人教A版(2019)高中数学 选择性必修第三册 7.1.2 全概率公式(课件(共34张PPT)+作业)

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名称 人教A版(2019)高中数学 选择性必修第三册 7.1.2 全概率公式(课件(共34张PPT)+作业)
格式 zip
文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-04-25 10:11:12

文档简介

(共34张PPT)
7.1.2 全概率公式
第七章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解抽签具有公平性的证明.
2.熟练掌握全概率公式及贝叶斯公式.
3.会用全概率公式及贝叶斯公式解决一些实际问题.
4.培养数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养.
自主预习 新知导学
全概率公式
【问题思考】
1.一个盒子里装有7只好的晶体管、5只坏的晶体管,每次随机摸出1只,摸出的晶体管不放回,则
(1)第一次摸到好的晶体管的概率是多少
(2)第二次摸到好的晶体管的概率又是多少 为什么
(3)它们有怎样的关系
2.填一填:(1)一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有
我们称此公式为全概率公式.
(2)设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有
3.做一做:某乡镇有甲、乙两家超市,一周内老王要去超市购物两次,第一次购物时随机地选择一家超市购物.若第一次去甲超市,则第二次去甲超市的概率为0.4;若第一次去乙超市,则第二次去甲超市的概率为0.6.老王第二次去甲超市购物的概率为     .
解析:设事件A1=“第1次去甲超市购物”,B1=“第1次去乙超市购物”,A2=“第2次去甲超市购物”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥.
根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4,P(A2|B1)=0.6.
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
因此,老王第2次去甲超市购物的概率为0.5.
答案:0.5
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)全概率公式P(B)= P(Ai)P(B|Ai)中的事件B,只能是一个单一的事件.( × )
(2)在贝叶斯公式中,称P(Ai)是试验之前就已知的概率,称为先验概率,P(Ai|B)称为后验概率.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
全概率公式的应用
【例1】 有编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,一个2号球与一个3号球;Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球;Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.现在先从Ⅰ号袋内随机地摸出一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从放入球的口袋中随机摸出一个球,计算第二次摸到几号球的概率最大,为什么
解:记事件Ai,Bi分别表示第一、二次摸到i号球,i=1,2,3,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
在上题中,若第二次取到1号球,问它取自哪一个口袋的概率最大
全概率公式为复杂事件的概率计算提供了一条有效途径,是概率论中一个有效的分析工具.其重要意义在于:对于一个复杂的事件B,若无法直接求出它的概率P(B),则可以“化整为零”,通过选择样本空间的划分将复杂事件B分解为若干个简单事件来进行处理,从而使分析问题的思路变得清晰条理,计算化繁就简,化难为易.
【变式训练1】 已知口袋中有10张卡片,其中两张卡片是中奖卡.三个人依次从口袋中摸出一张,则中奖概率是否与摸卡的次序有关
探究二
贝叶斯公式的应用
【例2】 经过普查,了解到人群中患有某种疾病的概率为0.5%.某病人因患有类似病症前去就医,医生让他做某项化验.经临床多次试验,患有该病的患者化验结果阳性率为95%,而非该病患者的化验结果阳性率仅为10%.现该病人化验结果呈阳性,求该病人患有此种疾病的概率.
1.设事件C为“病人患有此种疾病”,解答本题的关键在将已知条件正确地用条件概率和事件的概率表示,且抓住C和 构成Ω的一个划分这个要点,从而可用贝叶斯公式进行计算.
在理解上注意到P(C|A)和P(A|C)是两个不同的概念,它们之间并没有大小可以比较.
2.贝叶斯公式用来描述两个条件概率之间的关系,应用时,要先找出先验概率与条件概率,后计算.
【变式训练2】 仓库中有不同工厂生产的灯管,其中有甲厂生产的1 000支,次品率为2%;乙厂生产的2 000支,次品率为3%;丙厂生产的3 000支,次品率为4%.若从中随机抽取一支,发现为次品,则该次品是甲厂产品的概率为多少
解:设事件A1,A2,A3分别表示抽得灯管来自甲、乙、丙厂,C表示抽得灯管为次品,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得
规范解答
两个公式的综合应用
【典例】 某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件的质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么仪器的不合格率为0.9.
(1)求仪器的不合格率;
(2)如果已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大
规范解答:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.
显然A0,A1,A2,A3组成Ω,且两两互斥.
根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,
P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,
P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,
P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,
P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.
正确找出由两两互斥的基本事件组成的样本空间Ω是解决此类问题的关键所在.
【变式训练】 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,这三个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%.如果每个车间成品中的次品占其产量的5%,4%,2%,求在从全厂该产品中抽出一个是次品的条件下恰好是甲车间生产出来的概率.
解:设事件A1,A2,A3分别表示所抽出的产品是甲、乙、丙车间生产的,事件B表示抽出一个产品是次品,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得
随堂练习
1.3个箱子中装有同种型号的乒乓球,第1个箱子中乒乓球的次品率为4%,第2个箱子中乒乓球的次品率为2%,第3个箱子中乒乓球的次品率为5%.现将这些乒乓球混放在一起,已知第1,2,3个箱子装的乒乓球个数分别占总数的30%,40%,30%.
(1)任取一个乒乓球,计算它是次品的概率;
(2)若取到的乒乓球是次品,计算它是第i(i=1,2,3)个箱子里的概率.
解:设事件B=“取到的乒乓球是次品”,Ai=“乒乓球为第i个箱子里的”,i=1,2,3,
则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
由题意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.4,P(A3)=0.3.
P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.3×0.04+0.4×0.02+0.3×0.05=0.035.
(2)“若取到的乒乓球是次品,计算它是第i(i=1,2,3)个箱子里的概率”就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率,
2.某学生在做一道有4个选项的单项选择题时,若他不知道问题的正确答案,则随机猜测.现某道题从卷面上看是答对了,试在以下情况下求学生确实知道该题正确答案的概率.
(1)该学生知道正确答案和随机猜测的概率都是0.5;
(2)该学生知道正确答案的概率是0.2.
解:设事件A=“学生答对了”,B=“学生知道正确答案”,则 =“学生随机猜测”;“确实知道正确答案的概率”就是计算在A发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|A).
3.关于两类投保人的问题.如果易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4,不易出事故的人在一年内出事故的概率为0.2,且第一类人占总投保人的比例是30%,那么随机抽取一名投保人,他会在一年内出事故的概率是多少 另外,假设他在一年内出了事故,则他属于易出事故的人的概率为多少
本 课 结 束7.1.2 全概率公式
1.现有8道4选1的单选题,学生李明对其中的6道题有思路,2道题完全没有思路,有思路的题做对的概率为0.8,没有思路的题只好任意选一个答案,猜对答案的概率为0.25.李明从这8道题中随机抽取1题,求他做对该题的概率.
解:设A=“李明抽到有思路的题”,则=“李明抽到没有思路的题”,B=“答对该题”,则Ω=A∪,且A与互斥.
由题意得P(A)=,P()=,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.25.
由全概率公式,得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=.
2.有两批同种规格的产品,第一批占30%,次品率为3%;第二批占70%,次品率为6%.将这两批产品混合,从混合产品中任取1件.
(1)求这件产品是合格品的概率;
(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批产品的概率.
解:设B=“任取1件产品是合格品”,Ai=“产品取自第i批规格”,i=1,2,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.
由题意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.7,P(B|A1)=0.97,P(B|A2)=0.94.
(1)由全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.3×0.97+0.7×0.94=0.949.
(2)P(A1|B)=.
3.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球都是新球的概率.
解:设Ai,Bi分别表示第二、三次比赛时取到i个新球,i=0,1,2,3.
则A0,A1,A2,A3构成样本空间的一个划分,且它们两两互斥.
由题意得P(Ai)=(i=0,1,2,3),
P(B3|Ai)=(i=0,1,2,3).
应用全概率公式,有P(B3)=P(Ai)P(B3|Ai)=≈0.146.
4.有大小、质地相同的球分别装在3个盒子中,每盒10个.其中,第1个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第2个盒子中有红球和白球各5个;第3个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第1个盒子中任取一球,若取出标有字母A的球,则在第2个盒子中任取一球;若取得标有字母B的球,则在第3个盒子中任取一球.如果第2次取出的是红球,那么称试验成功.求试验成功的概率.
解:设事件A=“从第1个盒子中取出标有字母A的球”,则=“从第1个盒子中取出标有字母B的球”,B=“第2次取出的是红球”.
由题意得P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=.
由全概率公式,得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.59.
5.已知某人从外地赶来参加紧急会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是,如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为.如果此人迟到,请推断他是怎样来的.
解:设事件A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟到”.
由题意得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B|A4)=0.
由贝叶斯公式,得P(A1|B)=.
类似地,可得P(A2|B)=,P(A3|B)=,P(A4|B)=0.
由上述计算结果可以推断此人迟到乘火车来的可能性最大.