浙江省龙湾中学2012届高三上学期开学测试数学（文）试题

龙湾中学2012届高三上学期开学测试数学（文）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设，，，则
（A） 　（B）（C） （D）
（2）若函数f(x)和g(x)的定义域、值域都是R，则不等式f(x)> g(x)有解的充要条件是
（A）( x∈R, f(x)>g(x) （B）有无穷多个x (x∈R )，使得f(x)>g(x)
（C）( x∈R,f(x)>g(x) （D）{ x∈R| f(x)≤g(x)}=(
（3）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
（A）3　　　　　　　　（B）2　　　　 　　　　（C）1　　　 　　　（D）
（4）函数的图象可由函数的图象
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
（5）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则
（A）a>b>c 　　（B）a>c>b 　（C）b>a>c 　（D）c>a>b
（6）设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于
（A） 　　　　　　（B） 　　　　 （C） 　　（D）或
（7）已知是实数，则函数的图象不可能是
8．已知函数 ，给出下列命题：①必是偶函数；②当时，的图象关于直线对称；③若，则在区间上是增函数；④有最大值. 其中正确的命题序号是
（A）③ （B）②③ （C）②④ （D）①②③
（9）如图，中，，若
，则=
（A）2 （B）4
（C）6 （D）8
（10）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，， 若f (x)≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　（D）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
（11）已知,是第三象限角，则=　 ▲ .
（12）若f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则可写出满足条件的一个函数解析式类比可以得到：若定义
在R上的函数g(x),满足g(x1+x2)=g(x1)g(x2);(2)g(1)=3;x1函数解析式为　 ▲ .
（13）函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为　 ▲ .
（14）已知，且，则 ▲ ．
（15）定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为　 ▲ .
（16）已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，
n∈N*，则n＝　 ▲ 　.
（17）如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负
半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，
，为坐标原点，则的取值范围是　 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（18）（本题满分14分）已知a>0且
命题P：函数内单调递减；
命题Q：曲线轴交于不同的两点.
如果“P/Q”为真且“P/Q”为假，求a的取值范围.
(19) (本题满分14分)在锐角△ABC中，cos B＋cos (A－C)＝sin C．
(Ⅰ) 求角A的大小；
(Ⅱ) 当BC＝2时，求△ABC面积的最大值．
（20）(本题满分14分)函数的部分图象如图所示。
（I）求的最小正周期及解析式；
（II）设求函数上的最大值和最小值。
(21) (本题满分15分) 已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x3－x2＋ax．
(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；
(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，
求证：g(x)的极大值小于等于10．
（22）（本题满分15分）已知定义域为R，满足：
①；
②对任意实数，有.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性与周期性，并求的值；
（Ⅲ）是否存在常数，使得不等式对一切实数成立.如果存在，求出常数的值；如果不存在，请说明理由.

2012届龙湾中学高三开学测试
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
B
B
D
A
C
D
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（18）解：∵，
∴命题P为真时
命题P为假时
命题Q为真时，
命题Q为假时
由“P/Q”为真且“P/Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.
情形（1）：P正确，且Q不正确
情形（2）：P不正确，且Q正确
综上，a取值范围是
另解：依题意，命题P为真时，0曲线轴交于两点等价于，
得 故命题Q为真时，
由“P/Q”为真且“P/Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.
等价于P、Q为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分.
由图形知a取值范围是
(19) 本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ) 解：因为cos B＋cos (A－C)＝sin C，
所以－cos (A＋C)＋cos (A－C)＝sin C，得2sin A sin C＝sinC，故sin A＝．
因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．………………………………………7分
(Ⅱ) 解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由题意知 a＝2，
由余弦定理得 4＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥bc，
所以△ABC面积＝bcsin60°≤，且当△ABC为等边三角形时取等号，
所以△ABC面积的最大值为． ………………………14分
（20）
(21) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、运算求解能力和创新意识。满分15分。
(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：
x
(－，1)
1
(1，2)
2
(2，＋)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，f (x)的极小值为f (2)＝．…………………………………6分
（22）解：（Ⅰ）取，得，
即.因为，所以. …………2分
取，得.因为，所以.
取，得，所以.………………3分
（Ⅱ）在中取，
得.即
所以，即周期为4.……………………5分
在中取得.
所以.因此，可得，
∴函数为奇函数. ……………………7分
在中取，
得.
所以. ……………………9分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.