2022年“五一假期”人教版八年级下册《平行四边形》解答题专题训练（word版 含解析）

2022年“五一假期”八年级下册数学《平行四边形》解答题专题训练卷
基础巩固
1．如图，点O为 ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线，DC的延长线于点E，F，求证：AE＝CF．
2．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且∠ADF＝∠CBE，连接DE，BF．求证：△AFD≌△CEB．
3．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
4．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．
5．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形．
6．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
能力提升
7．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．
8．如图，在四边形ABEC中，∠A＝∠B，点D、F分别在边AB、BE上，AC＝CD＝EF．
（1）求证：四边形EFDC是平行四边形；
（2）若∠DCA＝2∠FDB，猜想四边形EFDC的形状，并说明理由．
9．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝CD，探究四边形EGFH的形状，并说明理由．
10．E、F是 ABCD的边AD、BC的中点，
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接AF、EC，分别交BE、DF于M、N，判断四边形MFNE是否是平行四边形，说明理由．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．
培优训练
13．已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．
14．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
16．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．
（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；
（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．
18．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、EG．
（1）求证：OE＝OF；
（2）请求出∠EOG的度数？
（3）试求出△BEG的周长；
（4）若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积．
参考答案
基础巩固
1．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO．
又∵OB＝OD，
∴△EBO≌△FDO．
∴BE＝DF．
又∵AB＝CD，
∴BE﹣AB＝DF﹣CD．
即AE＝CF．
2．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△AFD和△CEB中，
∵，
∴△AFD≌△CEB（ASA）．
3．【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴ED∥BF，
又∵AE＝CF，
且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
4．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DQ＝CP，
∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，
∴AQ＝DP，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠DAP＝∠ABQ，
∵∠DAP+∠BAP＝90°，
∴∠ABQ+BAP＝90°，
∴BQ⊥AP．
5．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO＝CO，
∴AB＝AO＝CO，
∴△AOB是等边三角形．
6．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
能力提升
7．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG+∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．
8．【解答】（1）证明：∵AC＝CD，
∴∠CDA＝∠A，
∵∠A＝∠B，
∴CD∥EF，
∵CD＝EF，
∴四边形EFDC是平行四边形；
（2）解：四边形EFDC是矩形，理由如下：
如图，过C作CG⊥AD于G，
∵AC＝CD，CG⊥AD，
∴∠DCG＝∠ACG，
∴∠DCA＝2∠DCG，
∵∠DCA＝2∠FDB，
∴∠DCG＝∠FDB，
∵∠DCG+∠CDG＝90°，
∴∠FDB+∠CDG＝90°，
∴∠CDF＝190°﹣90°＝90°，
由（1）可知，四边形EFDC是平行四边形，
∴平行四边形EFDC是矩形．
9．【解答】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，且GE＝AB，
同理可证：HF∥AB，且HF＝AB，
∴EG∥HF，且EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：四边形EGFH是菱形，理由如下：
∵G，F分别是BD，BC的中点，
∴GF＝CD，
由（1）知GE＝AB，
又∵AB＝CD，
∴GE＝GF，
又∵四边形EGFH是平行四边形，
∴ EGFH是菱形．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E、F是 ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝AD，BF＝BC，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF；
（2）解：四边形MFNE是平行四边形，理由如下：
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，同理：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥EC，
∴四边形MFNE是平行四边形．
11．【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴BF＝OB sin∠AOB＝2×＝，
∴菱形AOBE的面积是：OA BF＝2×＝2．
12．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵DE⊥BC，
∴OE＝BD，
∴BD＝2OE＝6，
在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝＝．
∴线段DE的长为．
培优训练
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴OB＝CO＝AC＝2，DO＝BD＝2，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，
，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
∵BE＝1，
∴OE＝OF＝OB﹣BE＝2﹣1．
14．【解答】解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝2×＝2．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
16．【解答】解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠EAF＝∠DAF+∠EAF，
∴∠BAF＝∠DAE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∴3∠ABD＝67.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGE＝67.5°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AFD＝90°，
∴△BEG只含有一个3∠ABD；
同理可得：∠DHF＝67.5°，
∴△DFH只含有一个3∠ABD；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵AE⊥BC，∠AFD＝90°，
∴∠DAG＝∠BAH＝90°，
∵∠DHF＝∠AHB＝67.5°，∠BGE＝∠AGD＝67.5°，
∴△DAG只含有一个3∠ABD；△BAH只含有一个3∠ABD．
故图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形有：△BEG，△BAH，△DFH，△DAG．
18．【解答】（1）证明：∵点O是正方形对角线交点，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
在△EBO和△FCO中，
，
∴△EBO≌△FCO（SAS），
∴OE＝OF，
（2）解：由（1）可知，△EBO≌△FCO，
∴∠BOE＝∠COF，
∵∠BOF+∠COF＝∠BOE+∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝45°，
（3）解：∵OG垂直平分EF，
∴EG＝GF，
∴△BEG的周长为BE+EG+BG＝CF+GF+BG＝BC，
∵BC＝AB＝10，
∴△BEG的周长为10，
（4）∵AC＝＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵AE＝AO，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣5，
在△AED中，∠AOE＝（180°﹣∠EAO）＝67.5°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝22.5°，
∴∠BOG＝∠EOG﹣∠BOE＝22.5°，
∴OB为∠EOG的角平分线，
∵BO为∠EBG的角平分线，
∴∠OBG＝∠OBE，
∴△OBG≌△OBE（ASA），
∴BE＝BG，OE＝OG，
∴OB⊥EG，
在△EBG中，EG＝＝10﹣10，
∴S四边形BEOG＝2S△OBG＝×EG OB＝50﹣25．