山东省济宁市鱼台一中2012-2013学年高二2月月考 数学文

鱼台一中2012—2013学年高二下学期2月月考
数学（文）
一. 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题只有一个正确选项.)
1.，复数=( )
A. B. C. D.
2.设,那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列命题中的假命题是( )
A. B. C. D.
4.记集合和集合表示的平面区域分别为。若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为( )
A． B． C． D．
5.椭圆的焦距为( )
A.10 B.5 C. D.
6.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是( )。
A．2 B．5 C．6 D．8
7.若，下列命题中
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
正确的是 （ ）。
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④
8.数列的前n项和为，，则数列的前100项的和为（ ）。
A. B. C. D.
9.抛物线上的点P到抛物线的准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值为 ( )
A． B． C．2 D．
10．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且则的最小值是 ( )
A． B． C． D．
11.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是( )
A. B. C.或 D.
12．已知椭圆：，左,右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是( )
A.1 B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
13．方程|x|＋|y|＝1所表示的图形的面积为 ．21世纪教育网
14．设正方形ABCD的边长为1．若点E是AB边上的动点，则?的最大值为 ．
15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．
16．正方体ABCD—A1B1C1D1中，长度为定值的线段EF在线段B1D1上滑动，现有五个命题如下：
①AC⊥BE；②EF//平面A1BD；③直线AE与BF所成角为定值；④直线AE与平面BD1所成角为定值；⑤三棱锥A—BEF的体积为定值。其中正确命题序号为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．(本 题满分10分)
已知数列是公差不为零的等差数列，＝1，且成等比数列．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和Sn.
18.（本题满分12分）
设a为实数,函数
(1)求的极值.
(2)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.

19.（本题满分12分）
抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为.求抛物线与双曲线的方程.
20．（本题满分12分）
如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
（1）证明AM⊥PM；
（2）求二面角P－AM－D的大小．
21．（本题满分12分）
已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF|＝．
（1）求椭圆C1的方程；21世纪教育网
（2）若过点A(－1, 0)的直线与椭圆C1相交于M，N两点，求使＋＝成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（Ⅱ），点T是圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，求|RT|的最大值．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为，椭圆短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值。
参考答案：
1-5 ABCAD 6-10 CDADB 11-12 CD
13．2 14．1 15． 16．①②⑤
17．　(1)由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2
18.解：(1)=3－2－1若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是
(2)由(I)可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，
结合的单调性可知：
<0，或－1>0时，曲线=与轴仅有一个交点，
∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。
19. 解: 由题意知,抛物线焦点在轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为,
将交点代入得,故抛物线方程为,
双曲线的焦点坐标为,则.
又点也在双曲线上,因此有.
又,因此可以解得,
因此,双曲线的方程为.
20． (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝．21世纪教育网
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2．∴AM⊥EM．
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°．
∴二面角P－AM－D的大小为45°．
21． (1) 抛物线的焦点的坐标为，准线为，设点的坐标为，依据抛物线的定义，由，得， 解得．
∵ 点在抛物线上，且在第一象限，
∴ ，解得． ∴点的坐标为．
∵点在椭圆上， ∴．
又，且，解得．
∴椭圆的方程为．
(2) 设点、、，
则．
∴．
∵ ,
∴． ①
∵、在椭圆上， ∴
上面两式相减得．②
把①式代入②式得．
当时，得． ③
设的中点为，则的坐标为．
∵、、、四点共线，
∴, 即． ④
把④式代入③式，得，
化简得．
当时，可得点的坐标为，21世纪教育网
经检验，点在曲线上．
∴动点的轨迹方程为．
(3) 由(2)知点的坐标满足,
即,
由,得,解得．
∵圆的圆心为,半径,
∴
．
∴当时,,
此时,．
22.解：（1）因为满足，
。解得，则椭圆方程为
（2）（1）将代入中得

因为中点的横坐标为，所以，解得
（2）由（1）知，
所以

；
=