7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
A组
1.某学生通过某英语听力测试的概率为,他连续测试3次,每次测试的结果相互独立,则其中恰有1次通过的概率是( )
A. B. C. D.
解析:设“通过测试”为事件A,则P(A)=.用X表示通过测试的次数,则X~B.恰有1次通过的概率是P(X=1)=.
答案:A
2.有5粒种子,每粒种子发芽的概率均为98%,在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( )
A.(0.98)4×0.02 B.0.98×(0.2)4
C.×(0.98)4×0.02 D.×0.98×(0.02)4
解析:由于5粒种子,其发芽是相互独立的,故这是一个5重伯努利试验,则所求概率为P=(0.98)4×0.02.
答案:C
3.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=2)= ( )
A. B. C. D.
解析:P(X=2)=.
答案:D
4.将一枚硬币连续抛掷5次,如果出现k次正面朝上的概率等于出现k+1次正面朝上的概率,那么k的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:事件“正面朝上”发生的次数ξ~B.由题意知,则k+1=5-k,解得k=2.
答案:C
5.一个袋中有除颜色外完全相同的5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( )
A. B.
C. D.
解析:因为X=12表示前11次中取到9次红球,第12次取到红球,所以P(X=12)=.故选B.
答案:B
6.(多选题)一射手对同一目标独立地射击4次,已知至少命中1次的概率为,则下列结论中正确的是( )
A.设此射手射击4次命中次数为ξ,每次命中的概率为p,则ξ~B(4,p)
B.设此射手射击4次命中次数为ξ,则P(ξ≥1)=
C.设每次命中的概率为p,则p=或p=
D.设每次命中的概率为p,则p=
解析:设此射手射击4次命中次数为ξ,每次命中的概率为p,则ξ~B(4,p).
依题意可知P(ξ≥1)=,所以1-P(ξ=0)=1-×(1-p)4=,即(1-p)4=,解得p=或p=(舍去).故选ABD.
答案:ABD
7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在2次罚球中至多命中1次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为 .
解析:设该篮球运动员每次罚球的命中率为p,2次罚球中命中的次数为ξ,则ξ~B(2,p).
由条件得P(ξ=2)=1-,
即×p2=,解得p=.
答案:
8.将一枚质地均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 .
解析:用X表示正面出现的次数,则X~B.正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,故所求概率P=.
答案:
9.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数后放回,连续取3次,且每次取数互不影响,那么在这3次取数中,取出的数恰好为两个非负数和一个负数的概率为 .
解析:由已知可得,等差数列的通项公式为an=10-2n(n=1,2,3,…),其中a1,a2,a3,a4为正数,a5=0,a6,a7,a8,a9,a10为负数,所以从中取一个数为非负数的概率为,取一个数为负数的概率为.3次取数相当于一个3重伯努利试验.故取出的数恰为两个非负数和一个负数的概率为.
答案:
10.抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数.
(1)若抛掷1次,求E(X)和D(X);
(2)若抛掷10次,求E(X)和D(X).
解:(1)随机变量X服从两点分布,因为X的分布列为
X 0 1
P
所以E(X)=p=,
D(X)=p(1-p)=.
(2)由题意知,X~B.
所以E(X)=np=10×=5,
D(X)=np(1-p)=10×.
11.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个,分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25),
所以E(X1)=20×0.9=18,E(X2)=20×0.25=5.
由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X1和5X2.这样,他们在这次测验中的成绩的均值分别是E(5X1)=5E(X1)=5×18=90,E(5X2)=5E(X2)=5×5=25.
12.某学生在上学路上要经过4个有红绿灯的路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯而停留的总时间ξ(单位:min)的分布列.
解:(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为
P(A)=.
(2)由题意可得ξ的可能取值为0,2,4,6,8,ξ=2k表示该学生在路上遇到k次红灯,k=0,1,2,3,4.
所以P(ξ=2k)=,k=0,1,2,3,4.
所以ξ的分布列是
ξ 0 2 4 6 8
P
B组
1.某班有的学生数学成绩优秀,如果从该班中随机抽出5名同学,设其中数学成绩优秀的学生数为X,那么E(2X+1)等于( )
A. B. C.3 D.
解析:由题意知X服从二项分布B,则E(X)=,从而E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.
答案:D
2.两封信依次随机投入A,B,C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望是( )
A. B. C. D.
解析:由题意知ξ~B,所以E(ξ)=2×.
答案:B
3.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:质点每次只能向上或向右移动,且概率均为,所以移动5次可看成做了一个5重伯努利试验.质点P移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次)的概率为.
答案:B
4.某零件正品率为,次品率为,现对该批零件进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)的值为( )
A. B.
C. D.
解析:ξ=3表示前2次测出的都是次品,第3次为正品,
则P(ξ=3)=.
答案:C
5.(多选题)在“石头、剪刀、布”游戏中,规定:“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”.现在小明、小泽两名同学玩这个游戏,共玩n局,每一局每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为ξ,且D(ξ)=,则( )
A.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5
B.ξ~B
C.n=4
D.E(ξ)=4×
解析:对于A,由题意可得n=5,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5,故A对;
对于B,每一局小明赢小泽的概率为,由题意知,这是一个n重伯努利试验,故ξ~B,故B对;
对于C,由D(ξ)=,知D(ξ)=n×,解得n=5,故C错;
对于D,E(ξ)=5×,故D错.
故选AB.
答案:AB
6.假设每一架飞机的发动机在飞行中出现故障的概率为1-p,且各发动机是否出现故障是独立的,已知4台发动机飞机中至少有3台发动机正常运行,飞机才可成功飞行;2台发动机飞机要2台发动机全部正常运行,飞机才可成功飞行,要使4台发动机飞机比2台发动机飞机更安全,则p的取值范围是 .
解析:4台发动机飞机成功飞行的概率为p3(1-p)+p4,2台发动机飞机成功飞行的概率为p2.由p3(1-p)+p4>p2,得
答案:
7.随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥2)的值为 .
解析:由已知得P(X=0)=1-P(X≥1)=p0(1-p)2,解得p=.
因此,P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-p0(1-p)4-p(1-p)3=1-.
答案:
8.在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用x,y,z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X=x+y,则E(X)= .
解析:将每一次掷骰子看作一次实验,实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种,且丙盒中投入球(成功)的概率为,z表示6次实验中成功的次数,则z~B,
∴E(z)=3.∵x+y+z=6,∴X=x+y=6-z,
∴E(X)=E(6-z)=6-E(z)=6-3=3.
答案:3
9.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0.7,0.6,0.8,乙、丙两台机床加工的零件数相等,甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的2倍.
(1)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各抽取一件检验,求至少有一件是一等品的概率;
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取一件检验,求它是一等品的概率;
(3)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取4件检验,其中一等品的个数记为X,求X的分布列.
解:(1)设事件A,B,C分别表示从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品,则P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(C)=0.8.所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各抽取一件检验,至少有一件是一等品的概率为P1=1-P()P()P()=1-0.3×0.4×0.2=0.976.
(2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起,从中任意地抽取一件检验,它是一等品的概率为P2==0.7.
(3)依题意知,X~B(4,0.7).抽取的4件样品中一等品的个数X的可能取值为0,1,2,3,4,且
P(X=4)=×0.74=0.240 1,
P(X=3)=×0.73×0.3=0.411 6,
P(X=2)=×0.72×0.32=0.264 6,
P(X=1)=×0.7×0.33=0.075 6,
P(X=0)=×0.34=0.008 1.
所以X的分布列为
X 4 3 2 1 0
P 0.240 1 0.411 6 0.264 6 0.075 6 0.008 1
10.一家面包店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个,且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个,且另1天的日销售量低于50个”.
因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)由题意知X~B(3,0.6).X的可能取值为0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)=×(1-0.6)3=0.064,
P(X=1)=×0.6×(1-0.6)2=0.288,
P(X=2)=×0.62×(1-0.6)=0.432,
P(X=3)=×0.63=0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.(共53张PPT)
7.4.1 二项分布
第七章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解n重伯努利试验的模型.
2.理解二项分布.
3.能利用伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
4.充分体会知识的发现过程,并渗透由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法,培养数学建模能力,并能解决相应的实际问题.
自主预习 新知导学
一、n重伯努利试验
【问题思考】
1.要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.
(1)试想每次试验的前提是什么
(2)试验结果有哪些
(3)各次试验的结果有无影响
提示:(1)条件相同.
(2)两个可能结果:正面朝上或反面朝上.
(3)无,即各次试验的结果相互独立.
2.填一填:(1)我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为
n重伯努利试验.
(3)n重伯努利试验具有如下共同特征:
①同一个伯努利试验重复做n次;
②各次试验的结果相互独立.
3.做一做:某射手射击1次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:①他第三次击中目标的概率为0.9;②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1;③他至少击中目标1次的概率为1-0.14.
其中正确结论的序号为 .
解析:在n次独立重复试验中,每次试验事件发生的概率都相等,故①正确;②中恰好击中3次需要看哪3次击中,正确的概率应为 ×0.93×0.1,故错误;利用对立事件求解,③正确.
答案:①③
二、二项分布
【问题思考】
1.在体育课上,某同学做投篮训练,他连续投篮3次,每次投篮的命中率都是0.8,用Ai(i=1,2,3)表示第i次投篮命中这件事,用B1表示仅投中1次这件事.
(1)试用Ai表示B1.
(2)试求P(B1).
(3)用Bk表示投中k次这件事,试求P(B2)和P(B3).
提示:P(B2)=3×0.82×0.2,P(B3)=0.83.
(4)由以上问题的结果你能得出什么结论
提示:结论:P(Bk)= ×0.8k×0.23-k,k=0,1,2,3.
2.填一填:(1)一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X=k)= pk(1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p) .
(2)一般地,可以证明:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
3.做一做:(1)种植某种树苗,成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率是( )
A.0.33 B.0.066 C.0.5 D.0.45
(2)如果X~B(20,p),当p= 且P(X=k)取得最大值时,k= .
解析:(1)设A=“树苗成活”,则P(A)=0.9.用X表示事件A发生的次数,则X~B(5,0.9).恰好成活4棵等价于X=4,于是P(X=4)= ×0.94×0.1≈0.33.
故当k=10时,P(X=k)取得最大值.
答案:(1)A (2)10
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的.( √ )
(2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果.( √ )
(3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
n重伯努利试验的概率问题
【例1】 甲、乙两射击运动员各射击一次,击中目标的概率分别是
假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.求:
(1)甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)甲、乙各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
(2)设A2=“甲射击2次,恰有2次击中目标”,B2=“乙射击2次,恰有1次击中目标”,则“甲、乙各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次”就是事件A2B2.
例1中条件不变,求甲、乙各射击2次,甲未击中目标、乙击中目标2次的概率.
n重伯努利试验概率求法的三个步骤:
(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.
(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式计算.
【变式训练1】 某单位有6名工作人员,他们相互独立借助互联网开展工作,已知每人上网的概率都是0.5.
(1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3
解:用X表示同时上网的人数,则X~B(6,0.5).于是X的分布列为
(1)至少3人同时上网,这件事包括3人,4人,5人或6人同时上网,设“至少3人同时上网”为事件A,则P(A)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
(2)由(1)知,至少3人同时上网的概率大于0.3,
设事件B表示至少4人同时上网,则
故至少5人同时上网的概率小于0.3.
探究二
二项分布及其应用
【例2】 一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有6个有红绿灯的路口,假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 ,设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列.
1.一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下
(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p.
(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性.
(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p).
2.二项分布实际应用问题的解题思路
(1)根据题意设出随机变量.
(2)分析出随机变量服从二项分布.
(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率).
(4)写出二项分布的分布列.
【变式训练2】 某中学学生心理咨询中心的服务电话接通率为 ,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列.
探究三
二项分布的均值与方差
【例3】 (1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= (k=0,1,2,3,4,5),则D(3ξ)=( )
A.10 B.30 C.15 D.5
(2)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
1.本例题(1)条件不变,则E(3ξ+2)= .
答案:7
2.本例题(2)改为随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,则二项分布的参数n,p的值分别为 .
答案:6,0.4
对于二项分布的均值与方差,关键是通过题设确定随机变量服从二项分布,然后直接运用公式计算.
【变式训练3】 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)= .
解析:因为X~B(100,0.02),
所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
答案:1.96
探究四
n重伯努利试验与二项分布综合应用
【例4】 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前都要对产品做检验,若检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从一箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品做检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品做检验
令f'(p)=0,得p=0.1.
当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0,f(p)在区间(0,0.1)上单调递增;
当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0,f(p)在区间(0.1,1)上单调递减.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
①设Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,
依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,
即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对余下的产品做检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400,故应该对余下的产品做检验.
对于概率问题的综合问题求解策略
首先,要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验这四类事件中的某一种;
其次,要判断事件是A+B还是AB,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式;
最后,选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n重伯努利试验的概率公式求解.
【变式训练4】 英语考试有100道选择题,每题4个选项,选对得1分,否则得0分.学生甲会其中的20道,学生乙会其中的80道,不会的均随机选择.求甲、乙在这次测验中得分的期望.
解:设甲和乙不会题的得分分别为随机变量ξ和η.
由题意知ξ~B(80,0.25),η~B(20,0.25),
故E(ξ)=80×0.25=20,E(η)=20×0.25=5.
于是E(ξ+20)=E(ξ)+20=40,
E(η+80)=E(η)+80=85.
故甲、乙在这次测验中得分的期望分别为40分和85分.
易错辨析
事件关系判断不准确致错
【典例】 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 .现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列.
错解:(1)设“第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程”分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.
由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:(1)对事件关系判断不明确,3人选择项目所属类别互不相同的事件AiBjCk(i,j,k互不相同)共有 =6种情形,误认为只有A1B2C3发生,导致计数错误.
(2)正确.在第(2)问中,将ξ对η转化,找到ξ=3-η的关系,利用二项分布间接求得ξ的分布列,避免了直接求P(ξ=k)(k=0,1,2,3)的繁杂计算.
1.准确理解事件特征,理清事件间的关系,强化事件关系判断的训练,努力减少此类错误的发生.
2.针对第(2)问,要注意合理分类与转化,利用二项分布简化事件概率的计算.
【变式训练】 在未来3天中,某气象台预报每天天气的准确率为0.8,则在未来3天中,
(1)至少有2天预报准确的概率是多少
(2)至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少
随堂练习
1.任意抛掷三枚质地均匀的硬币,恰有2枚正面朝上的概率为( )
答案:B
答案:A
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则D(ξ)=( )
答案:A
4.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有 .(填序号)
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数;
②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;
③有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M答案:①③
本 课 结 束