第八章立体几何初步 章末复习 教案

第八章立体几何章末复习
典例分析
一　空间几何体的结构特征及其直观图
1.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
2.通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
3、斜二测画法：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变！
例1.（1）设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是(　　)　　A
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:底面是矩形的直平行六面体是长方体,①错误;棱长都相等的直四棱柱是正方体,②正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体是直平行六面体,③错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是直平行六面体,④错误.故命题正确的个数是1.
（2.）在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(　　) D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,取四棱锥A1-ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.
例2、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 (　　)D
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
二　空间几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用．
1.空间几何体表面积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题,应注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.
(2)在求解空间几何体的表面积问题时，常将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题的常用方法．
(3)将一些不规则的几何体进行修补(补形法)，或者将一些几何体进行分割(分割法)，或者通过变换顶点和底面，利用体积相等求解(等积法)等是求空间几何体体积的重要思想方法．例如，常见的将三棱柱补成四棱柱，四棱锥分割成三棱锥，再利用四棱柱、三棱锥的特殊性求体积．又如将三棱锥的顶点和底面进行交换，利用体积相等求体积或求几何体的高．
例3（1）.已知一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.
解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为h,
则×6××22×h=2,解得h=1.由题意,得底面正六边形的中心
到其边的距离为,所以侧面等腰三角形底边上的高为
=2,所以该六棱锥的侧面积为6××2×2=12.
（2）如图所示,三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA,OB,OC两两垂直,三个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.
解:设OA,OB,OC的长依次为x cm,y cm,z cm,
由已知可得xy=1.5,xz=1,yz=3,解得x=1,y=3,z=2.
将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以OAB为底面,易知OC为三棱锥C-OAB的高.故V三棱锥O-ABC=VC-OAB=S△OAB·OC=×1.5×2=1(cm3).
(3)如图所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',侧面B'BCC'的面积是S,点A'到侧面B'BCC'的距离是a,求三棱柱ABC-A'B'C'的体积.
解:连接A'B,A'C,如图所示,
这样就把三棱柱ABC-A'B'C'分割成了两个棱锥, 即三棱锥A'-ABC和四棱锥A'-BCC'B'.
设所求体积为V,显然三棱锥A'-ABC的体积是V. 而四棱锥A'-BCC'B'的体积为Sa,
故有V+Sa=V,所以V=Sa.
三　与球有关的切、接问题及简单的组合体
球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来表现这两个几何体之间的关系，从而将空间问题转化为平面问题．
(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过圆心，二要过长方体或正方体的两条对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．
例4（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为(　　)
A.π B.π C.π D.16π
解析:如图所示,设PE为正四棱锥P-ABCD的高,
则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上,延长PE交球面于一点F,连接AE,AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形,且AE⊥PF.因为该棱锥的高为6,底面边长为4,所以AE=2,PE=6,
所以侧棱长PA====2. 设球的半径为R,则PF=2R. 由△PAE∽△PFA,得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=,所以S=4πR2=4π×()2=.
（2.）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,如果这个球的体积是π,那么这个正三棱柱的体积是(　　)
A.96 B.16 C.24 D.48
解析:由球的体积公式可求得球的半径R=2. 设球的外切正三棱柱的底面边长为a,高即侧棱长,为h,则h=2R=4. 在底面正三角形中,由正三棱柱的内切球特征,得×=R=2,解得a=4. 故这个正三棱柱的体积V=××(4)2×4=48.
答案:D
（3）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 (　A　)
A． cm3　　　　 B． cm3
C． cm3 D． cm3
[解析]　设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R－2 ，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．∴球的体积为＝ cm3．
四　空间中的平行与垂直
1.平行问题的转化关系
2.空间中垂直关系的相互转化
例1（1）已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是 (　D　)
A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[解析]　A项，α、β可能相交，故错误；
B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确
（2）已知α、β是两个平面，直线l α，l β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有 (　A　)
A．①③ ②；①② ③
B．①③ ②；②③ ①
C．①② ③；②③ ①
D．①③ ②；①② ③；②③ ①
[解析]　因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α
又因为l⊥α，所以l∥m.又因为l β，所以l∥β，即①③ ②；
因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n
又因为l⊥α，所以n⊥α
又因为n β，所以α⊥β，即①② ③．
例2、（1）.如图所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N分别为BB',A'C'的中点.求证:MN∥平面ABC'.
证明:取B'C'的中点P,连接MP,NP(图略),则MP∥BC',NP∥A'B'.
因为A'B'∥AB,所以NP∥AB.
因为AB 平面ABC',NP 平面ABC',
所以NP∥平面ABC'.
同理MP∥平面ABC'.
因为NP∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.
因为MN 平面MNP,所以MN∥平面ABC'.
（2）.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,
M∈AC,N∈FB,且AM=FN,过点M作MH⊥AB于点H.
求证:平面MNH∥平面BCE.
证明:因为正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,
所以MH∥BC.
因为BF=AC,AM=FN,所以=.
因为MH∥BC,所以=,所以=,
所以NH∥AF∥BE.
因为MH 平面MNH,NH 平面MNH,MH∩NH=H,
BC 平面BCE,BE 平面BCE,BC∩BE=B,
所以平面MNH∥平面BCE.
例3.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.
求证:平面COD⊥平面AOB.
证明:由题意,得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.
因为二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.
因为CO 平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.
例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,
AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
(1)证明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.
因为AC∩PA=A,AC 平面APC,PA 平面APC,
所以BD⊥平面APC.
(2)解:连接OG,如图所示.
因为PC⊥平面BGD,OG 平面BGD,所以PC⊥OG.
在△ABC中,由余弦定理,得
AC==2.
在Rt△PAC中,得PC===.
所以由△GOC∽△APC可得GC==.
从而PG=,所以=.
例5在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求证：EF⊥B1C.
例6 如图，在四棱锥P ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，
E、F分别是PC、DC的中点．平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PDA；
(2)PD⊥平面ABCD.
(3)平面PAC⊥平面PDB
例7、在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；
(2)已知G、H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．
五　空间角的求解方法
1.找异面直线所成角的三种方法
(1)利用图中已有的平行线平移.
(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.
(3)补形平移.
2.线面角
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.
3.求二面角的两种常用方法
(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
例1图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
例2.如图所示,AB是☉O的一条直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A, B的一动点.
(1)证明:△PBC是直角三角形;
(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)证明:因为AB是☉O的一条直径, C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA.
因为PA∩AC=A,PA 平面PAC,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC,
所以BC⊥PC,
所以△BPC是直角三角形.
(2)解:如图所示,过点A作AH⊥PC于点H,连接BH.
因为BC⊥平面PAC,所以BC⊥AH.
因为PC∩BC=C,PC 平面PBC,BC 平面PBC,
所以AH⊥平面PBC,
所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.
因为PA⊥平面ABC,
所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角.
因为tan∠PCA==,PA=2,
所以AC=.
在Rt△PAC中,AH==,
在Rt△ABH中,sin∠ABH==,
即AB与平面PBC所成角的正弦值为.
例3如图，在Rt△AOB中∠OAB＝30°，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，动点D在斜边AB上.
(1)求证：平面COD⊥平面AOB；
(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值．
[解析]　(1)由题意，CO⊥AO，BO⊥AO
∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角
又∵二面角B－AO－C是直二面角．
∴CO⊥BO．
又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB．
又CO 平面COD
∴平面COD⊥平面AOB．
(2)作DE⊥OB，垂足为E，连接CE(如图)，则DE∥AO．
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△OCB中，CO＝BO＝2，OE＝BO＝1
∴CE＝＝．
又DE＝AO＝
∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝＝＝．
即异面直线AO与CD所成的角的正切值是．
(3)由(1)知，CO⊥平面AOB
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角
且tan∠CDO＝＝．
∴当OD最小时，tan∠CDO最大
这时，OD⊥AB，垂足为D
OD＝＝，tan∠CDO＝
即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是．
六　转化思想
转化思想是指在解决数学问题时,一个数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想.它包括从未知到已知的转化,从一般到特殊的转化等,折叠问题中体现了转化思想.
解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,看看哪些元素的位置变了,哪些元素的位置没有变,基本思路是利用“不变求变”,一般步骤如下:
(1)平面→空间:根据平面图形折出满足条件的空间图形,想象出空间图形,完成平面图形与空间图形在认识上的转化.
(2)空间→平面:为解决空间图形问题,要回到平面上来,重点分析元素的变与不变.
1.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,
∠BAD=90°.若将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　　)
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
解析:因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,
∠BAD=90°,所以BD⊥CD.
因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,
所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.
因为AD⊥AB,AD∩CD=D,AD 平面ADC,CD 平面ADC,
故AB⊥平面ADC.
因为AB 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.
答案:D
2.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1 EDF的体积为 ．
3.如图①所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=,EF=2+,将它沿着两条高AD,CB折叠成四棱锥E-ABCD(E,F两点重合),如图②所示.
① ②
(1)求证:BE⊥DE;(2)设M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
(1)证明:因为AD⊥EF,所以AD⊥AE,AD⊥AB.
因为AB∩AE=A,AB 平面ABE,AE 平面ABE,
所以AD⊥平面ABE,所以AD⊥BE.
由题图①和题中所给条件知,AE=BE=1,AB=CD=,
所以AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE.
因为AE∩AD=A,AE 平面ADE,AD 平面ADE,
所以BE⊥平面ADE,所以BE⊥DE.
(2)解:如图所示,取EC的中点G,BE的中点P,连接PM,PG,MG,
则MP∥AE,GP∥CB∥DA,
所以MP∥平面DAE,GP∥平面DAE.
因为MP∩GP=P,所以平面MPG∥平面DAE.
因为MG 平面MPG,
所以MG∥平面DAE,即存在点N与G重合满足条件,
使得MN∥平面DAE.
4.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.
课堂小结
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