第七章随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
A组
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )
A. B. C. D.
解析:P(AB)=P(B|A)P(A)=.
答案:C
2.从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数,事件A=“取到的两个数之和为偶数”,事件B=“取到的两个数均为偶数”,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
解析:P(A)=,P(AB)=.
由条件概率公式,得P(B|A)=.
答案:D
3.一盒中装有5件某产品,其中3件一等品,2件二等品,从中不放回地取出产品,每次1件,取两次.已知第2次取得一等品,则第1次取得二等品的概率是( )
A. B. C. D.
解析:(方法1)设A=“第1次取得二等品”,B=“第2次取得一等品”,则AB=“第1次取得二等品,且第2次取得一等品”,所以P(A|B)=.
(方法2)设一等品为a,b,c,二等品为A,B,则事件“第2次取得一等品”所包含的样本点有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共12个,在这12个等可能的样本点中,表示第一次取得二等品的样本点共有6个,所以所求概率为P=.
答案:A
4.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下,下雨的概率为( )
A. B. C. D.
解析:设事件A表示该地区四月份下雨,B表示四月份吹东风,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,从而在吹东风的条件下,下雨的概率为P(A|B)=.
答案:D
5.某班学生考试成绩中,数学成绩不及格的占15%,语文成绩不及格的占5%,两门成绩都不及格的占3%.已知一名学生数学成绩不及格,则他语文成绩也不及格的概率是 ( )
A.0.2 B.0.33
C.0.5 D.0.6
解析:设事件A=“数学成绩不及格”,B=“语文成绩不及格”,则P(A)=0.15,P(AB)=0.03.P(B|A)==0.2,即已知一名学生数学成绩不及格,他的语文成绩也不及格的概率为0.2.
答案:A
6.(多选题)下列说法不正确的是( )
A.P(B|A)
B.P(B|A)=是可能的
C.0D.P(A|A)=0
解析:由条件概率公式P(B|A)=及0答案:ACD
7.袋子中有5个乒乓球,其中有3个新的、2个旧的,每次从袋子中随机摸出1个,不放回地摸两次,则在第1次摸到新球的情况下,第2次摸到新球的概率是 .
解析:设“第1次摸到新球”为事件A,“第2次摸到新球”为事件B.
因为n(A)==12,n(AB)==6,
所以P(B|A)=.
答案:
8.甲、乙两地都处于长江下游,根据历史记载,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%与18%,两地同时下雨的比例为12%.
(1)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率为 ;
(2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为 .
解析:设事件A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则P(A)=20%=0.2,P(B)=18%=0.18,P(AB)=12%=0.12.
(1)P(A|B)=.
(2)P(B|A)==0.6.
答案:(1) (2)0.6
9.分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数,已知取出的一个元素是12,则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是 .
解析:设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A,“取出的两个元素构成可约分数”为事件B,则n(A)=7,n(AB)=4,所以P(B|A)=.
答案:
10.抛掷两枚质地均匀的骰子,已知点数不同,设两枚骰子点数之和为ξ,求ξ≤6的概率.
解:(方法1)抛掷两枚质地均匀的骰子,其点数不同的所有可能结果共30种,其中点数之和ξ≤6的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),共12种,所以所求概率P=.
(方法2)设事件A=“抛掷两枚骰子,其点数不同”,B=“抛掷两枚骰子的点数之和ξ≤6”,则P(A)=,P(AB)=,
所以P(B|A)=.
11.盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个玻璃球,其中6个是E型玻璃球,10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;F型玻璃球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的球是蓝色的,求该球是E型玻璃球的概率.
解:由题意得,球的分布情况如下表
颜色 型号 总计
E型玻璃球 F型玻璃球
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
设事件A=“取得蓝色玻璃球”,B=“取得E型玻璃球”.
(方法1)因为P(A)=,P(AB)=,
所以P(B|A)=.
(方法2)因为n(A)=11,n(AB)=4,
所以P(B|A)=.
B组
1.某地一农业科技实验站,对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72
解析:设“这粒水稻种子发芽”为事件A,“这粒水稻种子发芽后成长为幼苗”为事件AB,“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B|A,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.9.
由概率的乘法公式,得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案:D
2.已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件产品为一级品的概率为( )
A.0.75 B.0.96 C.0.72 D.0.78
解析:记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P()=1-0.04=0.96.
记“任选一件产品是一级品”为事件B.
由于一级品必是合格品,故事件A包含事件B,因此P(AB)=P(B).
由合格品中75%为一级品知P(B|A)=0.75.
故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72
答案:C
3.一个盒子里有同一型号的6只好的晶体管、4只坏的晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回,在第一次取到好的晶体管的条件下,第二次也取到好的晶体管的概率为( )
A. B. C. D.
解析:根据题意,已知第一只是好的,则盒子里还有5只好晶体管,4只坏晶体管,所以第二次也取到好晶体管的概率是.故选C.
答案:C
4.小明早上步行从家到学校要经过两个有红绿灯的路口,根据经验,在第一个路口遇到红灯的概率为0.4,在第二个路口遇到红灯的概率为0.5,在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯,则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
解析:记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A,“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(AB)=0.2,所以P(B|A)==0.5.
答案:D
5.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=,B=xx<,则P(B|A)等于 ( )
A. B. C. D.
解析:P(A)=.
∵A∩B=,∴P(AB)=.
∴P(B|A)=.
答案:A
6.(多选题)将3枚质地均匀的骰子各抛掷一次,记事件A为“三个点数都不同”,事件B为“至少出现一个1点”,则 ( )
A.至少出现一个1点的情况数目为6×6×6-5×5×5=91
B.三个点数都不相同的情况数目为=120
C.P(A|B)=
D.P(B|A)=
解析:根据条件概率的含义,P(A|B)的含义为在B发生的情况下,A发生的概率,即在“至少出现一个1点”的情况下,“三个点数都不同”的概率.
因为“至少出现一个1点”的情况数目为6×6×6-5×5×5=91,“三个点数都不同”,则只有一个1点,共×5×4=60种,所以P(A|B)=.
P(B|A)的含义为在A发生的情况下,B发生的概率,即在“三个点数都不同”的情况下,“至少出现一个1点”的概率.
因为“三个点数都不同”的情况数目为=120,所以P(B|A)=.
答案:ABC
7.盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回,若抽取三次,则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张标有数字为奇数的概率为 .
解析:设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A,“第三张为奇数”为事件B,则所求概率为P(B|A)=.
答案:
8.从编号为1,2,…,10的10个大小、质地完全相同的球中任取4个,在取出4号球的条件下,取出球的最大号码为6的概率为 .
解析:设事件A表示取出的4个球中含有4号球,B表示取出的4个球中最大号码为6.
依题意,知n(A)==84,n(AB)==6.
所以P(B|A)=.
答案:
9.一个口袋内装有4个大小、质地完全相同的球,其中2个白球,2个黑球,那么
(1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少
(2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少
解:(1)先摸出1个白球不放回,则口袋内还装有1个白球和2个黑球,所以再摸出一个白球的概率为P=.
(2)先摸出1个白球后放回,则口袋内还装有2个白球和2个黑球,所以再摸出一个白球的概率为P'=.
10.一袋中装有10个大小、质地完全相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为.
(1)求白球的个数;
(2)现从中不放回地摸球,每次摸出1个球,摸2次,已知第1次摸得白球,求第2次摸得黑球的概率.
解:(1)设“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件A,袋中白球个数为x.
由题意得P(A)=1-,
解得x=5,即白球的个数为5.
(2)设“第1次摸得白球”为事件B,“第2次摸得黑球”为事件C,则“第1次摸得白球,且第2次摸得黑球”为事件BC.
P(BC)=,
P(B)=.
因此,所求概率P(C|B)=.(共40张PPT)
7.1.1 条件概率
第七章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解条件概率的定义.
2.掌握条件概率的两种计算方法.
3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
4.培养数学抽象、数学运算、数学建模素养.
自主预习 新知导学
条件概率
【问题思考】
1.100件产品中,有93件产品的尺寸合格,90件产品的颜色合格,85件产品的尺寸、颜色都合格.设事件A=“产品的尺寸合格”,B=“产品的颜色合格”,AB=“产品的尺寸、颜色都合格”.
(1)求事件A,B,AB的概率;
(2)任取一件产品,已知其颜色合格,求它的尺寸也合格(记为A|B)的概率;
(3)试探求P(B),P(AB),P(A|B)间的关系.
2.填一填:
(1)概念:
①在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,记为 P(B|A) .
②若已知事件A发生,则A成为样本空间.此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值,即
③一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)= P(B) .
(3)由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),我们称此式为概率的乘法公式.
(4)性质:条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则
①P(Ω|A)= 1 ;
②若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) ;
③设 和B互为对立事件,则P( |A)= 1-P(B|A) .
(5)求条件概率有两种方法:一种是基于样本空间Ω,先计算P(A)和P(AB),再利用条件概率公式求P(B|A);另一种是根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.
3.做一做:(1)把一枚硬币连续抛掷两次,事件A=“第一次出现反面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B|A)为( )
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若事件A与B互斥,则P(B|A)=0.( √ )
(2)若事件A等于事件B,则P(B|A)=1.( √ )
(3)P(B|A)与P(A|B)相同.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
利用定义求条件概率
【例1】 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解:设事件A表示第1次抽到舞蹈节目,事件B表示第2次抽到舞蹈节目,则事件AB表示第1次和第2次都抽到舞蹈节目.
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)当P(A)>0时,将它们相除得到条件概率 ,这个公式适用于一般情形,其中AB表示事件A,B同时发生.
【变式训练1】 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
解析:设“某天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由条件概率公式可得
答案:A
探究二
缩小样本空间范围求条件概率
【例2】 已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲取到奇数的条件下,求乙取到的数比甲取到的数大的概率.
解:将甲取到数字a,乙取到数字b记作(a,b),则甲取到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个.
在这15个情形中,乙取到的数比甲取到的数大的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率
1.在本例条件下,求乙取到偶数的概率.
解:在甲取到奇数的情形中,乙取到偶数的情形有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9个,所以所求概率
2.若甲先取(放回),乙后取,事件A=“甲取到的数大于4”;事件B=“甲、乙取到的两数之和等于7”,求P(B|A).
解:甲取到的数大于4的情形有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12个,其中甲、乙取到的两数之和等于7的情形有(5,2),(6,1),共2个.所以
缩小样本空间法求概率的方法
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为积事件AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)= ,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
【变式训练2】 已知有5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,则在第一次取到新球的条件下,第二次取到新球的概率为 .
探究三
条件概率性质的应用
【例3】 在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,考生至少答对其中的4道题即可通过;至少答对其中的5道题就获得优秀,已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.
解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.由互斥事件的概率加法公式及古典概型计算概率的公式,知
利用条件概率的性质求概率
若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件,先求出这些简单事件的概率,再利用互斥事件的概率加法公式即得所求复杂事件的概率.
【变式训练3】 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,所有球的大小、质地完全相同.现随机地从1号箱中取出1球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出1球,则从2号箱取出红球的概率是多少
易错辨析
概率类型判断失误致错
【典例】 一个盒子中装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从中取产品两次,每次任取1件,进行不放回抽样,若第一次取到的是一等品,求第二次取到一等品的概率.
错解:因为从产品中不放回地抽取两次,所以第一次取到一等品,第二次取到的也是一等品的概率为
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:根据题意知所求概率是条件概率,而错解中忽略了这一点,导致错误.
正解:设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,则AB表示“第一次取到一等品,第二次也取到一等品”.
深入理解条件概率的概念,在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件下,求哪个事件发生的概率.
【变式训练】 袋中装有除颜色外其他完全相同的6个黄色的乒乓球,4个白色的乒乓球,每次从袋子中随机摸出1个球,摸出后不放回,连续摸两次,求在第一次摸到白球的条件下,第二次摸到黄球的概率.
解:设“第一次摸到白球”为事件A,“第二次摸到黄球”为事件B.
“在第一次摸到白球的条件下,第二次摸到黄球”为事件C.
在事件A已经发生的条件下,袋中还有9个球,其中3个白球,6个黄球.
随堂练习
答案:B
2.袋中装有标号为1,2,3的大小、质地完全相同的3个小球,每次从袋中随机摸出1个球,记下它的号码,放回袋中,这样连续摸三次.设事件A为“三次记下的号码之和是6”,事件B为“三次记下的号码都是2”,则P(B|A)=( )
解析:因为A={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},所以n(A)=7.
因为B={(2,2,2)},所以AB={(2,2,2)},即n(AB)=1.所以
答案:A
3.从1~100这100个整数中,任取1个数,已知取出的1个数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为 .
解析:根据题意可知,取出的1个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数的整数共有33个,故所求概率为 .
答案:
4.100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽到的是次品,则第二次抽到正品的概率为 .
5.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”,求:
(1)在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
(2)在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.
解法二:n(A)=2×6=12.
由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8知,n(B)=10,n(AB)=6.
本 课 结 束