数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4数学归纳法（共20张ppt)

(共20张PPT)
4.4 数学归纳法

复习引入

情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。你觉得这种理解方式怎么样？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？
递推作用：当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下.
情景引入
合作探究

证明：（1）第一块骨牌倒下；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

探究2. 证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
合作探究

证明：（1）当n=1时，，猜想成立；
（2）若n=k时猜想成立, 即 ,
那么，当n=k+1时, = =,
所以，当n=k+1时，猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.
数学建构
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
第一步：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
第二步：以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
这种证明方法叫做数学归纳法.
数学建构
数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真.(1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；(2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真.只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.
数学应用
数学应用
数学应用
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
数学应用
课堂小结
注意：
1.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两个步骤缺一不可.
2.(1)(归纳奠基)是递推的基础.→找准n0
　 (2)(归纳递推)是递推的依据→n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则需要利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明
课堂小结
课堂练习
1.某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( )
A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立
D. n=4时该命题成立
C
课堂练习
2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n大于等于n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）。
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
C
课堂练习
C
课堂练习
总结提升
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？
3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？
关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确
4.数学归纳法体现的核心思想是什么？
递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。注意类比思想的运用
两个步骤和一个结论，缺一不可
谢谢！