8.4.1平面 教案

8.4.1 平面
课程目标
1.正确理解平面的概念；
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.
数学学科素养
1.数学抽象：平面概念的理解；
2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题；
3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的三个基本事实和推论，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
难点：平面的三个基本事实的掌握与运用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题1：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？
问题2:平面的含义是什么呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本124-127页，思考并完成以下问题
1、平面的概念是什么？怎样表示一个平面？
2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达？
3、平面有哪些基本事实？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 无限延展的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).
3)平面的表示
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.
2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
点A在直线上，则， 点A在直线外，则;
点A在平面内，则， 点A在平面外，则;
直线在平面内，则， 直线在平面外，则;
平面与平面相交直线，则.
3、平面的基本事实
文字语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B, C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l
基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
四、典例分析、举一反三
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换
例1　根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应
图形:(1)A∈α,B α;(2)l α,m∩α=A,A l;(3)P∈l, P α,Q∈l,Q∈α．
【答案】见解析.
【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
解题技巧（三种语言转换的注意事项）
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.
跟踪训练一
1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是(　　)
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α l α
(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α α∩β=直线AB
(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线 α与β重合
(D)l∈α,n∈α,l∩n=A l与n确定唯一平面
2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
【答案】1、D. 2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a α, b β,a∩l=P,b∩l=P.
【解析】1.选D，D选项的表述有问题.
2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在②中,α∩β=l,a α, b β,a∩l=P,b∩l=P.
题型二 点线共面
例2 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.　
【答案】见解析．
【解析】因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2 α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
解题技巧 (证明点线共面问题的常用方法)
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.　
跟踪训练二
1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是(　　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3
【答案】D．
【解析】两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D．
题型三 多点共线、多线共点问题
例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
【答案】 见解析．
【解析】　连接EF,D1C,A1B,
因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EFA1B.
又因为A1BD1C,所以EFD1C,
所以E,F,D1,C四点共面,
可设D1F∩CE=P.
又D1F 平面A1D1DA,CE 平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,
所以据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.
解题技巧（证明多点共线、多线共点的常用方法）
(1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.
跟踪训练三
1．如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
(A)A,M,O三点共线
(B)A,M,O,A1不共面
(C)A,M,C,O不共面
(D)B,B1,O,M共面
【答案】A.
【解析】连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.
所以A1,C1,C,A四点共面.
所以A1C 平面ACC1A1.
因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,
所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
所以A,M,O三点共线.故选A.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
平面
平面
例
1
例
2
例
3
2
、点、直线、平面的位置关系
3.
平面的三个基本事实
基本事实
1
三个推论
基本事实
2
基本事实
3
)
七、作业
课本128页练习，131页习题8.5的1、5、6、7、8题.