第八章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在建立两个变量y与x的回归模型时,分别选择了4个不同的模型,根据下面的数据可得拟合效果最好的模型为 ( )
A.模型1,其中R2为0.75
B.模型2,其中R2为0.90
C.模型3,其中R2为0.25
D.模型4,其中R2为0.55
2.下表为样本中变量y随变量x变化的一组数据,由此判断它最可能是( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 14 18 19 20 23 25 28
A.线性函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
3.已知船员人数关于船的吨位的经验回归方程是=95+0.06x.若两艘轮船吨位相差1 000吨,则船员平均人数相差( )
A.40 B.57
C.60 D.95
4.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组统计数据如下表:
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
5.已知x,y的取值如表所示,若y与x线性相关,且=0.95x+a,则a等于( )
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A.2.2 B.2.9
C.2.8 D.2.6
6.某中学在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验,试验结果见下表,根据小概率值α=0.01的独立性检验,有充分证据推断试验效果与教学措施( )
班别 等级 合计
优、良、中 差
实验班 48 2 50
对比班 38 12 50
合计 86 14 100
A.有关 B.无关
C.关系不明确 D.以上都不正确
7.已知经验回归方程x+中的=0.2,样本点的中心为(4,5),则经验回归方程为( )
A.=1.2x-0.2
B.=1.2x+0.2
C.=0.2x+1.2
D.=0.2x-0.2
8.下表是甲、乙两个平行班(甲班A老师教,乙班B老师教)进行某次数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.
班级 是否及格 合计
不及格 及格
甲班(A教) 4 36 40
乙班(B教) 16 24 40
合计 20 60 80
有充分证据推断不及格人数与不同老师执教有关,且此推断犯错误的概率不超过( )
A.0.005 B.0.001
C.0.002 5 D.无充分依据
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的有( )
A.若r>0,则根据经验回归方程,当x增大时,y也相应增大
B.若r<0,则根据经验回归方程,当x增大时,y也相应增大
C.若r=1或r=-1,则x与y的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直线上
D.如果两个变量x与y之间不存在线性关系,那么根据它们的一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)不能写出一个线性方程
10.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的经验回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.经验回归直线过样本点的中心()
C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg
D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg
11.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据:
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到的经验回归方程为=-2.1x+15.5,则下列说法正确的是( )
A.变量x与y线性负相关
B.当x=2时可以估计y=11.3
C.a=6
D.变量x与y之间是函数关系
12.下列关于独立性检验的说法中,正确的是( )
A.独立性检验依据小概率原理
B.独立性检验得到的结论一定正确
C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异
D.独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位:千箱)与单位成本y(单位:元)的资料进行线性回归分析,结果如下:
=71,=79,xiyi=1 481.
≈-1.818 2,
=71-(-1.818 2)×≈77.36,
则销量每增加1 000箱,单位成本下降 元.
14.为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:
学生性别 是否喜爱打篮球 合计
喜爱打篮球 不喜爱打篮球
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
则在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示)
15.对有关数据的分析可知,每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压度y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其经验回归方程为=0.30x+9.99.根据建设项目的需要,28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm2,则每立方米混凝土的水泥用量最少应为 kg.(精确到0.1 kg)
16.若两个分类变量X与Y的2×2列联表如下:
X Y 合计
y1 y2
x1 10 15 25
x2 40 16 56
合计 50 31 81
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率不超过 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)期中考试后,对某班60名学生的成绩优秀和不优秀与学生近视和不近视的情况做了调查,其中成绩优秀的36名学生中,有20人近视,另外24名成绩不优秀的学生中,有6人近视.
(1)请列出列联表并画出等高堆积条形图,判断成绩优秀与患近视是否有关联.
(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否推断出成绩优秀与患近视有关
18.(12分)某服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(单位:元)与该周每天销售这种服装数x(单位:件)之间的一组数据关系见下表:
x/件 3 4 5 6 7 8 9
y/元 66 69 73 81 89 90 91
已知=280,=45 309,xiyi=3 487.
(1)求;
(2)判断纯利y(单位:元)与每天销售件数x之间是否线性相关,如果线性相关,求出经验回归方程.
19.(12分)某地搜集到的新房屋的销售价格(单位:万元)和房屋面积(单位:m2)的数据如下表:
房屋面积/m2 115 110 80 135 105
销售价格/万元 74.4 64.8 55.2 87.6 66
(1)画出数据对应的散点图;
(2)求经验回归方程;
(3)根据(2)的结果,估计当房屋面积为150 m2时的销售价格.
20.(12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽数为多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求经验回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的经验回归方程x+.
21.(12分)在彩色显影中,由经验可知,形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y=A(b<0)表示.现测得试验数据如下:
xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47
yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29
试求y对x的经验回归方程.
22.(12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
25周岁以上组
25周岁以下组
(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)规定日平均生产件数不少于80者为“生产能手”,请你根据已知条件作出2×2列联表,依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否推断生产能手与工人所在的年龄组有关 第八章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在建立两个变量y与x的回归模型时,分别选择了4个不同的模型,根据下面的数据可得拟合效果最好的模型为 ( )
A.模型1,其中R2为0.75
B.模型2,其中R2为0.90
C.模型3,其中R2为0.25
D.模型4,其中R2为0.55
解析:R2的值越大,意味着残差平方和越小,也就是说拟合效果越好.
答案:B
2.下表为样本中变量y随变量x变化的一组数据,由此判断它最可能是( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 14 18 19 20 23 25 28
A.线性函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
解析:画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近,故最可能是线性函数模型.
答案:A
3.已知船员人数关于船的吨位的经验回归方程是=95+0.06x.若两艘轮船吨位相差1 000吨,则船员平均人数相差( )
A.40 B.57
C.60 D.95
解析:由题意,由于经验回归方程是=95+0.06x,两艘轮船吨位相差1 000吨,则船员平均人数的差值是0.06×1 000=60.
答案:C
4.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组统计数据如下表:
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
解析:本题若用R2或残差来分析拟合效果,运算将会很烦琐,运算量太大,可以将各组数据代入检验,发现D最接近.
答案:D
5.已知x,y的取值如表所示,若y与x线性相关,且=0.95x+a,则a等于( )
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A.2.2 B.2.9
C.2.8 D.2.6
解析:经验回归直线一定过样本点的中心(),由已知=2,=4.5,代入经验回归方程得a=2.6.
答案:D
6.某中学在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验,试验结果见下表,根据小概率值α=0.01的独立性检验,有充分证据推断试验效果与教学措施( )
班别 等级 合计
优、良、中 差
实验班 48 2 50
对比班 38 12 50
合计 86 14 100
A.有关 B.无关
C.关系不明确 D.以上都不正确
解析:χ2=≈8.306>6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,有充分证据推断试验效果与教学措施有关.
答案:A
7.已知经验回归方程x+中的=0.2,样本点的中心为(4,5),则经验回归方程为( )
A.=1.2x-0.2
B.=1.2x+0.2
C.=0.2x+1.2
D.=0.2x-0.2
解析:因为经验回归方程x+中的=0.2,样本点的中心为(4,5),所以5=4+0.2,解得=1.2,
故经验回归方程为=1.2x+0.2.
答案:B
8.下表是甲、乙两个平行班(甲班A老师教,乙班B老师教)进行某次数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.
班级 是否及格 合计
不及格 及格
甲班(A教) 4 36 40
乙班(B教) 16 24 40
合计 20 60 80
有充分证据推断不及格人数与不同老师执教有关,且此推断犯错误的概率不超过( )
A.0.005 B.0.001
C.0.002 5 D.无充分依据
解析:χ2=
=
=9.6>7.879
=x0.005,
故此推断犯错误的概率不超过0.005.
答案:A
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的有( )
A.若r>0,则根据经验回归方程,当x增大时,y也相应增大
B.若r<0,则根据经验回归方程,当x增大时,y也相应增大
C.若r=1或r=-1,则x与y的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直线上
D.如果两个变量x与y之间不存在线性关系,那么根据它们的一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)不能写出一个线性方程
答案:AC
10.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的经验回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.经验回归直线过样本点的中心()
C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg
D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg
解析:D选项中,若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重约为0.85×170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确.ABC都正确.
答案:ABC
11.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据:
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到的经验回归方程为=-2.1x+15.5,则下列说法正确的是( )
A.变量x与y线性负相关
B.当x=2时可以估计y=11.3
C.a=6
D.变量x与y之间是函数关系
解析:由经验回归方程=-2.1x+15.5,可知变量x与y线性负相关,故A正确;
当x=2时,=-2.1×2+15.5=11.3,故B正确;
∵=5,,
∴样本点的中心坐标为,
代入=-2.1x+15.5,得=-2.1×5+15.5,解得a=6,故C正确;
变量x与y之间具有线性负相关关系,不是函数关系,故D错误.
答案:ABC
12.下列关于独立性检验的说法中,正确的是( )
A.独立性检验依据小概率原理
B.独立性检验得到的结论一定正确
C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异
D.独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法
答案:ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位:千箱)与单位成本y(单位:元)的资料进行线性回归分析,结果如下:
=71,=79,xiyi=1 481.
≈-1.818 2,
=71-(-1.818 2)×≈77.36,
则销量每增加1 000箱,单位成本下降 元.
解析:由已知条件可得,=-1.818 2x+77.36,销量每增加1(单位:千箱),则单位成本下降1.818 2元.
答案:1.818 2
14.为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:
学生性别 是否喜爱打篮球 合计
喜爱打篮球 不喜爱打篮球
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
则在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示)
解析:由列联表数据可求得χ2=≈8.33>7.879=x0.005,则在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜爱打篮球与性别有关”.
答案:0.5%
15.对有关数据的分析可知,每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压度y(单位:kg/cm2)之间具有线性相关关系,其经验回归方程为=0.30x+9.99.根据建设项目的需要,28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm2,则每立方米混凝土的水泥用量最少应为 kg.(精确到0.1 kg)
解析:由已知,得0.30x+9.99≥89.7,解得x≥265.7.
答案:265.7
16.若两个分类变量X与Y的2×2列联表如下:
X Y 合计
y1 y2
x1 10 15 25
x2 40 16 56
合计 50 31 81
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率不超过 .
解析:由列联表数据,可求得χ2=≈7.227>6.635=x0.01,
故“X与Y之间有关系”出错的概率不超过0.01.
答案:0.01
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)期中考试后,对某班60名学生的成绩优秀和不优秀与学生近视和不近视的情况做了调查,其中成绩优秀的36名学生中,有20人近视,另外24名成绩不优秀的学生中,有6人近视.
(1)请列出列联表并画出等高堆积条形图,判断成绩优秀与患近视是否有关联.
(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否推断出成绩优秀与患近视有关
解:(1)列联表如下:
成绩 是否近视 合计
近视 不近视
成绩优秀 20 16 36
成绩不优秀 6 18 24
合计 26 34 60
等高堆积条形图如图所示:
由图知成绩优秀与患近视有关.
(2)零假设为H0:成绩优秀与患近视无关.
χ2=≈5.475>3.841=x0.05.
依据小概率值α=0.05的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即成绩优秀与患近视有关,此推断犯错误的概率不超过0.05.
18.(12分)某服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(单位:元)与该周每天销售这种服装数x(单位:件)之间的一组数据关系见下表:
x/件 3 4 5 6 7 8 9
y/元 66 69 73 81 89 90 91
已知=280,=45 309,xiyi=3 487.
(1)求;
(2)判断纯利y(单位:元)与每天销售件数x之间是否线性相关,如果线性相关,求出经验回归方程.
解:(1)=6;
.
(2)画出散点图如图,可知y与x有线性相关关系,设经验回归方程为x+.
=4.75,
-6×4.75≈51.36.
故经验回归方程为=4.75x+51.36.
19.(12分)某地搜集到的新房屋的销售价格(单位:万元)和房屋面积(单位:m2)的数据如下表:
房屋面积/m2 115 110 80 135 105
销售价格/万元 74.4 64.8 55.2 87.6 66
(1)画出数据对应的散点图;
(2)求经验回归方程;
(3)根据(2)的结果,估计当房屋面积为150 m2时的销售价格.
解:(1)设x轴表示房屋的面积,y轴表示销售价格,数据对应的散点图如图.
(2)由(1)知y与x具有线性相关关系,可设其经验回归方程为x+,依据题中的数据,应用科学计算器,可得出xi=109,
(xi-)2=1 570,yi=69.6,
(xi-)(yi-)=924,
得≈0.588 5,
≈69.6-0.588 5×109=5.453 5.
故所求的经验回归方程为=0.588 5x+5.453 5.
(3)由(2)知当x=150时,销售价格的估计值为=0.588 5×150+5.453 5=93.728 5(万元).故当房屋面积为150 m2时,估计销售价格是93.728 5万元.
20.(12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽数为多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求经验回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的经验回归方程x+.
解:(1)设抽到不相邻两组数据为事件A,因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有4种,所以P(A)=1-.
(2)由数据,求得=12,=27.
11×25+13×30+12×26=977,112+132+122=434,
由公式,求得=-3.
故y关于x的经验回归方程为x-3.
21.(12分)在彩色显影中,由经验可知,形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y=A(b<0)表示.现测得试验数据如下:
xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47
yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29
试求y对x的经验回归方程.
分析 由题意可知这不是一个线性回归分析问题,而是一个非线性回归分析问题.由于题目中已给定了要求的曲线为y=A类型,我们只要通过所给出的11对样本数据,求出A和b的值即可确定x与y的相关关系的经验曲线方程.
解:由题意知,对于给定的公式y=A(b<0)两边取自然对数,得ln y=ln A+.
与线性经验回归方程相对照可以看出,只要取u=,v=ln y,a=ln A,就有v=a+bu.这是v关于u的经验回归方程,对此我们再套用相关性检验,求出回归系数b和a.题目中所给出的数据由变量置换u=,v=ln y,得到如下数据:
ui 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128
vi -2.303 -1.966 0.000 0.113 -1.470 -0.994 0.174 0.223 -0.528 -0.236 0.255
可以求得r≈0.998.
由于|r|≈0.998,可知u和v具有很强的线性相关性.再求出b≈-0.146,a≈0.548.
故A=ea=e0.548,y=e0.548.
22.(12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
25周岁以上组
25周岁以下组
(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)规定日平均生产件数不少于80者为“生产能手”,请你根据已知条件作出2×2列联表,依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否推断生产能手与工人所在的年龄组有关
解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.
故样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.
从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.
(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:
组别 是不是生产能手 合计
生产能手 非生产能手
25周岁以上组 15 45 60
25周岁以下组 15 25 40
合计 30 70 100
零假设为H0:生产能手与工人所在的年龄组无关.
χ2=≈1.79<2.706=x0.1.
根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为生产能手与工人所在的年龄组无关.
