1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 教案

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【教学目标】 【核心素养】
理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用．(重难点) 通过学习任意角的正弦、余弦的定义，培养数学抽象素养．
【教学过程】
一、基础铺垫
1．任意角的正弦、余弦函数的定义
（1）单位圆的定义
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：
正弦函数 余弦函数
定义 点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α 点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α
思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？
[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．
二、合作探究
1.正弦、余弦函数的定义
【例1】 已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦值和余弦值．
[解] 法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则y＝2x(x>0)．又因为x2＋y2＝1，
所以于是sin α＝y＝，
cos α＝x＝.
法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x>0)，则OP＝＝＝|x|，
又因为x>0，所以OP＝x.
所以sin α＝＝，cos α＝＝.
【规律方法】
求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：
1 利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u，v ，则v＝sin α，u＝cos α.
2 利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设P x，y 是角α的终边上任意一点，P到原点的距离r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝.
2.课堂小结
利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
三、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）正弦函数、余弦函数的自变量都是角．( )
（2）正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．( )
（3）对正弦函数f(x)＝sin x有f＝f，所以是函数f(x)的周期．( )
（4）若f(x)是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f（1）．( )
[答案] （1）√ （2）√ （3）× （4）√
2．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．
[解] 因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝.
于是sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝－.
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