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7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
2.掌握两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关问题.
4.培养利用数学模型分析、解决实际问题的能力.
自主预习 新知导学
离散型随机变量的均值
【问题思考】
1.有12个西瓜,已知其中重5 kg的有4个,重6 kg的有3个,重7 kg的有5个.
(1)任取一个西瓜,用X表示这个西瓜的重量,试想X的可能取值有哪些
(2)X取上述值时对应的概率分别是多少
(3)如何求西瓜的平均重量
2.填一填:(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(2)一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
(3)一般地,下面的结论成立:
E(aX+b)=aE(X)+b .
3.做一做:(1)已知ξ的分布列为
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
(2)由已知得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.
答案:(1)D (2)A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( × )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平.( × )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
两点分布的均值
【例1】 某运动员投篮命中率为p=0.6,求投篮1次命中次数X的数学期望.
解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.6.
X 0 1
P 0.4 0.6
若本例中命中率改为0.8,结果又如何
解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.8.
X 0 1
P 0.2 0.8
1.两点分布的特点:
(1)一次试验的结果要么发生要么不发生.
(2)随机变量的取值为0,1.
(3)试验次数一般只有一次试验.
2.如果随机变量X服从两点分布,那么随机变量X的均值E(X)=p.
熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.
【变式训练1】 若X的分布列为
答案:A
探究二
离散型随机变量均值公式及性质
【例2】 已知随机变量X的分布列如下表:
(1)求m的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X-3,求E(Y).
与离散型随机变量性质有关的问题的解题思路
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键先由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(ξ).
【变式训练2】 已知随机变量ξ的分布列为
答案:B
探究三
离散型随机变量的均值
【例3】 某汽车4S店在一次汽车促销活动中,让每位参与者从盒子中任取一个由0~9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字).若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除,则可以享受5万元的优惠;若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除,则可以享受3万元的优惠;其他结果享受1万元的优惠.
(1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”;
(2)若小明参加了这次汽车促销活动,求他得到的优惠金额X的分布列及数学期望E(X).
解:(1)个位数字为4的“三位递减数”有984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10个.
(2)由题意知,不同的“三位递减数”共有 =120(个).
小明得到的优惠金额X的可能取值为5,3,1.
当X=5时,三个数字之和可能为20,10,当三个数字之和为20时,有983,974,965,875,共4个“三位递减数”;
当三个数字之和为10时,有910,820,730,640,721,631,541,532,共8个“三位递减数”,
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;
(2)求概率:求X取每个值的概率;
(3)写分布列:写出X的分布列;
(4)求均值:由均值的定义求出E(X).
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.
【变式训练3】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数学期望.
探究四
均值的实际应用
【例4】 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的分期付款期数X的分布列为
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A“购买该商品的3名顾客中,至少有1名采用1期付款”的概率P(A);
(2)求Y的分布列及均值E(Y).
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
解:(1)由A表示事件“购买该商品的3名顾客中至少有1名采用1期付款”知,
表示事件“购买该商品的3名顾客中无人采用1期付款”.
P( )=(1-0.4)3=0.216,
则P(A)=1-P( )=1-0.216=0.784.
(2)Y的可能取值为200,250,300,且P(Y=200)=P(X=1)=0.4,
P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,
P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2.
因此Y的分布列为
故E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
1.实际生活中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的选择、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)根据实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
【变式训练4】 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求生产1件产品的平均利润(即X的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x,其中0≤x≤0.29,则此时1件产品的平均利润为
E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x.
依题意,得E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
易错辨析
不能准确理解题意致错
【典例】 根据统计,一年中,一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者交保险费100元,若在一年之内,万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>100),问a如何确定,可使保险公司期望获利
错解:设保险公司获利为ξ元,则ξ的分布列如下表:
所以E(ξ)=100×0.99+(-a)×0.01=99-0.01a.
由E(ξ)>0,得100
故当100ξ 100 -a
P 0.99 0.01
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了,而当该家庭失窃时,保险公司需赔偿a元,但是已收取了100元,故其损失为(-a+100)元.
正解:设保险公司获利为ξ元,则ξ的分布列如下表:
所以E(ξ)=100×0.99+(-a+100)×0.01=100-0.01a.
由E(ξ)>0,得100故当100ξ 100 -a+100
P 0.99 0.01
对于以实际问题为背景的应用题,解题时要准确理解题意,明确各量之间的关系,避免出现错误.
【变式训练】 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.
解:(1)设事件A1=“第2局结果为甲胜”,A2=“第3局甲参加比赛,结果为甲负”,A=“第4局甲当裁判”,则A=A1A2.
因为A1与A2相互独立,所以P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= .
(2)X的可能取值为0,1,2.
设A3=“第3局乙和丙比赛,结果为乙胜丙”,B1=“第1局结果为乙胜丙”,B2=“第2局乙和甲比赛,结果为乙胜甲”,B3=“第3局乙参加比赛,结果为乙负”,
随堂练习
1.随机变量X的分布列为
则X的均值是( )
A.2 B.2.1
C.2.3 D.随m的变化而变化
解析:因为0.2+0.5+m=1,所以m=0.3.
所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.
答案:B
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:
已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为 .
答案:0.4
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
3.设随机变量X的分布列为
Y=2X+5,则E(Y)= .
4.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求:
(1)抽取次数X的分布列;
(2)抽取次数X的均值.
本 课 结 束7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
A组
1.有两台在两地独立工作的雷达,两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为ξ,则E(ξ)的值为( )
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
解析:当ξ=0时,P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;
当ξ=1时,P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.135+0.085=0.22;
当ξ=2时,P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765.
所以E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
答案:B
2.设随机变量X的分布列如表所示,已知E(X)=1.6,则a-b=( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4
解析:由随机变量分布列的性质,得0.1+a+b+0.1=1,即a+b=0.8.①
已知E(X)=1.6,即0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,即a+2b=1.3.②
由①②,可得a=0.3,b=0.5,所以a-b=0.3-0.5=-0.2.
答案:C
3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为 ( )
A. B. C.2 D.
解析:X的可能取值为2,3.
P(X=2)=,P(X=3)=.
所以E(X)=×2+×3=+2=.
答案:D
4.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为,则此人试验次数X的均值是( )
A. B. C. D.
解析:试验次数X的可能取值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.
所以试验次数X的分布列为
X 1 2 3
P
于是E(X)=1×+2×+3×.
答案:B
5.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是
ξ -1 0 2
P cos α
其中α∈,则( )
A.+cos α=1 B.cos α=,sin α=
C.E(ξ)=1 D.以上均不正确
解析:对于A,由离散型随机变量分布列的性质,得+cos α=1,故正确;
对于B,由A,得sin α+2cos α=2,解方程组故正确;
对于C,E(ξ)=-+2cos α=-+2×=1,故正确.故选ABC.
答案:ABC
6.设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).又X的均值E(X)=3,则a+b= .
解析:因为P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,所以E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,即14a+6b=3.①
又因为(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,即6a+3b=1.②
由①②,可得a=,b=-,所以a+b=-.
答案:-
7.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:
投资成功 投资失败
192例 8例
则该公司一年后估计可获收益的数学期望是 .
解析:由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故一年后收益的期望是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元).
答案:4 760元
8.某项游戏活动的奖励分为一、二、三等奖,且相应的获奖概率是以a1为首项,2为公比的等比数列,相应的奖金是以700元为首项,-140元为公差的等差数列,则参与该游戏获得奖金的数学期望为 元.
解析:由随机变量分布列的性质,可得a1+2a1+4a1=1,
解得a1=,从而2a1=,4a1=.
因此参与该游戏获得奖金X的分布列为
X 700 560 420
P
所以E(X)=700×+560×+420×=500(元).
答案:500
9.对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲单独解出该题的概率为,乙单独解出该题的概率为,设解出该题的人数为X,求E(X).
解:设“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B.由题意知,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=P()P()=,
P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=,
P(X=2)=P(A)P(B)=.
所以解出该题的人数X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×.
10.某中学选派40名学生参加某市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如表所示.
培训次数 1 2 3
参加人数 5 15 20
(1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率;
(2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
解:(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P=1-.
(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×.
B组
1.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的数学期望E(X)=( )
A.2 B.2或 C. D.1
解析:由离散型随机变量分布列的性质,得=1,且≥0,解得a=1.因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=.
答案:C
2.某日A,B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相等,已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=( )
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
解析:设A,B两市受台风袭击的概率均为p,则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),则P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04,所以E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
答案:D
3.一名射击运动员对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4发子弹,则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
解析:设命中后剩余子弹数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3.
因为P(ξ=0)=0.44+0.43×0.6=0.064,
P(ξ=1)=0.42×0.6=0.096,
P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24,
P(ξ=3)=0.6,
所以E(ξ)=0×0.064+0.096×1+0.24×2+0.6×3=2.376.
答案:C
4.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一名游客游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响.设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(ξ)等于( )
A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1
解析:随机变量ξ的可能取值为1,3,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,从而P(ξ=1)=1-0.24=0.76.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 1 3
P 0.76 0.24
从而E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.
答案:A
5.袋中有大小、质地相同的3个黑球,1个红球.从中任取2个,取出一个黑球得0分,取出一个红球得2分,则所得分数ξ的数学期望E(ξ)= .
解析:由题意得ξ的所有可能取值为0,2,其中ξ=0表示取出的球为两个黑球,ξ=2表示取出的球为一黑一红,所以P(ξ=0)=,P(ξ=2)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 2
P
故E(ξ)=0×+2×=1.
答案:1
6.已知随机变量ξ和η,其中η=4ξ-2,且E(η)=7,若ξ的分布列如表所示,则n的值为 .
ξ 1 2 3 4
P m n
解析:因为η=4ξ-2,所以E(η)=4E(ξ)-2,即7=4×E(ξ)-2,解得E(ξ)=.
所以1×+2×m+3×n+4×.①
由分布列的性质,可得+m+n+=1.②
联立①②,解得n=.
答案:
7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数,若P(X=0)=,则随机变量X的均值E(X)= .
解析:由题意得P(X=0)==(1-p)2×,解得p=.
随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
X的分布列为P(X=0)=,
P(X=1)=+2×,
P(X=2)=×2+,
P(X=3)=.
因此E(X)=0×+1×+2×+3×.
答案:
8.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.
9.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的概率.
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).
解:(1)设事件M=“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3”,则P(M)=.
(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4.
根据古典概型知识,可得
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.
10.某人有20万元,准备用于投资房地产或购买股票,若根据下面的盈利表进行决策,应选择哪种方案
自然状况 概率 购买股票 盈利/万元 投资房地产 盈利/万元
巨大成功 0.3 10 8
一般成功 0.5 3 4
失败 0.2 -10 -4
解:设购买股票的盈利为X,投资房地产的盈利为Y,则购买股票的盈利均值为E(X)=10×0.3+3×0.5+(-10)×0.2=3+1.5-2=2.5;投资房地产的盈利均值为E(Y)=8×0.3+4×0.5+(-4)×0.2=2.4+2-0.8=3.6.
因为E(Y)>E(X),所以投资房地产的平均盈利较高.
故应选择投资房地产.