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第2课时 离散型随机变量的分布列
第七章
7.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.
2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.
3.理解两点分布,并能简单运用.
4.进一步提升数学抽象、数学建模等核心素养.
自主预习 新知导学
一、离散型随机变量的分布列
【问题思考】
1.掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为X,则X的可能取值有哪些 当X取不同的值时,其概率分别是多少
提示:X的可能取值为1,2,3,4,5,6;概率均为 .
2.填一填:(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
(2)与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示,如下表:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
还可以用图形表示.
(3)根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.做一做:(1)下列各表可以表示离散型随机变量X的分布列的是( )
A. B.
C. D.
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.4
X 1 2 3
P 0.5 0.8 -0.3
X 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4
X -1 0 1
P 0 0.4 0.6
(2)某射击运动员射击所得环数X的分布列为
则此射击运动员“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
解析:(1)A中,0.5+0.3+0.4>1;B中,-0.3<0;C中,0.2+0.3+0.4<1.
(2)P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.
答案:(1)D (2)C
二、两点分布
【问题思考】
1.在同时抛掷两枚质地均匀的骰子的随机试验中,定义
求随机变量Y的分布列.
提示:
Y 0 1
P 0.5 0.5
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从 两点分布 或 0—1分布 .
3.做一做:若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.设Y=3X-2,则P(Y=-2)= .
解析:由Y=-2,且Y=3X-2,得X=0,所以P(Y=-2)=0.8.
答案:0.8
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在离散型随机变量分布列中,每一个可能取值对应的概率可以为任意的实数.( × )
(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应的概率都相等.( × )
(3)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为1.( √ )
(4)随机变量X只取两个值的分布是两点分布.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
离散型随机变量的分布列
【例1】 (1)已知一个离散型随机变量X的分布列为
(2)已知离散型随机变量ξ,其可能取值为x1,x2,x3,若对应的概率成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是( )
答案:(1)C (2)B
(3)某射击运动员有5发子弹,射击一次命中率为0.8,若命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数X的分布列.
解:由题意知,X是一个离散型随机变量,其可能取值为1,2,3,4,5.
当X=1时,即第一枪就中了,故P(X=1)=0.8;当X=2时,即第一枪未中,第二枪中了,故P(X=2)=0.2×0.8=0.16;同理,P(X=3)=0.22×0.8=0.032;P(X=4)=0.23×0.8=0.006 4;P(X=5)=0.24=0.001 6.
故耗用子弹数X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.8 0.16 0.032 0.006 4 0.001 6
求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值x1,x2,…,xn以及每个取值所表示的意义.
(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.
(3)写出分布列.
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
【变式训练1】 袋中有大小、质地相同的1个白球和4个黑球,每次从中任取1个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止,求取球次数X的分布列.
探究二
离散型随机变量分布列的性质
解:由题意得,离散型随机变量X的分布列可用表格表示为
离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或取值范围,还可以检验所求分布列是否正确.
(2)因为离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的,所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
【变式训练2】 设离散型随机变量X的概率分布列为
则P(|X-3|=1)= .
则P(|X-3|=1)= .
探究三
两点分布
两点分布的几个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.
(2)由对立事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0)).
规范解答
分布列与统计知识的综合应用
【典例】 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每吨亏损300元.根据历史资料,得到一个销售季度内该农产品市场需求量的频率
分布直方图,如图所示.经销商为
下一个销售季度购进了130 t该农
产品. 以X(单位:t,100≤X≤150)
表示下一个销售季度内的市场
需求量,T(单位:元)表示下一个
销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据频率分布直方图估计利润T不少于57 000元的概率;
(3)在频率分布直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入区间[100,110)的频率),求T的分布列.
规范解答:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000;当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
(2)当100≤X<130时,由T=800X-39 000≥57 000,得120≤X<130.
所以当且仅当120≤X≤150时,利润T不少于57 000元.
由频率分布直方图,知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以估计下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
第一步,分两种情况讨论,将T表示为X的函数;
第二步,根据频率分布直方图估计利润T不少于57 000元的概率;
第三步,列出分布列.
离散型随机变量的分布列与统计知识的综合考查是高考考查学生能力的一个重要体现.
【变式训练】 已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品,且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
随堂练习
1.下列A,B,C,D四个表,其中能成为随机变量ξ的分布列的是( )
A. B.
C. D.
ξ 0 1
P 0.6 0.3
ξ 0 1 2
P 0.902 5 0.095 0.002 5
答案:B
2.若随机变量X的分布列如下表所示,则a的值为( )
答案:D
答案:C
4.邮局工作人员整理邮件,从一个信箱中任取一封信,记一封信的质量为X(单位:g),如果P(X<10)=0.3,P(10≤X≤30)=0.4,那么P(X>30)= .
解析:由离散型随机变量分布列的性质,可知P(X<10)+P(10≤X≤30)+P(X>30)=1,故P(X>30)=1-0.3-0.4=0.3.
答案:0.3
5.一个袋中装有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中随机摸出一球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即
(2)从中随机摸出两个球,用{Y=0}表示“两个球全是白球”,用{Y=1}表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列.
本 课 结 束7.2 离散型随机变量及其分布列
第1课时 离散型随机变量
A组
1.一串钥匙有6把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为( )
A.6 B.5 C.4 D.2
解析:由于是逐次试验,可能前5次都打不开锁,但是最后一把钥匙一定能打开锁,故选B.
答案:B
2.某人射击一次的命中率为p(0
A.1,2,3,…,n B.1,2,3,…,n,…
C.0,1,2,…,n D.0,1,2,…,n,…
解析:射击次数至少1次,因为命中率p<1,所以,这个人可能永远不会击中目标.
答案:B
3.袋中装有大小和颜色相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X的所有可能取值的个数是( )
A.6 B.7 C.10 D.25
解析:X的所有可能取值为1×2=2,1×3=3,1×4=4,1×5=5,2×3=6,2×4=8,2×5=10,3×4=12,3×5=15,4×5=20,共10个.
答案:C
4.(多选题)下面给出四个随机变量,其中是离散型随机变量的为( )
A.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X
B.一个沿直线y=x进行随机运动的质点,它在该直线上的位置Y
C.某景点7月份每天接待的游客数量
D.某人一生中的身高X
解析:对于A,收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限,且可一一列出,是离散型随机变量,同理,C也是;而BD,都是某一范围内的任意实数,无法一一列出,不符合离散型随机变量的定义.故选AC.
答案:AC
5.在一次考试中,某名同学需回答三个问题,考试规则如下:每个题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是 .
解析:有4种可能结果:全对,两对一错,两错一对,全错,相应得分为300分,100分,-100分,-300分.
答案:300,100,-100,-300
6.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为ξ,则ξ<2表示的试验结果是 .
解析:ξ=0表示取到3件正品;ξ=1表示取到1件次品、2件正品.
故ξ<2表示取到1件次品、2件正品或取到3件正品.
答案:取到1件次品、2件正品或取到3件正品
7.一个木箱中装有6个大小相同的篮球,编号为1,2,3,4,5,6,现随机抽取3个篮球,以ξ表示取出的篮球的最大号码,则ξ的试验结果有 种.
解析:从6个球中抽取3个球,当ξ=3时,另两个球从1,2中抽取,有1种抽法;
当ξ=4时,另两个球从1,2,3中抽取,有=3种;
当ξ=5时,另两个球从1,2,3,4中抽取,有=6种;
当ξ=6时,另两个球从1,2,3,4,5中抽取,有=10种.
所以,ξ的试验结果共有1+3+6+10=20种.
答案:20
8.小王钱夹中有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X(单位:元)表示这两张人民币的金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验的结果.
解:X的可能取值为3,6,7,11,12,15,21,22,25,30.
其中,X=3表示抽到的是1元和2元;
X=6表示抽到的是1元和5元;
X=7表示抽到的是2元和5元;
X=11表示抽到的是1元和10元;
X=12表示抽到的是2元和10元;
X=15表示抽到的是5元和10元;
X=21表示抽到的是1元和20元;
X=22表示抽到的是2元和20元;
X=25表示抽到的是5元和20元;
X=30表示抽到的是10元和20元.
9.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每名参赛选手需回答3个问题,组委会为每名选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目,3道科技类题目,2道体育类题目,测试时,每名选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目做答.记某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)求随机变量X的可能取值;
(2){X=1}表示的试验结果是什么 可能出现多少种不同的结果
解:(1)由题意得,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
(2){X=1}表示事件“恰抽到一道科技类题目”.
从三类题目中各抽取一道,不同的结果有=180(种);
抽取1道科技类题目,2道文史类题目,不同的结果有=180(种);
抽取1道科技类题目,2道体育类题目,不同的结果有=18(种).
由分类加法计数原理,知可能出现的不同结果有180+180+18=378(种).
B组
1.如果X是一个离散型随机变量,且η=aX+b,其中a,b是常数,且a≠0,那么η( )
A.不一定是随机变量
B.一定是随机变量,不一定是离散型随机变量
C.一定不是离散型随机变量
D.一定是离散型随机变量
解析:已知X是离散型随机变量,根据函数的性质和离散型随机变量的定义,知η必是离散型随机变量.
答案:D
2.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,设射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是 ( )
A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标 D.第4次击中目标
解析:击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ=5,说明前4次均未击中目标.
答案:C
3.袋中装有质地、大小完全相同的10个红球、5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止.设抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为( )
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
解析:第一次取到黑球,则放回1个球;第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.
答案:C
4.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A.24 B.20 C.4 D.18
解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,故只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种.
答案:A
5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
解析:由题意知,ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k.因此,前k次检测到的都是正品,而第k+1次检测到的是次品.故选D.
答案:D
6.袋中有质地、大小相同的5个小球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,在有放回条件下依次取出两个小球,设两个小球号码之和为ξ,则ξ所有可能取值的个数是 ;“ξ=4”表示
.
解析:在有放回条件下依次取出两个小球的号码有如下25种结果:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),
两个小球号码之和ξ的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.“ξ=4”表示“第1次取1号、第2次取3号或者第1次取3号、第2次取1号或者第1次、第2次都取2号”.
答案:9 “第1次取1号、第2次取3号或者第1次取3号、第2次取1号或者第1次、第2次都取2号”
7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是 .
解析:甲获胜,且获得最低分的情况:甲抢到一题回答错误,乙抢到两题都回答错误,此时甲得-1分.
故X的所有可能取值为-1,0,1,2,3.
答案:-1,0,1,2,3
8.某市公交公司规定:身高不超过120 cm的学生免费乘车,凡身高超过120 cm的学生,每次乘车0.5元,若学生每次乘车应交的车费为η(单位:元),学生的身高用ξ(单位:cm)表示,那么ξ和η是不是离散型随机变量 若是,请写出相应的取值情况.
解:因为每个学生对应唯一的一个身高,并且可以一一列举出来,所以ξ是一个离散型随机变量,其可能取值为本市学生的身高.
因为η=所以η也是一个离散型随机变量,其可能取值为0,0.5.第2课时 离散型随机变量的分布列
A组
1.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么( )
A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n=9
解析:由X<4,知X=1,2,3.
由题意得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.3=,解得n=10.
答案:C
2.离散型随机变量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)等于( )
A. B. C. D.
解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.
又因为a+b+c=1,所以b=.
所以P(|ξ|=1)=a+c=.
答案:D
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5),则P<ξ<等于( )
A. B. C. D.
解析:由<ξ<,知ξ=1,2.
因为P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
所以P<ξ<=P(ξ=1)+P(ξ=2)=.
答案:D
4.若某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)等于( )
A.0 B. C. D.
解析:设失败率为p,则成功率为2p.X的分布列为
X 0 1
P p 2p
由p+2p=1,得p=,所以2p=.
答案:D
5.(多选题)随机变量X的分布列如下表所示,其中a,b,c成等差数列,且c=ab,则( )
X 2 4 6
P a b c
A.2b=a+c B.a+b+c=1
C.a=,b=,c= D.P(X=2)=
解析:对于A,由a,b,c成等差数列,知2b=a+c,故正确;
对于B,由离散型随机变量分布列的性质,得a+b+c=1,故正确;
对于C,由得a=,b=,c=,故正确;
对于D,P(X=2)=a=,故正确.故选ABCD.
答案:ABCD
6.随机变量η的分布列如下表:
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2
则x= ,P(η≤3)= .
解析:由0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,得x=0.1.
P(η≤3)=P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)=0.2+0.1+0.25=0.55.
答案:0.1 0.55
7.随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
则ξ为奇数的概率为 .
解析:P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=.
答案:
8.已知离散型随机变量X的分布列P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,令Y=2X-2,则P(Y>0)= .
解析:由已知得,Y的可能取值为0,2,4,6,8,且P(Y=0)=.
故P(Y>0)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)+P(Y=8)=1-P(Y=0)=.
答案:
9.在一次对某种产品的抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果,求X的分布列.
解:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,且服从两点分布.随机变量X的分布列为
X 1 0
P 0.8 0.2
10.从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.
(1)以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值 求X的分布列;
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
解:(1)从箱中取出两个球的情形有以下6种:
2个白球,1个白球、1个黄球,1个白球、1个黑球,2个黄球,1个黑球、1个黄球,2个黑球.
当取到2个白球时,随机变量X=-2;
当取到1个白球、1个黄球时,随机变量X=-1;
当取到1个白球、1个黑球时,随机变量X=1;
当取到2个黄球时,随机变量X=0;
当取到1个黑球、1个黄球时,随机变量X=2;
当取到2个黑球时,随机变量X=4;
所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.
根据古典概型的知识,可得P(X=-2)=,
P(X=-1)=,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=4)=.
因此,X的分布列,如表所示.
X -2 -1 0 1 2 4
P
(2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=.
故赢钱的概率为.
11.甲、乙两组各四名同学的植树棵数(单位:棵)如下:
甲组 9 9 11 11
乙组 8 9 9 10
分别从甲、乙两组中随机抽取一名同学,求这两名同学植树的总棵数Y的分布列.
解:已知甲组同学植树的棵数分别是9,9,11,11;乙组同学植树的棵数分别是8,9,9,10.分别从甲、乙两组中随机抽取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.{Y=17}表示事件“甲组抽出的同学植树9棵,乙组抽出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=.
同理可得P(Y=18)=;P(Y=19)=;
P(Y=20)=;P(Y=21)=.
因此,随机变量Y的分布列为
Y 17 18 19 20 21
P
B组
1.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中mA.(1-a)(1-b) B.1-a(1-b)
C.1-(a+b) D.1-b(1-a)
解析:P(m≤ξ≤n)=1-P(ξ>n)-P(ξ答案:C
2.设随机变量X的分布列如下;
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X=10)等于( )
A. B. C. D.
解析:P(X=10)=1-+…+=1-.
答案:C
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a,i=1,2,3,则实数a的值为( )
A.1 B. C. D.
解析:由P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1,
得a=1,解得a=.
答案:D
4.若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为 ( )
X 0 1 2 3
P a b
A. B. C. D.
解析:由随机变量分布列的性质,知a+b=,而a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立.
答案:C
5.已知随机变量ξ的分布列为
ξ -2 -1 0 1 2 3
P
若P(ξ2A.4C.x<4或x≥9 D.x≤4或x>9
解析:由随机变量ξ的分布列,知ξ2的可能取值为0,1,4,9,且P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=,
P(ξ2=4)=,P(ξ2=9)=.
因为P(ξ2所以实数x的取值范围是4答案:A
6.(多选题)已知随机变量X的概率分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则( )
A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
B.a=
C.P(0≤X<2)=
D.以上均不正确
解析:根据题意,随机变量X的概率分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),则P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)==1,解得a=,从而P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=.
故ABC正确.
答案:ABC
7.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
P 1-2q q2
则q等于 .
解析:由随机变量分布列的性质,得解得q=1-.
答案:1-
8.由于电脑故障,随机变量X的分布列中部分数据丢失,以□代替,如下表所示.
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为 .
解析:由离散型随机变量分布列的性质,知概率和为1,则P(X=5)=0.15,从而P(X=3)=0.25.
所以P(X为奇数)=0.20+0.25+0.15=0.6.
答案:0.6
9.在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班级各赛一场,在这4场比赛的任意一场中,此班级每次胜、负、平的概率相等.已知这4场比赛结束后,该班胜场多于负场.
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和;
(2)若胜场次数为X,求X的分布列.
解:(1)若胜一场,则其余为平,共有=4种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共有=18种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有×2=8种情况;若胜四场,则只有1种情况.
综上,共有31种情况.
(2)X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
10.将3个小球随机地放入4个大的玻璃杯中,杯子中球的最多个数记为ξ,求ξ的分布列.
解:依题意可知,杯子中球的最多个数ξ的所有可能取值为1,2,3.当ξ=1时,4个杯子中恰有三个杯子各放一球,则P(ξ=1)=;
当ξ=2时,4个杯子中恰有一个杯子放两球,则P(ξ=2)=;
当ξ=3时,4个杯子中恰有一个杯子放三个球,则P(ξ=4)=.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
11.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率;
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.
解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=.
(2)由题意知,X的可能取值为2,3.
P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=;
P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=.
故X的分布列为
X 2 3
P(共36张PPT)
第1课时 离散型随机变量
第七章
7.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.了解随机变量与函数的区别与联系.
3.会用离散型随机变量描述随机现象.
4.培养数学抽象、数学建模等核心素养.
自主预习 新知导学
离散型随机变量
【问题思考】
1.(1)抛掷一枚质地均匀的硬币,有“正面朝上”和“反面朝上”两种可能结果,可以将试验结果用数值来表示吗
(2)在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗棵数为X,则X可取什么数值
提示:(1)可以,可将试验结果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示.
(2)X的可能取值为0,1,2,…,10.
2.填一填:(1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为 随机变量 .
(2)可能取值为有限个或可以 一一列举 的随机变量,我们称之为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如 X,Y,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如 x,y,z .
(3)随机变量X有如下共同点:
①取值依赖于样本点;
②所有可能取值是明确的.
3.做一做:(1)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,随机变量为( )
A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现的点数之和
D.两次出现相同点的种数
(2)下列随机变量中,不是离散型随机变量的是( )
A.某人射击一次中靶的环数X
B.某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化,该水位监测站所测水位H
C.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数ξ
D.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和X
解析:(1)选项A,B中出现的点数虽然是随机的,但是其取值所反映的结果,都不能整体反映本试验.选项C整体反映两次抛掷的结果,可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共11种结果,但每次试验之前无法确定是11种结果中的哪一个,因此是随机变量.选项D中两次出现相同点的种数为6,是定值,不是随机变量.
(2)水位在区间(0,18]内变化,不能一一举出,故不是离散型随机变量.
答案:(1)C (2)B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. ( √ )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“出现正面的次数”为随机变量.( √ )
(3)离散型随机变量的取值是任意实数. ( × )
(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量是不是随机变量,并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中随机抽1张,被抽出卡片的号数;
(2)抛掷两枚质地均匀的骰子,出现的点数之和;
(3)体积为8 cm3的正方体的棱长.
解:(1)被抽出卡片的号数可能是1,2,…,10,出现哪种结果是随机的,是随机变量.
(2)抛掷两枚质地均匀的骰子,出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共11种情况,出现哪种情况是随机的,因此是随机变量.
(3)正方体的棱长为定值,不是随机变量.
判断一个试验是不是随机试验,依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件,即
(1)试验在相同条件下可重复进行;
(2)试验的所有可能的结果是明确可知的,并且试验的结果不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.
【变式训练1】 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
(1)某天甲公司客服接到咨询电话的个数;
(2)在标准大气压下,水沸腾的温度;
(3)在一次绘画作品评比中,设一、二、三等奖,所有参赛作品都会获得奖次,小明的一件参赛作品获得的奖次;
(4)半径为2 cm的圆的面积.
解:(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果都是随机的,因此是随机变量.
(2)在标准大气压下,水沸腾的温度100 ℃是定值,因此不是随机变量.
(3)获得的奖次可能是1,2,3,出现哪一个结果都是随机的,因此是随机变量.
(4)半径为2 cm的圆的面积为定值,因此不是随机变量.
探究二
离散型随机变量的判定
【例2】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)某座大桥一天经过的车辆数X;
(2)某超市5月份每天的销售额;
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ.
解:(1)是离散型随机变量.车辆数X的可能取值可以一一列出,故X是离散型随机变量.
(2)是离散型随机变量.某超市5月份每天的销售额可以一一列出,故是离散型随机变量.
(3)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值的可能取值是在某个区间内,无法一一列出,故不是离散型随机变量.
判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的具体方法:
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的各个试验结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,那么该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
【变式训练2】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置;
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;
(3)某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度.
解:(1)一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置是连续变化的,因此不是一个离散型随机变量.
(2)是离散型随机变量.因为从10个球中任取3个球,可能的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,所以所含白球的个数X可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.
(3)不是离散型随机变量.因为林场树木的高度是一个随机变量,它可以取区间(0,30]内的一切值,无法一一列举,所以不是离散型随机变量.
探究三
随机变量的可能取值及试验结果
【例3】 写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有除颜色外其他完全相同的8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X.
(2)一个袋中装有5个大小、质地相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码记为X.
解:(1)X的可能取值为0,1,2,3.
X=0表示取出的5个球全是红球;
X=1表示取出1个白球,4个红球;
X=2表示取出2个白球,3个红球;
X=3表示取出3个白球,2个红球.
(2)X的可能取值为3,4,5.
X=3表示取出的3个球的编号为1,2,3.
X=4表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4.
X=5表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
1.在本例(1)条件下,规定取出一个红球赢2元,而每取出一个白球输1元,用ξ表示赢得的钱数,结果如何
解:ξ=10表示取出的5个球全是红球;
ξ=7表示取出1个白球,4个红球;
ξ=4表示取出2个白球,3个红球;
ξ=1表示取出3个白球,2个红球.
2.本例(2)中,“最大”改为“最小”,其他条件不变,应如何解答
解:X的可能取值为1,2,3.
X=3表示取出的3个球的编号为3,4,5;
X=2表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5;
X=1表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.
解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点:明确随机变量的所有可能取值以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【变式训练3】 写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)在含有10件次品的100件产品中,任意抽出4件,可能含有的次品的件数X是随机变量;
(2)已知一辆汽车在开往目的地的道路上需通过5盏信号灯,汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数ξ是随机变量.
解:(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
X=0表示抽出0件次品;
X=1表示抽出1件次品;
X=2表示抽出2件次品;
X=3表示抽出3件次品;
X=4表示抽出的全是次品.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.
ξ=0表示在第1盏信号灯前就停下了;
ξ=1表示通过了1盏信号灯,在第2盏信号灯前停下;
ξ=2表示通过了2盏信号灯,在第3盏信号灯前停下;
ξ=3表示通过了3盏信号灯,在第4盏信号灯前停下;
ξ=4表示通过了4盏信号灯,在第5盏信号灯前停下;
ξ=5表示在途中没有停下,直达目的地.
规范解答
随机变量与函数的关系
【典例】 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,试求ξ的值域,并说明ξ>4表示的试验结果.
规范解答:设第一枚骰子掷出的点数为x,第二枚骰子掷出的点数为y,其中x,y=1,2,3,4,5,6.
依题意得ξ=x-y,则-5≤ξ≤5,即ξ的值域为{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.
ξ>4 ξ=5,表示x=6,y=1,即第一枚骰子掷出6点,第二枚骰子掷出1点.
随机变量ξ与函数f(x)的区别
函数是研究确定性现象的,它定义在实轴上,有确定的因果关系;随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数,但这些数是预先知道的所有可能的值,这便是“随机”的本源.
【变式训练】 一个袋中装有大小、质地相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.
解:(1)
(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ的可能取值为0,1,2,3,
所以η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.
故η的可能取值为6,11,16,21.
显然η为离散型随机变量.
ξ 0 1 2 3
可能结果 取得3个黑球 取得1个白球, 2个黑球 取得2个白球, 1个黑球 取得3个白球
随堂练习
1.下列不是随机变量的是( )
A.从编号为1~10号的大小、质地相同的小球中随机取一个小球的编号
B.从早晨7:00到中午12:00某人上班的时间
C.A,B两地相距a km,以v km/h的速度从A到达B的时间
D.某网站一天的点击量
解析:选项C中“时间”为确定的值,故不是随机变量.
答案:C
2.①某机场候机室中一天的旅客数量X;
②连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次,正面朝上的次数X;
③某篮球下降过程中离地面的距离X;
④某道路斑马线一天经过的人数X.
其中不是离散型随机变量的是( )
A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X
解析:①②④中的随机变量X的可能取值,我们都可以按一定次序一一列出,因此,它们都是离散型随机变量;③中的X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故③中的X不是离散型随机变量.
答案:C
3.已知一批产品共12件,其中有3件次品,每次从中任取一件,在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是 .
解析:可能第一次就取得合格品,也可能取完次品后才取得合格品,所以X的可能取值为0,1,2,3.
答案:0,1,2,3
4.写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:
(1)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,所得点数之和Y;
(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数X,所含红粉笔的支数Y;
(3)在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,所含有次品的件数X.
解:(1)Y的可能取值为2,3,4,…,12,
若以(i,j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后甲骰子得i点,乙骰子得j点,则{Y=2}表示“甲、乙两枚骰子掷出的点数为(1,1)”;{Y=3}表示“甲、乙两枚骰子掷出的点数为(1,2),(2,1)”;{Y=4}表示“甲、乙两枚骰子掷出的点数为(1,3),(2,2),(3,1)”;……{Y=12}表示“甲、乙两枚骰子掷出的点数为(6,6)”.
(2)X的可能取值为1,2,3.
{X=i}表示“取出i支白粉笔,3-i支红粉笔”,其中i=1,2,3.
Y的可能取值为0,1,2.
{Y=j}表示“取出j支红粉笔,3-j支白粉笔”,其中j=0,1,2.
(3)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
{X=i}表示“取出的4件产品中有i件次品”,其中i=0,1,2,3,4.
本 课 结 束