6.2.4 平面向量的数量积课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共16张PPT)

(共16张PPT)
6.2.4 平面向量的数量积
1.了解向量数量积的物理背景，理解向量数量积的含义及其物理意义。
2.体会向量的数量积与向量投影的关系。
3.掌握向量数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断。
学习目标
复习回顾
问题1：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：向量与向量能否相乘？
在物理课中我们学过功的概念：一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功
探究新知
其中θ是力F与位移S的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
1.向量夹角
已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作， ， 叫做向量a与b的夹角，记作<, >.
“同起点”原则
显然，当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向.
如果a与b的夹角是，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.
探究新知
思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
2.平面向量的数量积
定义：已知非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作 ，即规定
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
探究新知
(1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
说明：
(2) 中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成
(3)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是
[ 0°,180°]．
例1 已知
例题分析
解）=-10
解：由，得
因为所以 .
探究新知
3.投影向量
探究：如图, 是两个非零向量，， 与的夹角为，你能在图中做出的几何图形吗
我们称这种变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
同起点原则
投影向量的定义
我们可以在平面内任取一点O，作， .过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量在向量上的投影向量.
向量在向量上的投影向量是向量，它的大小和方向如何确定呢？
思考
探究新知
探究新知
探究：如图，设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ，那么与,,θ之间有怎样的关系？
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，
从上面的讨论可知，对于任意的θ∈[0,π]，都有
4.数量积的性质
探究新知
设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则
思考：向量在向量上的投影向量，那么·=·吗
目标检测
1．在△ABC中，BC＝5,AC＝8,∠C＝60°，求·
2.已知||＝3，||＝1，向量与向量的夹角为120°,求在上的投影向量.
4．已知| |=3，| |=8，则：
（1）当 =0时， 与的关系为 ．
（2）当 =24时， 与的关系为 ．
（3）当 =-12时， 与的夹角为 ．
变式：求在上的投影向量.
一、平面向量的夹角
二、向量的数量积
三、投影向量(在上的投影向量)
四、向量数量积的性质
课堂小结
<, >，同起点
课后作业
1.作业本p19-20页，15，16题选做
2.课本p20页练习1，2
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