新人教版高中数学选择性必修第三册7.4~7.5综合拔高练（word版含答案解析）

7.4~7.5综合拔高练
五年高考练
考点1　二项分布
1.(2019课标全国Ⅰ理,15,5分,)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　.
2.(2019天津,16,13分,)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分,)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
考点2　超几何分布
4.(2018天津,16,13分,)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
5.(2017北京,17,13分,)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
考点3　正态分布
6.(2017课标全国Ⅰ,19,12分,)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得=xi=9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ0.997 416≈0.959 2,≈0.09.
三年模拟练
应用实践
1.(2020辽宁大连二十四中高三一模,)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得的白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.
2.(2020北京通州高三一模,)2019年1月1日,我国开始施行《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人,中年员工180人,青年员工80人,现采用分层随机抽样的方法从该单位员工中抽取20人,调查他们享受个人所得税专项附加扣除的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据统计如表:
专项人数　　员工 子女 教育 继续 教育 大病 医疗 住房贷 款利息 住房 租金 赡养 老人
老年员工 4 0 2 2 0 3
中年员工 8 2 1 5 1 8
青年员工 1 2 0 1 2 1
(1)在抽取的20人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人
(2)从上表享受住房贷款利息专项附加扣除的员工中随机选取2人,记X为选取的中年员工的人数,求X的分布列和数学期望.
3.(2019内蒙古赤峰高三期末,)在新中国成立七十周年之际,某中学的数学课题研究小组在某一个社区做了一个关于在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内居民浏览“学习强国”的时间的调查.如果这个社区共有成人10 000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国APP”的概率均为p某人在某一时刻打开“学习强国APP”的概率p=,0学习时 长/min [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 10 20 40 20 10
(1)试估计p的值(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”APP进行学习的人数.
①求X的数学期望E(X)和方差D(X);
②若随机变量Z满足Z=,则可认为Z~N(0,1).假设当4 950≤X≤5 100时,该社区处于最佳学习氛围,试由此估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长(结果保留整数).
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
4.(2020北京朝阳六校高三联考,)体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:℃)在36 ℃~37 ℃之间即为正常体温,超过37.1 ℃即为发热.发热状态下,不同体温可分成三种发热类型,即低热:37.1≤T≤38;高热:3840.
某位患者因患肺炎发热,于12日至26日住院治疗.医生根据其病情变化,从14日开始,以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间,患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温并记录如下:
抗生素使 用情况 没有使用 使用“抗生 素A”治疗 使用“抗生 素B”治疗
日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日
体温(℃) 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0
抗生素使 用情况 使用“抗生 素C”治疗 没有使用
日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日
体温(℃) 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3
(1)计算该患者住院期间体温不低于39 ℃的各天体温平均值;
(2)在19日~23日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“α项目”的检查,记X为高热体温下做“α项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望;
(3)抗生素治疗一般在服药后2~8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由.
5.(2020天津静海一中高二下期中,)2019年,我国湖北武汉出现了新型冠状病毒,人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状,严重的可导致肺炎,甚至危及生命.为了尽快遏制病毒的传播,我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况,决定对小白鼠进行接种试验.该试验的设计如下:①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次;②连续接种三天为一个接种周期;③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为,假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关.
(1)若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验,求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率;
(2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状,则在这个接种周期结束后,对其终止试验.
①设一只小白鼠参加的接种周期为X,求X的分布列及数学期望;
②每周期的接种试验需要的费用是10万元,另外,每次接种还需要额外2万元的费用,求一次试验所需费用Y的分布列.
迁移创新
6.(2020山东高三第二次线上联考,)某景点上山共有999级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,已知甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从0级台阶开始向上走,一步走一个台阶记1分,一步走两个台阶记2分,记甲登上第n个台阶的概率为Pn,其中n∈N*,且n≤998.
(1)若甲走3步时所得分数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)证明:数列{Pn+1-Pn}是等比数列;
(3)求甲在登山过程中恰好登上第99级台阶的概率.
7.()某公司生产了A,B两种产品投放市场,计划每年对这两种产品投入200万元,每种产品一年至少投入20万元,其中A产品的年收益P(a),B产品的年收益Q(a)与投入a(单位:万元)分别满足P(a)=80+4,Q(a)=a+120.若公司有100名销售人员,按照他们对销售两种产品的业绩分为普通销售、中级销售以及金牌销售,其中普通销售28人,中级销售60人,金牌销售12人.
(1)为了使A,B两种产品的年总收益之和最大,求A产品每年的投入;
(2)为了对表现良好的销售人员进行奖励,公司制订了两种奖励方案:
方案一:按分层随机抽样从三类销售中总共抽取25人给予奖励,其中普通销售每人奖励2 300元,中级销售每人奖励5 000元;金牌销售每人奖励8 000元;
方案二:每名销售都参加摸奖游戏,游戏规则如下:从一个装有3个白球,2个红球(球只有颜色不同)的箱子中有放回地摸三次球,每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2,则可奖励1 500元,若摸到红球的总数为3,则可奖励3 000元,其他情况不给予奖励,规定普通销售每人均可参加1次摸奖游戏;中级销售每人均可参加2次摸奖游戏,金牌销售每人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立,奖励叠加).
(i)求按照方案一奖励的总金额;
(ii)假设你是企业老板,试通过计算并结合实际说明你会选择哪种方案奖励销售人员.
答案全解全析
7.4~7.5综合拔高练
五年高考练
1.答案　0.18
解析　前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
2.解析　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故X~B,从而P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,
则Y~B,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,
从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})
=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)
=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)
=×+×=.
3.解析　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.
因此f '(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).
令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;
当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
4.解析　(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.
由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
5.解析　(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.
(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.
所以ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.
(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.
6.解析　(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为E(X)=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为
×(16×9.97-9.22)=10.02,
因此μ的估计值为10.02.
=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为≈0.09.
三年模拟练
1.B　由题意知,X~B,
∴E(X)=5×=3,解得m=2,
∴X~B,
∴D(X)=5××=.
故选B.
2.解析　(1)该单位员工共有140+180+80=400人,
抽取的20人中,老年员工有140×=7人,中年员工有180×=9人,青年员工有80×=4人.
(2)X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
3.解析　(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75 min,
而调查总时长为150 min,故p==.
(2)①根据题意,X~B,
故E(X)=10 000×=5 000,
D(X)=10 000××=2 500.
②Z==X-100.
当4 950≤X≤5 100时,-1≤Z≤2,Z~N(0,1),
则P(-1≤Z≤2)=P(μ-σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5-=0.818 6,
故P(4 950≤X≤5 100)=P(-1≤Z≤2)≈0.818 6,
而150×0.818 6≈123 min,即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min.
4.解析　(1)由题表可知,该患者住院期间共有6天的体温不低于39 ℃,记平均体温为,
则=×(39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0)=39.55 ℃.
所以该患者住院期间体温不低于39 ℃的各天体温平均值为39.55 ℃.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)==.
则X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
(3)“抗生素C”治疗效果最佳.理由如下:
①由题表可知,“抗生素A”治疗期间先连续两天升温,共升温0.7 ℃后又降温0.2 ℃,“抗生素B”使用期间先连续两天降温,共降温1.0 ℃后又回升0.1 ℃,“抗生素C”使用期间持续降温共计1.4 ℃,说明“抗生素C”降温效果最好,故“抗生素C”治疗效果最佳.
②“抗生素B”治疗期间平均体温约为39.03 ℃,方差约为0.015 6;“抗生素C”治疗期间平均体温为38 ℃,方差约为0.106 7.“抗生素C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C”治疗效果最佳.
“抗生素B”治疗效果最佳.理由如下:
自使用“抗生素B”开始治疗后,体温才开始稳定下降,且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7 ℃,是单日降温效果最好的一天,故“抗生素B”治疗效果最佳.
以上结果及理由说出一种即可.
5.解析　(1)已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为,且每次试验间相互独立,
所以一只小白鼠第一天接种后当天出现Z症状的概率P1=,
在第二天接种后当天出现Z症状的概率P2=×=,
在第三天接种后当天出现Z症状的概率P3=××=,
所以一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率P=P1+P2+P3=++=.
(2)①设事件C:一只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状,则
P(C)=×+=.
X的可能取值为1,2,3,则
P(X=1)=P(C)=,
P(X=2)=[1-P(C)]×P(C)=×=,
P(X=3)=[1-P(C)]×[1-P(C)]×1=××1=.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望
E(X)=1×+2×+3×=.
②由题意知Y的可能取值为16,32,48,则
P(Y=16)=P(X=1)=,
P(Y=32)=P(X=2)=,
P(Y=48)=P(X=3)=.
所以一次试验所需费用Y的分布列为
Y 16 32 48
P
6.解析　(1)由题可得X的可能取值为3,4,5,6,
P(X=3)==,
P(X=4)=××=,
P(X=5)=××=,
P(X=6)==,
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
所以X的数学期望E(X)=3×+4×+5×+6×=5.
(2)证明:由题可得Pn+2=Pn+1+Pn,所以Pn+2-Pn+1=-(Pn+1-Pn),
又P1=,P2=+=,所以P2-P1=≠0,
所以{Pn+1-Pn}是以为首项,-为公比的等比数列.
(3)由(2)可得P99=(P99-P98)+(P98-P97)+…+(P2-P1)+P1
=+=-×.
7.解析　(1)由题意,设A产品每年投入x万元,年总收益之和为f(x),
则f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,
依题意得解得20≤x≤180,
故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180),
令t=,则t∈[2,6],
所以y=-t2+4t+250=-+282,
所以当t=8,即x=128时,y取得最大值,为282万元.
所以A产品每年投入128万元时,A,B两种产品的年总收益之和最大.
(2)(i)由题意,按照方案一奖励:按分层随机抽样从普通销售、中级销售、金牌销售中总共抽取25人,其中普通销售、中级销售、金牌销售的人数分别是×25=7,×25=15,×25=3,
所以按照方案一奖励的总金额为7×2 300+15×5 000+3×8 000=115 100(元).
(ii)按照方案二奖励:设X表示参加1次摸奖游戏所获得的奖励金额,则X的可能取值为0,1 500,3 000,
每次摸到红球的概率P==,
所以P(X=0)=+=,
P(X=1 500)==,
P(X=3 000)==,
所以X的分布列为
X 0 1 500 3 000
P
所以E(X)=0×+1 500×+3 000×=624,
则按照方案二奖励的总金额为(28+2×60+3×12)×624=114 816(元).
结合(i)知方案一奖励的总金额多于方案二奖励的总金额,所以选择方案二.