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7.3.2 离散型随机变量的方差
第七章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布方差的求法,会利用相关公式求它们的方差.
4.理解如何运用方差解决实际问题,提高数学抽象、数学建模能力.
自主预习 新知导学
离散型随机变量的方差
【问题思考】
1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X和Y,X和Y的分布列如下表所示.
(1)试求E(X),E(Y);
(2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低
(3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低
(2)不能,因为E(X)=E(Y).
(3)方差.
2.填空:(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方
(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.
因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称
(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越 集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越 分散 .
(3)一般地,可以证明下面的结论成立:
D(aX+b)= a2D(X) .
3.做一做:(1)已知随机变量X的分布列为
则D(X)等于( )
A.0.7 B.0.61
C.-0.3 D.0
(2)若D(ξ)=1,则D(ξ-D(ξ))= .
解析:(1)E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.61.
(2)D(ξ-D(ξ))=D(ξ-1)=D(ξ)=1.
答案:(1)B (2)1
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值.( × )
(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平.( × )
(3)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平.( × )
(4)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求离散型随机变量的方差、标准差
【例1】 已知离散型随机变量X1的分布列为
离散型随机变量X2的分布列为
求这两个随机变量的均值、方差与标准差.
求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,求出数学期望E(X);
(4)根据公式计算方差.
【变式训练1】 已知随机变量X的分布列为
答案:C
探究二
离散型随机变量的方差公式及性质
【例2】 已知随机变量η的分布列为
(1)求方差及标准差;
(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).
将本例的分布列改为
其他不变,如何求解
η 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
解:(1)∵E(η)=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.1=3,
∴D(η)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.4+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.1=1.2.
(2)∵Y=2η-E(η),
∴D(Y)=D(2η-Eη)=22D(η)=4×1.2=4.8.
与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路
对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,避免了繁杂的计算,简化了计算过程.
【变式训练2】 已知随机变量X的分布列为
探究三
方差的实际应用
【例3】 为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
解:(1)依据题意,知0.5+3a+a+0.1=1,
解得a=0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
∴ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)根据(1)中ξ,η的分布列,可得
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙的大.
又D(ξ)
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤:
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了离散型随机变量取值的集中与离散程度.
(3)下结论.依据均值、方差的实际意义给出结论.
【变式训练3】 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类大致相同,数量大致相等.甲、乙两个保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数ξ,η的分布列分别为
试评定甲、乙两个保护区的管理水平.
ξ 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
η 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
解:甲保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数ξ的均值和方差分别为E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;
D(ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数η的均值和方差分别为E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;
D(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
因为E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以两个保护区内每个季度发生的违反保护条例事件的平均次数相同,但甲保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数相对分散和波动,乙保护区内每个季度发生违反保护条例事件的次数更集中和稳定.
规范解答
离散型随机变量数学期望与方差的综合应用
【典例】 已知袋子中装有大小、质地完全相同的a个红球,b个黄球,c个蓝球,规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中有放回地依次随机摸出2个球,记随机变量ξ为摸出这2个球所得分数之和,求ξ的分布列;
(2)从该袋子中随机摸出1个球,记随机变量η为摸出的球所得分数.若
(2)由题意知η的分布列为
对于离散型随机变量数学期望与方差的综合应用问题,解题时首先要理解关键词,其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值,计算出相应的概率,最后一般就是计算问题.
【变式训练】 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0(1)求方差D(ξ)的最大值;
解:随机变量ξ的可能取值为0,1,且P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p.随机变量ξ服从两点分布,从而E(ξ)=p,D(ξ)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.
随堂练习
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=3,6,9.则D(X)等于( )
A.6 B.9 C.3 D.4
答案:A
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
解析:依题意知,ξ服从两点分布,则D(ξ)=m(1-m).
答案:D
3.甲、乙两名运动员在以往比赛中得分的分布列如下表所示.
现有一场比赛,派哪位运动员参加较好 ( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
得分X 0 1 2
甲得分的概率 0.2 0.5 0.3
乙得分的概率 0.3 0.3 0.4
解析:E(ξ1)=E(ξ2)=1.1,D(ξ1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,
D(ξ2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69.因为D(ξ1)所以甲比乙得分稳定,选甲参加较好.
答案:A
4.随机变量ξ有四个不同的取值,且其分布列如下:
则E(ξ)的最大值为( )
答案:D
本 课 结 束7.3.2 离散型随机变量的方差
A组
1.已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
则D(ξ)的值为( )
A. B. C. D.
解析:E(ξ)=1×+2×+3×+4×,
D(ξ)=.
答案:C
2.随机变量X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P 0.5 x y
若E(X)=,则D(X)等于( )
A. B. C. D.
解析:由
所以D(X)=.
答案:D
3.甲、乙两台自动机床各生产同种产品1 000件,ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,ξ,η的分布列分别为
甲机床生产次品数的分布列
ξ 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
乙机床生产次品数的分布列
η 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
据此可判定( )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
解析:由随机变量ξ与η的分布列,可得甲机床生产的次品数均值为E(ξ)=0.7,乙机床生产的次品数均值为E(η)=0.7,进而得D(ξ)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,D(η)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01.由于E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),故乙比甲质量好.
答案:B
4.编号为1,2,3的3名同学随意坐入编号为1,2,3的3个座位,每名同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生人数是X,则X的方差为( )
A. B. C. D.1
解析:X的可能取值为0,1,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=3)=,
则E(X)=0×+1×+3×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
答案:D
5.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得1分,反面朝上得-1分,则得分X的均值与方差分别为( )
A.E(X)=0,D(X)=1 B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=0,D(X)= D.E(X)=,D(X)=1
解析:由题意知,随机变量X的分布列为
X 1 -1
P 0.5 0.5
所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,
D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.
答案:A
6.(多选题)已知甲盒中有大小、质地相同的2个红球,1个黄球,乙盒中有1个红球,2个黄球.从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球,设红球的个数为Xi(i=1,2,3)(从甲、乙、丙三个盒子取出分别对应i=1,2,3),则( )
A.X1,X2,X3的所有可能取值均为0,1
B.X1,X2,X3服从两点分布
C.E(X1)D.D(X1)>D(X2)>D(X3)
解析:依题意得,X1的可能取值为0,1,且P(X1=0)=,P(X1=1)=×1+,
所以随机变量X1的分布列为
X1 0 1
P
X1服从两点分布,所以E(X1)=,D(X1)=.
同理,X2的可能取值为0,1, 且P(X2=0)=×1=,P(X2=1)=,
所以随机变量X2的分布列为
X2 0 1
P
X2服从两点分布,所以E(X2)=,D(X2)=.
X3的可能取值为0,1,且P(X3=0)=××1=,P(X3=1)=××1=,
所以随机变量X3的分布列为
X3 0 1
P
X3服从两点分布,所以E(X3)=,D(X3)=.
所以E(X1)>E(X3)>E(X2),D(X1)=D(X2)答案:AB
7.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
若η=2X+2,则D(η)的值为 .
解析:E(X)=-1×+0×+1×=-,
可得D(X)=,从而D(η)=D(2X+2)=4D(X)=.
答案:
8.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
解:(1)根据题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)中ξ,η的分布列可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
因为E(ξ)>E(η),所以甲平均射中的环数比乙高;
又因为D(ξ)9.在一轮投篮练习中,每名选手最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列,并求ξ的数学期望与方差.(结果精确到0.001)
解:ξ的可能取值为1,2,3,4.
ξ=1表示第一次即投中,则P(ξ=1)=0.7;
ξ=2表示第一次未投中,第二次投中,
则P(ξ=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;
ξ=3表示第一、二次未投中,第三次投中,
则P(ξ=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;
ξ=4表示前三次未投中,
则P(ξ=4)=(1-0.7)3=0.027.
因此ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.7 0.21 0.063 0.027
E(ξ)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417.
D(ξ)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.531.
B组
1.已知随机变量ξ的分布列如表所示,则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )
ξ 0 1 2
P y 0.4 x
A.0.72 B.0.6 C.0.24 D.0.48
解析:由题意知x≥0,y=0.6-x≥0,故0≤x≤0.6.
因为E(ξ)=0.4+2x,
E(ξ2)=0.4+4x,所以D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=0.4+4x-(0.4+2x)2=-4x2+2.4x+0.24,
当x=0.3时,D(ξ)max=0.6.
答案:B
2.随机变量ξ的分布列如下表:
ξ n n+1 n+2
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则D(ξ)( )
A.与n有关,有最大值 B.与n有关,有最小值
C.与n无关,有最大值 D.与n无关,有最小值
解析:由题意得,a+c=2b,a+b+c=1,解得b=.
E(ξ)=na+(n+1)b+(n+2)c=n(a+b+c)+b+2c=n+b+2c,
E(ξ2)=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c,
则D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c-(n+b+2c)2=-4c2+c+,所以D(ξ)与n无关,且当c=时,D(ξ)有最大值.
答案:C
3.已知ξ是离散型随机变量,P(ξ=x1)=,P(ξ=x2)=,且x1A. B. C.3 D.
解析:由E(ξ)=,D(ξ)=,得
解得
因为x1所以x1+x2=3.
答案:C
4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试.设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则( )
A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布
C.E(X)= D.D(X)=
解析:由已知得X的可能取值为0,1,且服从两点分布.
P(X=0)=,P(X=1)=,
则E(X)=,D(X)=.
故选ABCD.
答案:ABCD
5.设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X,则= .
解析:由题意得X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)×,
D(X)=E(X2)-(E(X))2=1×+4×+9×+16×+25×+36×.
所以.
答案:
6.袋中有20个大小、质地相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的记号.
(1)求X的分布列、数学期望和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,求a,b的值.
解:(1)X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.
D(X)=.
(2)由D(Y)=a2D(X),即a2×=11,得a=±2.
∵E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b,
∴当a=2时,由1=2×+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×+b,得b=4.
∴
7.根据以往经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X X<50 50≤X<100 100≤X<250 X≥250
工期延 误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于50 mm,100 mm,250 mm的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量至少是50 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率.
解:(1)由已知可得
P(X<50)=0.3,P(50≤X<100)=P(X<100)-P(X<50)=0.7-0.3=0.4,P(100≤X<250)=P(X<250)-P(X<100)=0.9-0.7=0.2,P(X≥250)=1-P(X<250)=1-0.9=0.1,
所以Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)由概率的加法公式,得P(X≥50)=1-P(X<50)=0.7,P(50≤X<250)=P(X<250)-P(X<50)=0.9-0.3=0.6.
由条件概率公式,得P(Y≤6|X≥50)=P(X<250|X≥50)=.
故在降水量X至少是50 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.
8.投资A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为
投资A项目的利润率分布列
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
投资B项目的利润率分布列
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出当x为何值时,f(x)取得最小值.
解:(1)由题意知,Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,
D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;
E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.
(2)f(x)=D+D
=D(Y1)+D(Y2)
=[x2+3(100-x)2]
=(4x2-600x+3×1002).
所以,当x=75时,f(x)取得最小值3.