法与程序问题】
28、将两个数a=25，b=9交换，使a=9，b=25，下面语句正确一组是 ( )
A B C D
29、下列各数中，最小的数是（ ）
A、111 111（2） B 、105（8） C、200（6） D、75
30、给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是 （ ）
A、 500 B、 499 C、1000 D、998
31、如右上图，是一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句是（ ）
A、 B、 C、 D、
【统计与概率问题】
32、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人
数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年
职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A、9 B、18 C、27 D、 36
33、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根
据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制
的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，
106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，
[100，102)，[102，104)，[104，106]，
已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ，样本的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
34、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们
的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判甲班的平均身高 乙班的平均身高（填）
(2)甲、乙班两班10名同学身高的中位数分别是 、 ；
35、在边长为4的正方形内画一个内切圆，随机往正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆内的概率是 ；同时投掷两颗骰子，所得点数为奇数的概率为 ，所得点数之和为5的概率为 ；
【向量问题】
36、已知，则；，；
；若的夹角为，则 ;
37、若的夹角为，，，则 ;
38、若，，，则；
39、已知，若，则；若，则；
【解三角形问题】
40、已知中，，则角= ；角= ；
边；三角形的面积为 ；三角形外接圆的面积为 ；
41、已知中，，则角= ；若，则三角形的形状是 ；
【数列问题】
42、已知的前项和为，则 ；
43、已知等差数列中，，则，公差， ；
前项和为
44、已知等比数列中，，则，公比， ；
前项和为
45、若等差数列中，前项和为，则 ；
46、已知各项为正数的等比数列中，则 ；
【三角变换问题】
47、；
48、已知，则，，；
49、已知，是第三象限的角，则；
50、已知，，则；
【线性规划问题】
51、点与点在直线 的 侧（填“同”或“异”）
52、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为 ；
53、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 ；
54、若不等式组，则的最小值是 ，最大值是 ；
【综合问题】
55、已知中，角成等差数列，
（1）若角对应的三边成等比数列，求的值；
（2）若,求
56、已知，（1）若，求；（2）若，求函数的最小正周期与最大值、最小值及单调区间；
57、某工厂用7万元购买了一台新机器，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依次类推，即每年增加1千元。
（1）求总费用关于年数的函数关系式；
（2）求年平均费用的最小值。
58、已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的最小值。
59、已知如图，平面，、分别是、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若,求直线与平面所成角的大小.
60、如图，已知正三角形与直角三角形所在的平面互相垂直，且
（1）求证：;
（2）求二面角的正切值.
61、从甲乙丙丁四人中选两名代表，求：（1）甲被选中的概率；（2）甲没被选中的概率；
62、已知点，直线经过点，且斜率为，
（1）求直线的方程；
（2）求以点为圆心，并且与直线相切的圆的方程。
63、已知甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下茎叶图表示：
（1）求甲、乙运动员得分的中位数
（2）求甲、乙运动员得分的平均数
（3）估计乙运动员在一场比赛中得分
落在内的概率。
64、如图是一个直三棱柱（底面是）被一平面所截得的几何体，截面为,已知.
（1）设是的中点，证明：平面;
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求此几何体的体积。
65、已知圆经过坐标原点，且与直线相切，切点为.
（1）求圆的方程；
（2）若斜率为的直线与圆相交于不同的两点、，求的取值范围。
参考答案
【集合问题】
1、D 2、 ；；
【不等式问题】
3、，，，
4、,； 5、， ； 6、
【函数问题】
7、D； 8、，，，； 9、 0， 1；
10、D ; 11、D 12、 1， 3 ； 13、B
14、A； 15、； 16、
17、，
右，，右，；
【立体几何问题】
18、圆柱，，；
19、证明：连接，交于点，连接，
分别是的中点，
又平面，平面，
平面；
20、（1）证明：因为,又是的中点，
所以,所以平面;
（2）因为，，所以平面,
而平面,所以平面平面
21、
【直线方程与圆问题】
22、； 23、 ；
24、 ； 25、； 26、
27、；
【算法与程序问题】
28、C 29、A 30、B 31、A
【统计与概率问题】
32、B 33、90， 101.3 ， ， 101 ；
34、解：（1）甲班的学生身高的平均数为170cm，,乙班的学生身高的平均数为171.1cm，故乙班高于甲班；应填“”
（2）甲班的学生身高的中位数为169cm，,乙班的学生身高的平均数为171.5cm，
35、， ，
【向量问题】
36、，，，，； 37、；
38、； 39、3 ， ；
【解三角形问题】
40、，，；或，；
41、，等腰三角形或直角三角形；
【数列问题】
42、， 43、，
44、，
45、 46、 9
【三角恒等变换问题】
47、， ， 48、
49、 50、
【线性规划问题】
51、异 52、 9 53、 54、 0， 8
【综合问题】
55、解：（1）因为成等差数列，所以，又，所以
，又因为成等比数列，所以，所以
；
（2）因为而，所以，所以
；
56、解：（1）；
（2）因为，所以的最小正周期为，，；
由，
得的单调递增区间为,
由，
得的单调递减区间为
57、解：（1）每年的维修费用构成一个等差数列，记为，且首相为，公差为，则数列前项和为，;
依题意得
（2）年平均费用为=，当且仅当时，
答：这台机器使用12年的年平均费用最小，且最小为15500元.
故当时，年平均费用有最小值元。
58、解：（1），故是偶函数.
（2）因为，所以由均值不等式得
，当且仅当时，有最小值。
59、（1）证明：、分别是、的中点，
又平面,平面,平面.
（2）平面，平面，，又
平面,平面,平面平面。
（3）平面，在平面内的射影为，故是所求的角，
在中，因为,所以又所以。
60、（1）证明：平面平面，
平面平面，
又
平面，平面
（2）由（1）得平面，从而，设，由已知，，所以
取的中点，连接，则，所以是所求二面角的平面角，由于平面，平面，从而，在中，
因为，.
61、解（1）设“甲被选中”的事件为，从甲乙丙丁四人中选两名代表共有：
甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁6种，而事件包含的情形有甲乙，甲丙，甲丁3种，故.
（2）设“甲不被选中”的事件为，则、是对立事件，所以
62、解：（1）由已知利用点斜式得直线的方程为。
（2）因为圆心为，由已知得圆的半径，所以所求圆的方程为
.
63、解：（1）甲得分的中位数为26分，乙得分的中位数为31分；
（2）甲得分的平均数为分，乙得分的平均数为分；
（3）设“乙得分落在内”的事件为，乙总得分的个数为14，而事件为包含的得分个数为12，故.
64、（1）证明：取的中点，连接，因
为的中点，则，
又，所以四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面
所以平面。
（2）过作于，于,连接，取的中点，连接
，由于，,平面平面,因为，所以为的中点，从而,且,又因为平面平面,平面平面，所以面平面所以平面，从而为所求的角，中，因为，在中，
.
(3)由（2）知，几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，则所求体积
.
65解：（1）设圆心为，半径为，由已知得
，故所求圆的方程为
（2）设直线，则
由
所以，且，
所以，故而
<
又
故的取值范围是.
