8.6.3平面与平面垂直 第1课时 学案

8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
学习目标
1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；
2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.
3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
学习重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.
难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.
学习过程
1、 预习导入
阅读课本155-158页，填写。
1.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的_________,这两个半平面叫二面角的_________.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.
(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作_____ ____的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2.平面与平面垂直
(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是____ _____,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作___ ______ .
(2)判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过_________________,则这两个平面垂直
基础检测
1.下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角;
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角;
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是(　 　)
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　 　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n α C.m∥n,n⊥β,m α D.m∥n,m⊥α,n⊥β
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与面ABCD垂直的平面有(　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,P是边长为2的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥ BC,且PC=5,则二面角P-BD-A的余弦值为　　　　.
典例分析
题型一 对面面垂直判定定理的应用
例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．证明：平面平面.
跟踪训练一
1、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
题型二 求二面角
例2 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:
(1)求二面角D′-AB-D的大小;
(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.
巩固练习
1．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定
3．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的个数是（ ）
①面面 ②面面
③面面 ④面面
A．1 B．2 C．3 D．4
4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定
5．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（　　）
①AC∥平面BEF；
②B、C、E、F四点可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直
A．0 B．1 C．2 D．3
6．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．
7．如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：
①∥平面； ②∥平面；
③平面； ④平面平面．
其中正确的命题的序号是______．
8．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，．
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小．
例1 【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，
∴，即．
又∵垂直于所在平面，平面
∴． ∴ ∴平面．
又平面， ∴平面平面．
跟踪训练一
1、【解析】证明 由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,
又BM 平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.
在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.
因为BM 平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
例2 【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,
在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.
所以二面角D′-AB-D的大小为45°.
(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,
则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.
从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.
所以二面角M-AB-D的大小为45°.
巩固练习
1——5.DDBCC. 6.①③④ ② 7. ①④
8. （I）如图所示, 连结由是菱形且知，
△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB, 所以
又所以是二面角的平面角．
在Rt△PAB中,．
故二面角的大小为
6
1