(共37张PPT)
7.4.2 超几何分布
第七章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解超几何分布及其推导过程.
2.理解超几何分布与二项分布的区别与联系.
3.能运用超几何分布解决一些实际问题.
4.养成数学抽象、数学建模等核心素养,培养用概率语言和模型解决实际问题的能力.
自主预习 新知导学
超几何分布
【问题思考】
1.已知4枚骰子中有2枚质地不均匀,某人从中任取2枚,请问
(1)取出的2枚骰子中有1枚质地不均匀的概率是多少 有2枚质地不均匀的概率是多少
(2)取出的2枚骰子中有质地不均匀的骰子的概率是多少
3.做一做:(1)一批产品共10件,次品率为20%,从中任取2件,则恰好取到1件次品的概率为( )
答案:B
(2)从装有大小、质地相同的3个红球、2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,求随机变量ξ的分布列.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)从4名男演员和3名女演员中随机选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.( √ )
(2)从2本物理书、5本数学书以及3本英语书中随机抽出3本,记抽出的数学书为X本,则X服从超几何分布.( √ )
(3)一个箱子中有6个白球,8个红球,从中随机有放回地摸出4个球作为样本,用X表示样本中白球的个数,则X服从超几何分布.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
对超几何分布的理解
【例1】 某高二数学兴趣小组有7名同学,其中有4名同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3名同学参加高二数学“南方杯”竞赛,求这3名同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数ξ的分布列及P(ξ<2).
1.对超几何分布的三点说明
(1)超几何分布的模型是不放回抽样.
(2)超几何分布中的参数是M,N,n(M,N,n∈N*).
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生的有关问题等,往往由差异明显的两部分组成.
2.解决此类问题,先分析随机变量是否满足超几何分布,若满足超几何分布,则建立超几何分布列的关系式,求出随机变量取相应值的概率.
【变式训练1】 一批产品中有13件正品、2件次品,从中不放回地任取3件,求取出次品数为ξ的分布列.
探究二
超几何分布
【例2】 在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列.
【变式训练2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机取出3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
探究三
二项分布与超几何分布
【例3】 一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球,其中有20个黄球、40个白球,从中随机地摸出10个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数.
(1)有放回地摸球,求X的分布列;
(2)不放回地摸球,求X的分布列.
二项分布和超几何分布都可以描述从N件产品中随机抽取的n件产品中次品数的分布规律(n,N∈N*),并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似.
答案:B
(2)某选手投弹击中目标的概率为p=0.8,且每次投弹的结果相互独立.
①求投弹一次,击中次数X的均值和方差;
②求重复投弹10次,击中次数Y的均值和方差.
解:①X的分布列为
因为X服从两点分布,所以E(X)=0.8,
D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16.
②由题意知,击中次数Y服从二项分布B(10,0.8).
故E(Y)=np=10×0.8=8,
D(Y)=10×0.8×0.2=1.6.
X 0 1
P 0.2 0.8
规范解答
超几何分布的综合应用
【典例】 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观、大小完全相同.从中随机取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
1.超几何分布是概率分布的一种形式,一定要读懂题意,注意公式中字母的取值范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
2.在超几何分布中,只要知道M,N,n(注意这三个参数的含义),就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而求出X的分布列、数学期望、方差等.
【变式训练】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:g),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求抽取的40件产品中重量超过505 g的产品数量;
(2)从抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505 g的产品数量,求Y的分布列.
解:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12(件).
随堂练习
答案:C
2.袋中有6个红球、4个白球,从袋中任取4个球,则至少有2个白球的概率是( )
答案:D
3.袋中有4个红球3个黑球,从中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)= .
4.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生、4名女生,从中随机选出4人参加学校的数学竞赛,用X表示选出的男生人数,求X的分布列.
本 课 结 束7.4.2 超几何分布
1.一个盒子里装有相同大小、质地的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则概率为的是( )
A.P(0C.P(X=1) D.P(X=2)
答案:B
2.一袋中装有10个大小、质地相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球,设得到白球的个数为X,则P(X=2)=( )
A. B. C. D.
解析:设袋中白球个数为x.由题意得1-,解得x=5.
由题意知X服从超几何分布,则P(X=2)=.
答案:C
3.从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张是A的概率为( )
A. B.
C.1- D.
解析:设抽出的5张扑克牌中A的张数为X,则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=.
答案:D
4.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)= .
解析:由题意得随机变量X的可能取值为6,9,12,且P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=.
因此E(X)=6×+9×+12×=7.8,D(X)=×(6-7.8)2+×(9-7.8)2+×(12-7.8)2=3.36.
答案:3.36
5.某生产方提供一批50箱的产品,其中有2箱不合格.某采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱进行检测,若至多有1箱不合格,便接收该批产品,则该批产品被接收的概率为 .
解析:该批产品50箱,从中任取5箱,用X表示5箱中不合格产品的箱数,则X服从参数为N=50,M=2,n=5的超几何分布.这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的,所以被接收的概率为P(X≤1)=1-P(X=2)=1-.故该批产品被接收的概率是.
答案:
6.某支教队有8名老师,现从中随机选出2名老师参加志愿活动,若规定选出的至少有一名女老师,则共有18种不同的安排方案.
(1)求该支教队女老师的人数;
(2)记X为选出的2名老师中女老师的人数,求X的分布列.
解:(1)设该支教队男老师有x人,则女老师有8-x人,其中1≤x≤7,x∈N*.
从这8名老师中选出至少1名女老师,共有18种不同的方法,即=28-=18,解得x=5,则8-x=3.所以该支教队女老师的人数为3人.
(2)由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,2,且X服从参数为N=8,M=3,n=2的超几何分布.
X=0表示选出2名男老师,P(X=0)=;
X=1表示选出1名男老师与1名女老师,P(X=1)=;
X=2表示抽出2名女老师,P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
7.盒内装有大小、质地相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;
(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列.
解:(1)所求概率P=1-.
(2)取出的3个球得分之和恰为1分包括2种可能结果:取出1个红色球,2个白色球;取出2个红色球,1个黑色球.设“取出1个红色球,2个白色球”为事件B,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C,则P(B+C)=P(B)+P(C)=.
(3)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ服从超几何分布,P(ξ=k)=,k=0,1,2,3.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
8.某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的,则称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,这两“族”人数占各自小区总人数的比例如下:
A小区 低碳族 非低碳族
比例
B小区 低碳族 非低碳族
比例
C小区 低碳族 非低碳族
比例
(1)从A,B,C三个社区中各随机选出1人,求恰好有2人是“低碳族”的概率;
(2)从B小区中随机选出20户,设从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X,求X的分布列.
解:(1)设A=“3人中恰好有2人是‘低碳族’”,则P(A)=.
(2)从B小区中随机选出的20户中,“非低碳族”有4户.
由题意知X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布,P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
