新人教版高中数学选择性必修第三册7.3.2　离散型随机变量的方差(共14张PPT)

(共14张PPT)
7.3.2　离散型随机变量的方差
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.掌握方差的性质,能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决简单的实际问题.

第七章　随机变量及其分布
1 |离散型随机变量的方差、标准差
　　1.设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
　　则称D(X)=①　(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= -E(X))2pi
为随机变量X的方差,并称② 为随机变量X的标准差,记为σ(X).
2.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了
随机变量取值的离散程度.方差或标准差越③　小 ,随机变量的取值越集中;方差
或标准差越④　大 ,随机变量的取值越分散.
第七章　随机变量及其分布
2 |离散型随机变量的方差的性质
1.设a,b为常数,则D(aX+b)=⑤ a2D(X) .
2.均值与方差的性质公式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
3 |两点分布的方差
　　若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p)(其中p为成功概率).
第七章　随机变量及其分布
1.离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.( 　)
2.随机变量的方差即总体方差,它是一个常数. (　√　)
3.样本方差是随机变量,随样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差. ( √　)
4.标准差与随机变量本身有相同的单位. (　√　)
5.D(X+2)=D(X)+2. ( 　)

判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第七章　随机变量及其分布
1 |函数与方程思想在方差中的应用

　　与方差有关的计算中,常涉及求概率,求参数的值或取值范围(最值),求方差或
取值范围(最值)等问题,这就需要结合有关概念、公式建立关于变量的方程(组)或
函数,结合函数与方程思想,求解变量的值或取值范围(最值).
第七章　随机变量及其分布

(2020浙江温州中学高三下检测)随机变量X的可能取值有1,2,3,且P(X=1)=3p-1,P(X
=3)=1-p,则D(X)的最大值为 (　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D.1
思路点拨
先求出P(X=2)的值,然后求出期望,最后列出方差的表达式,转化为关于p的函数求解最值即可.
第七章　随机变量及其分布
解析 因为随机变量X的可能取值有1,2,3,且P(X=1)=3p-1,P(X=3)=1-p,所以P(X=2)
=1-2p,
由 可得 ≤p≤ ,
E(X)=1×(3p-1)+2×(1-2p)+3×(1-p)=4-4p,
D(X)=(1-4+4p)2×(3p-1)+(2-4+4p)2×(1-2p)+(3-4+4p)2×(1-p)=-16p2+18p-4, ≤p≤ ,
易知当p= 时,D(X)取得最大值,最大值为1.
故选D.
答案 D
第七章　随机变量及其分布
2 |数学期望与方差在实际问题中的综合应用
某投资公司对A,B两个项目进行前期市场调研.项目A:根据调研,投资到该项目上,所
有可能结果为获利40%、损失20%、不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为
, ,a;项目B:根据调研,投资到该项目上,所有可能结果为获利30%、亏损10%,且
这两种情况发生的概率分别为b,c.经测算,当投入A,B两个项目的资金相等时,它们
所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
第七章　随机变量及其分布
1.求a,b,c的值.
提示:由题意得 + +a=1,∴a= .
设投入到项目A,B的资金都为x,随机变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的
利润,则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x -0.2x 0
P
X2 0.3x -0.1x
P b c
第七章　随机变量及其分布
所以,E(X1)=0.4x× +(-0.2x)× +0× =0.2x,
E(X2)=0.3bx-0.1cx.
因为E(X1)=E(X2),所以0.2x=0.3bx-0.1cx,
即0.3b-0.1c=0.2,
又b+c=1,所以b= ,c= .
即a= ,b= ,c= .
第七章　随机变量及其分布
2.有同学认为:因为投入这两个项目的资金相等时,它们所获得的平均收益(即数学
期望)也相等,所以投资哪个项目都一样,没有区别.你觉得正确吗 若将100万元全部
投到其中的一个项目,请你从投资收益稳定性的角度考虑,为投资公司选择一个合
理的项目,并说明理由.
提示:我认为不正确,虽然投入资金相等时,所得的平均收益也相等,但是还得从投资
收益的稳定性的角度考虑,收益越稳定越好.
当投入100万元资金时,由问题1可知x=100,
所以E(X1)=E(X2)=20,
D(X1)=(40-20)2× +(-20-20)2× +(0-20)2× =600,
D(X2)=(30-20)2× +(-10-20)2× =300,
D(X1)>D(X2),说明虽然投入资金相等时,项目A和项目B的平均收益相等,但投资项目
B更稳妥.
所以,从收益稳定性的角度建议该投资公司选择项目B.
第七章　随机变量及其分布

在实际生活中存在许多决策问题,在确定性现象中,我们决策和优化的目的通常是
使损失最小或利益最大.
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离
散型随机变量的取值相对于均值的离散程度(或波动大小).因此,在利用均值和方
差的意义去分析、解决实际问题时,两者都要考虑.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量X1,X2的均值,当E(X1)=E(X
2)时,不应认为它们一样好,还需要用D(X1),D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度,
偏离程度越小越好.
(2)若我们希望随机变量的取值比较稳定时,则应先考虑方差,再考虑均值是否相等
或接近.
第七章　随机变量及其分布

　　有甲、乙两个建材厂都想为某重点工程提供材料,为了对重点工程负责,政府
到两建材厂抽样检查,从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度,抗拉强度的分布
列分别如下:
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
第七章　随机变量及其分布
　　其中X和Y分别表示甲、乙建材厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不
低于120,那么哪个建材厂的材料稳定性较好
思路点拨
先计算出E(X)和E(Y),比较两种材料抗拉强度的均值,再计算出D(X)和D(Y),比较两
种材料的稳定性.
解析 由题意可得,E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,
D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)
2=50,
D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)
2=165,
由于E(X)=E(Y),而D(X)第七章　随机变量及其分布