数学北师大版（2019）必修第二册 1.1.周期变化 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
1.1　周期变化
课标阐释
思维脉络
1.理解周期函数、周期和最小正周期的概念.(数学抽象)
2.能够判断一个函数是否为周期函数.(逻辑推理)
3.能够利用函数的周期性求值.(数学运算)
激趣诱思
知识点拨
数学与诗歌本不是一家,数学是抽象思维活动,诗词
是阐述心灵的文学艺术,但有些诗与数学联姻,把数
学嵌入诗中,装点了诗词的国度,让诗词多了一种
气质和风情.
东升西落照苍穹,影短影长角不同.
昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣.
不难发现,这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象,太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来(四季更替)、草枯草荣等都说明了周期变化.
激趣诱思
知识点拨
一、周期函数的概念
1.周期函数
一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
名师点析1.周期函数定义的实质:存在一个非零常数T,对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中k∈Z,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.
2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如果钟摆每经过2 s就回到竖直状态,那么每经过多少秒可以再回到最左边位置呢
提示回到竖直状态的时间间隔为2 s,即半个周期,而再回到最左边的间隔时间,也就是一个周期,所以是4 s.
激趣诱思
知识点拨
二、函数周期性的常用结论
对y=f(x)定义域内任一自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
名师点析函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(a(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=4|b-a|.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10),则它的周期T=5.(　　)
(2)若函数f(x)的周期T=5,则f(-5)=f(0)=f(5).(　　)
(3)若函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2 020)=0.(　　)
答案(1)×　(2)√　(3)√
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求函数的周期
例1若对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+2 019)=-f(x+2 020),则函数f(x)的周期为　　　　.
解析由f(x+2 019)=-f(x+2 020),得f(x+2 019)=-f(x+2 019+1),令x+2 019=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函数f(x)的周期是2.
答案2
反思感悟 函数周期的求解方法
求解函数的周期问题,要紧扣函数周期的定义,牢记函数周期的常用结论,熟练掌握函数的对称性与周期性的关系.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1(2019山西太原高一月考)已知f(x)是定义在R上的函数,
解析因为f(x+2)= ,所以f(x+4)=f(x),
所以函数f(x)的周期为4.
答案4
探究一
探究二
探究三
当堂检测
周期函数的判定
例2设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数.
证明由图象关于x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).
因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的函数.
反思感悟 紧扣定义——判断一个函数为周期函数
应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为奇函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)是以4a为周期的函数.
证明若f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,且f(-x)=-f(x),由条件得f(2a+x)=f(-x),
所以f(2a+x)=f(-x)=-f(x),
所以f(4a+x)=f(x),故f(x)是以4a为周期的函数.
探究一
探究二
探究三
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利用函数的周期性求值或范围
例3设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=　　　　.
解析因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.
又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,
所以f(0)=0,f(1)=1,
所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2 018)=0,
f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 017)=1.
故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 018)=1 009.
答案1 009
反思感悟 函数周期性的应用
根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意最小正周期与周期的区别.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(4)的值为(　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析由于f(x)的周期为5,且为奇函数,所以
f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1,
所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1.
答案A
2.(2019河南开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2 019)=(　　)
A.5 B. C.2 D.-2
解析由f(x)=-f(x+2),得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2.
答案D
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.(2020山东淄博月考)十字路口处红绿灯亮灭的情况如下:1 min亮绿灯,接着10 s亮黄灯,再接着1 min亮红灯,10 s亮黄灯,1 min亮绿灯……刚开始亮绿灯时,某人过路口,10 min后又回到此路口,此时应该亮　　　　灯.
解析红绿灯的亮灭以140 s为一个周期,600=140×4+40,所以是绿灯.
答案绿
探究一
探究二
探究三
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