4.2.2等差数列的前n项和公式 课件（共30张ppt）

(共30张PPT)
4.2.2等差数列的前n项和公式
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学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点)
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)
3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点)
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创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
你准备怎么算呢？
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探究新知
高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？
这是巧合吗？试从数列角度给出解释.
高斯的算法：
（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
1，2，3，…，
前100项的和问题
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等差数列中，下标和相等的两项和相等.
设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…
如果数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at
可得：
探究新知
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问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？
问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
探究新知
需要对项数的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时，
+
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探究新知
当n为奇数数时， n－1为偶数
+
个
问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
所以对任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n.
问题4：涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？
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建筑工地叠放钢管：
我们换一一思路，得到下面的方法：
倒序相加法
探究新知
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问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？
倒序相加法
.
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公式解析
功能1：已知a1，an和n，求Sn .
功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个.
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分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a1和的值求出d ，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得
例6.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7,=101,求；
（2）若a1=2,= ,求；
（3）若=，d= , = 5,求；
典例解析
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解：（1）因为a1=7,=101 ，根据公式，可得
=2700.
（2）因为a1=2,= ，所以d= .根据公式，可得
=
（3）把=，d= , = 5代入，得
整理，得
解得或（舍）,所以
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等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn
这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，
便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn结合使用．
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例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
典例解析
分析 可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得
解=310,=1220,
把它们代入公式
得解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。
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典例解析
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。
例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？
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典例解析
例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.
根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.
由
a121
因此，第1排应安排21个座位。
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跟踪训练 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
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跟踪训练 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
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典例解析
分析
数项的和。
例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，
所以当时，可以看成二次函数，当=时函数值。如图，当时，关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的,的值。
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解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列.
由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
可知，当n＜6时，an＞0；
当n＝6时，an＝0；
当n＞6时，an＜0.
所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.
因为 =30
所以Sn的最大值为30.
例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
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典例解析
例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解法2：因为由a1＝10，d＝－2，
因为
所以，当n取与最接近的整数，
即5或6时，Sn最大，最大值为30.
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等差数列前n项和性质
1).将等差数列前n项和公式 看作是
一个关于n的函数，这个函数有什么特点？
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
则 Sn=An2+Bn
令
（过原点）
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当堂达标
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当堂达标
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当堂达标
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当堂达标
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当堂达标
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课堂小结
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再会！
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