新人教版高中数学选择性必修第三册第七章复习提升（word版含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　不能正确列出随机变量的可能取值致误
1.()甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分),若每个抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是　　　　　　.
2.()在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班级各赛一场,在这四场比赛的任意一场中,此班级胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后,该班胜场多于负场.
(1)求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数;
(2)若胜场次数为X,求X的分布列.
易错点2　对条件概率问题理解不清,不能正确应用公式致误
3.(2020山东滕州一中高二下月考,)连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,在已知两次的点数均为偶数的条件下,两次的点数之和不大于8的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(2020黑龙江哈尔滨南岗高二上期末,)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,比赛为三局两胜制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为　　(　　)
A. B. C. D.
易错点3　不能正确区分超几何分布和二项分布
5.(2020天津和平高三上期末,)每年的12月4日为我国的“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480、360、360.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层随机抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每名被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行回答,所抽取的4个问题全部答对的学生将给予表彰.
(1)求各个年级应选取的学生人数;
(2)若从被选取的10名学生中任选3名学生,求这3名学生分别来自三个年级的概率;
(3)若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,记X表示该名学生答对问题的道数,求随机变量X的分布列及数学期望.
易错点4　对正态曲线的性质理解不准确致错
6.()已知随机变量X服从正态分布N(3,4),则E(2X+1)与D(2X+1)的值分别为(　　)
A.13,4 B.13,8 C.7,8 D.7,16
7.()某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(84,σ2),且P(78思想方法练
一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用
1.(2020河北石家庄二十八中高二下月考,)若随机变量Y服从二项分布B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,则此二项分布是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.Y~B(4,0.9) B.Y~B(9,0.4)
C.Y~B(18,0.2) D.Y~B(36,0.1)
2.(2020全国百所名校高三模拟测试,)垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.2019年6月25日,生活垃圾分类制度入法,到2020年底,先行先试的46个重点城市要基本建成垃圾分类处理系统;其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600名员工中进行筛选,筛选方法:每位员工测试A,B,C三项工作,3项测试中至少有2项测试“不合格”的员工将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A,B两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,也将被认定为“暂定”,每位员工测试A,B,C三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为p(0(1)记某位员工被认定为“暂定”的概率为f(p),求f(p);
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元,需要重新测试的总费用为150元,除测试费用外,其他费用总计为1万元,若该机构的预算为8万元,且该600名员工全部参与测试,问上述方案是否会超过预算 请说明理由.
二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用
3.()某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整分钟数,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:
办理业务所需的时间(分钟) 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
用频率估计概率,且从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
三、数形结合思想在正态分布中的应用
4.(2020广东广州大学附属中学高三下线上测试,)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
A.906 B.340 C.2 718 D.3 413
5.(2020山东菏泽一中高二下月考,)某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,其密度曲线如图所示,则成绩X位于区间[52,68]的人数大约是(　　)
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
A.997 B.954 C.683 D.341
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.答案　-1,0,1,2,3
解析　X=-1表示:甲队抢到1题且答错,乙队抢到两题均答错.
X=0表示:甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其中的2题;甲队抢到2题且答对1题答错1题,乙队抢到1题且答错.
X=1表示:甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题,乙队没有抢到题.
X=2表示:甲队抢到2题均答对.
X=3表示:甲队抢到3题均答对.
2.解析　(1)若胜一场,则其余为平,共有=4种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共有+=18种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有×2=8种情况;若胜四场,则只有1种情况.综上,共有4+18+8+1=31种情况.
(2)X的可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)=,P(X=2)=,
P(X=3)=,P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
3.D　记事件A为“两次的点数均为偶数”,B为“两次的点数之和不大于8”,
则n(A)=3×3=9,n(AB)=6,
所以P(B|A)===.故选D.
4.A　记事件A:甲获得冠军,事件B:比赛进行了三局,
事件AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局,即第三局甲胜,前二局甲胜了一局,
则P(AB)=×××=,
对于事件A,甲获得冠军包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,
∴P(A)=+=,
∴P(B|A)===,故选A.
5.解析　(1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为4∶3∶3,由于采用分层随机抽样的方法从中选取10名学生,因此,高一年级应选取4名学生,高二年级应选取3名学生,高三年级应选取3名学生.
(2)由(1)知,被选取的10名学生中,高一、高二、高三年级分别有4名、3名、3名学生,所以从这10名学生中任选3名,这3名学生分别来自三个年级的概率为=.
(3)由题意知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,且X服从超几何分布,
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.
6.D　由已知得E(X)=3,D(X)=4,故E(2X+1)=2E(X)+1=7,D(2X+1)=4D(X)=16.
7.答案　80
解析　因为X近似服从正态分布N(84,σ2),且P(78所以P(X≥90)==0.2,
所以估计该校数学成绩不低于90分的人数为400×0.2=80.
思想方法练
1.B　∵随机变量Y服从二项分布B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,
∴
②除以①得1-p=0.6,即p=0.4,
代入①解得n=9,
∴此二项分布是Y~B(9,0.4),故选B.
2.解析　(1)由题意知,每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为p2(1-p)+p3,
每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为p(1-p)2[1-(1-p)2],
综上可知,每位员工被认定为“暂定”的概率f(p)=p2(1-p)+p3+p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.
(2)设每位员工测试的费用为X,则X的可能取值为90,150,
由题意知,P(X=150)=p(1-p)2,P(X=90)=1-p(1-p)2,
所以E(X)=90×[1-p(1-p)2]+150×p(1-p)2=90+180p(1-p)2,p∈(0,1),
令g(x)=90+180x(1-x)2,x∈(0,1),则
g'(x)=180[(1-x)2-2x(1-x)]=180(3x-1)(x-1),
所以当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以g(x)≤g=90+180××=,即E(X)≤,
所以此方案的最高费用为1+600××10-4=8(万元).
综上可知,以此方案实施不会超过预算.
3.解析　设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列为
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
(1)记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A,则事件A对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)·P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.
(2)X的可能取值为0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,
所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,
所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
所以E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
4.B　由题意知阴影部分的面积
S=P(0≤x≤2)=[P(-6≤x≤2)-P(-4≤x≤0)]≈(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,
则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=,
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×=339.75≈340.故选B.
5.C　由题图知X~N(60,82),
所以P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(52≤X≤68)≈0.682 7,
所以成绩X位于区间[52,68]的人数大约为1 000×0.682 7=682.7≈683.
故选C.