4.1 同角三角函数的基本关系 教案

同角三角函数的基本关系
【教学目标】
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．
【教学重难点】
同角三角函数的基本关系式及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
同角三角函数基本关系式
（1）关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；
②商数关系：＝tan__α.
（2）文字叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
（3）变形形式
①1＝sin2α＋cos2α；
②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
③sin α＝± ；cos α＝± ；
④sin α＝cos αtan α；
⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin_αcos__α.
思考：sin230°＋cos245°等于1吗？
有意义吗？
[提示] 不等于1，分母为0，无意义．
二、合作探究
1．利用同角基本关系式求值
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[解] ∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
【规律方法】
已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解.
2．利用sin α±cos α，sin α，cos α之间的关系求值
【例2】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝，求tan α的值．
[解] 由sin α＋cos α＝，①
得sin α·cos α＝－<0，
又0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝ ＝
＝ ＝，②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝＝－.
【规律方法】
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
3．综合应用
[探究问题]
（1）平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？
[提示] 平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
（2）证明三角恒等式常用哪些技巧？
[提示] 切弦互化，整体代换，“1”的代换．
（3）证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
[提示] 由繁到简．
【例3】 （1）化简tan α·，其中α是第二象限角；
（2）求证：＝.
[思路探究] （1）先确定sin α，cos α的符号，结合平方关系和商数关系化简．
（2）逆用平方关系结合tan α＝化简．
[解] （1）因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
故tan α·＝tan α·
＝tan α
＝·＝·＝－1．
（2）证明：左边＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原式成立．
【规律方法】
1．化简过程中常用的方法有：
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法有：
（1）从一边开始，证得它等于另一边；
（2）证明左右两边都等于同一个式子；
（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
三、课堂总结
1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
（1）“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
（2）切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
（3）整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）sin2α＋cos2β＝1．( )
（2）对任意角α，＝tan .( )
（3）利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．( )
（4）若sin α＝，则cos α＝.( )
[答案] （1）× （2）× （3）× （4）×
2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B．
C．± D．±
A [α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.]
3．已知角A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
B [∵sin A＋cos A＝，
∴1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－<0，
又∵A∈(0，π)，sin A>0，
∴cos A<0，A为钝角．故选B．]
4．已知＝，求下列各式的值．
（1）；
（2）1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
[解] 由已知＝，
∴＝，解得tan θ＝2．
（1）原式＝＝＝1．
（2）原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝
＝－.
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