2.3.2向量的数乘与向量共线的关系 教案

向量的数乘与向量共线的关系
【教学目标】
1．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．
2．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．
【教学重难点】
共线向量基本定理及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．共线向量基本定理
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a//b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a=λb.
思考：若b＝2a，b与a共线吗？
[提示] 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
2.直线的向量表示
通常可以用表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量.
二、合作探究
1．若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点的位置关系如何？
[提示] A，B，C三点共线．
2．向量共线定理有哪两个方面的应用？
[提示] （1）判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线．（2）表示两个共线向量之间的关系．若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ.使b＝λa．
3．向量共线定理应注意什么？
[提示] 向量共线定理不包含0与0共线的情况，因为a≠0.
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa．
【例】 已知非零向量e1，e2不共线．
（1）如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[思路探究] 解答本题对于（1），欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于（2），若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
[解] （1）证明：∵＝e1＋e2，＝＋
＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
只能有∴k＝±1．
1．(变条件)将例3中的条件变为“a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b”，试证明：A，B，C三点共线．
[证明] ∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线．
2．若将例3中的条件改为“若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上？
[解] 由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，化简，得a＝b．
∵a与b不共线，
∴解得
故当t＝时，三向量的终点共线．
【规律方法】
1．证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1．
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
三、课堂小结
利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.
四、课堂检测
1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A [＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.
所以A，B，D三点共线．]
2．如图所示，已知＝，用，表示.
[解] ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
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