第五章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=2x-.
令f'(x)≤0,解得0
故函数f(x)的单调递减区间为.
答案:A
2.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.1 B.
C.0 D.-1
解析:f'(x)=3-12x2.
令f'(x)=0,解得x=-(舍去)或x=.
∵f(0)=0,f(1)=-1,f=1,
∴函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1.
答案:A
3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:f'(x)=3x2+2ax+3.
由题意知f'(-3)=0,
即3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,
解得a=5.
答案:D
4.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(2),f(lo2),f(log23)的大小关系是( )
A.f(lo2)B.f(lo2)C.f(log23)D.f(2)解析:函数f(x)=x2-2cos x,因为f(-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cos x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
f'(x)=2x+2sin x,因为当x∈(0,2π)时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,2π)上单调递增.
因为|lo2|=|log32|<1所以f答案:A
5.已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x-b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( )
解析:由导函数的图象,可知f'(0)=0,当x<0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,排除A,B;当00,则函数f(x)在区间(0,x1)上单调递增.
因此当x=0时,f(x)取得极小值.故选D.
答案:D
6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P(单位:元),销售量为Q(单位:件),且销售量Q与零售价P满足关系式:Q=8 300-170P-P2,则销售该批商品的最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
解析:设毛利润为L(P),由题意知L(P)=P·Q-20Q=Q(P-20)=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,则L'(P)=-3P2-300P+11 700.
令L'(P)=0,解得P=30或-130(舍),此时L(30)=23 000.
因为在P=30的左侧L'(P)>0,右侧L'(P)<0,所以L(30)是极大值也是最大值,即当零售价定为每件30元时,有最大毛利润23 000元.
答案:D
7.若函数f(x)=,且0A.a>b
B.aC.a=b
D.a,b的大小不能确定
解析:f'(x)=.
设g(x)=xcos x-sin x,
则g'(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x.
当0∵g'(x)<0,
∴函数g(x)在区间(0,1)内是减函数.
∴g(x)∴f'(x)<0.
∴函数f(x)在区间(0,1)内是减函数.
∴a>b.故选A.
答案:A
8.已知函数f(x)在R上可导,导函数为f'(x),满足f'(x)A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(5,+∞) D.(10,+∞)
解析:设g(x)=,则g'(x)=.
∵f'(x)∴g'(x)<0.
∴g(x)在R上单调递减.
∵函数f(x+5)是偶函数,
∴函数f(x+5)的图象关于直线x=0对称.
∴函数f(x)的图象关于直线x=5对称.
∴f(0)=f(10)=1.
原不等式等价为g(x)<1.
∵g(0)==1,且g(x)在R上单调递减,
∴g(x)<1,即g(x)0.
∴不等式f(x)答案:A
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题中正确的是( )
A.命题“ x∈R,使得x2-2x+1<0”的否定是真命题
B.x≤1,且y≤1是“x+y≤2”的充要条件
C.已知f'(x)是f(x)的导函数,若 x∈R,f'(x)≥0,则f(1)D.已知a,b都是正数,且,则a解析:命题“ x∈R,使得x2-2x+1<0”的否定是“ x∈R,都有x2-2x+1≥0”,由x∈R,x2-2x+1=(x-1)2≥0恒成立,知A是真命题;
当x≤1,且y≤1时,x+y≤2成立,则充分性成立,
当x+y≤2时,x≤1,且y≤1不一定成立,则必要性不成立,故B是假命题;
若f(x)是常数函数,则f(1)a,b都是正数,且,
则ab+b>ab+a,即a故选AD.
答案:AD
10.下列四个函数中,既有极小值又有最小值的是( )
A.y=|x|
B.y=ex-x-1
C.y=xln x-5
D.y=x-sin x
解析:函数y=|x|,当x=0时,函数取得极小值也是最小值.
函数y=ex-x-1,求导得y'=ex-1.令y'=0,解得x=0.
当x<0时,y'<0,函数y在区间(-∞,0]上单调递减;当x>0时,y'>0,函数y在区间(0,+∞)上单调递增.
所以当x=0时,函数取得极小值也是最小值.
函数y=xln x-5,y'=ln x+1.
令y'=0,解得x=.
根据函数的单调性,可得
当x=时,函数y取得极小值也是最小值.
函数y=x-sin x,因为x∈(-∞,+∞),sin x∈[-1,1],所以y=x-sin x没有最小值.
故选ABC.
答案:ABC
11.已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f'(x),下列命题中是真命题的为( )
A.f(x)的单调递减区间是
B.f(x)的极小值是-15
C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)D.函数f(x)有且只有一个零点
解析:f(x)=x3-2x2-4x-7,
其导函数为f'(x)=3x2-4x-4.
令f'(x)=0,解得x=-,x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x - 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当x=-时,函数f(x)有极大值,极大值为f<0,当x=2时,函数f(x)有极小值,极小值为f(2)=-15.
故函数f(x)只有一个零点.
故A错误,BD正确;
设g(x)=f'(x),则g'(x)=6x-4.当x>2时,g'(x)>0,故g(x)即f'(x)在区间(2,+∞)上单调递增.设G(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)(x>2),
则G'(x)=f'(x)-f'(a).
令G'(x)=0,得x=a.
根据函数的单调性,知函数G(x)在x=a处取得极小值也是最小值G(a)=0.
故当a>0时,对任意的x>2,且x≠a,恒有G(x)>0,即f(x)>f(a)+f'(a)(x-a).
故C错误.故选BD.
答案:BD
12.对于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.f(x)在x=处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f()D.若f(x)
解析:函数f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x=.
当00,f(x)在区间(0,)内单调递增;当x>时,f'(x)<0,f(x)在区间(,+∞)上单调递减.
所以函数f(x)在x=处取得极大值f()=.
因为函数f(x)在区间(,+∞)上单调递减,f()=f(2),2>,所以f(2)故A,C正确.
令f(x)==0,解得x=1,故函数f(x)有一个零点.
故B错误.
由f(x).
设g(x)=,则g'(x)=-(x>0).
令g'(x)=0,解得x=.
根据函数g(x)的单调性,得g(x)max=g()=,则k>.
故D正确.故选ACD.
答案:ACD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.若f(x)=x3-f'(1)x2+x+5,则f'(1)= .
解析:f'(x)=3x2-2f'(1)x+1,令x=1,得f'(1)=.
答案:
14.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为 .
解析:f'(x)=3x2+6ax+3b.
由题意得
即解得
所以f'(x)=3x2-6x.
令f'(x)=0,解得x=0或x=2.
由函数的单调性,可得函数f(x)的极大值点是x=0,极小值点是x=2.
所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.
答案:4
15.已知函数f(x)=4ln x+ax2-6x(a为常数),若x=2为f(x)的一个极值点,则f'(2)= ,a= .
解析:函数f(x)=4ln x+ax2-6x(a为常数),
则f'(x)=+2ax-6.
∵x=2为f(x)的一个极值点,
∴f'(2)=2+4a-6=0,解得a=1.
答案:0 1
16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是 .
解析:f'(x)=.
令f'(x)>0,得-1则函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).
因为f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增,
所以
解得-1答案:(-1,0]
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b.
由题意知f'(-1)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x.
因为g'(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),
所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2.
于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.
当x<-2时,g'(x)<0;
当-2g'(x)>0,故-2是g(x)的极值点.
当-21时,g'(x)>0,
故1不是g(x)的极值点.
所以g(x)的极值点为-2.
18.(12分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,
所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.
由题意得
解得
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex,
f'(x)=e2-x(1-x+ex-1).
因为e2-x>0,所以f'(x)与1-x+ex-1同号.
设g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.
令g'(x)=0,解得x=1.
当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,
则函数g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故g(1)=1是函数g(x)在区间(-∞,+∞)上的极小值也是最小值,从而g(x)>0在R上恒成立.
所以f'(x)>0在R上恒成立.
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
19.(12分)已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a为常数).
(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值并判断x=-1是极大值点还是极小值点;
(2)若f(x)在区间[-3,-2]上单调递增,求a的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,1),
f'(x)=2ax-.
由题意知f'(-1)=-2a-1=0,解得a=-.
从而f'(x)=-x-.
∵x<1,∴1-x>0,x-2<0.
∴当x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增;
当-1∴x=-1是f(x)的极大值点.
(2)由题意知f'(x)≥0对x∈[-3,-2]恒成立,
即2ax-≥0对x∈[-3,-2]恒成立,
∴a≤对x∈[-3,-2]恒成立.
∵-x2+x=-∈[-12,-6],
∴.
∴=-.
故a≤-,即a的取值范围为.
20.(12分)某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元)(0≤t≤3).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3(单位:百万元)之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大
(2)现该公司准备共投入3(单位:百万元),分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加的销售额为-x3+x2+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入)
解:(1)设投入t(单位:百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(单位:百万元),则f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3).
所以当t=2时,f(t)取得最大值4,即投入2(单位:百万元)的广告费时,该公司获得的收益最大.
(2)设用于技术改造的资金为x(单位:百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(单位:百万元),由此获得收益是g(x)(单位:百万元),则g(x)=-x3+x2+3x+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=-x3+4x+3(0≤x≤3),所以g'(x)=-x2+4.
令g'(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.
因为当0≤x<2时,g'(x)>0,函数g(x)在区间[0,2)内单调递增;
当2所以当x=2时,g(x)取得极大值也是最大值,即将2(单位:百万元)用于技术改造,1(单位:百万元)用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.
21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
对f(x)求导,得f'(x)=-a.
①当a≤0时,f'(x)=-a>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)=-a=0,解得x=.
当00;
当x>时,f'(x)=<0,
故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.
②当≥2,即0③当1<<2,即因为f(2)-f(1)=ln 2-a,所以当当ln 2≤a<1时,最小值为f(2)=ln 2-2a.
综上可知,当0当a≥ln 2时,函数f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.
22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2<2.
(1)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
①若a=0,则f(x)=(x-2)ex,函数f(x)只有一个零点.
②若a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)在x=1处取得极小值也是最小值f(1)=-e<0.
因为f(2)=a>0,取b满足b<0,且b则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,
所以函数f(x)存在两个零点.
③若a<0,令f'(x)=0,解得x=1或x=ln(-2a).
若a≥-,则ln(-2a)≤1,
故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
因为当x≤1时,f(x)<0,
所以f(x)不存在两个零点.
若a<-,则ln(-2a)>1,
故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;
当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此函数f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)上单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,所以函数f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
(2)证明:不妨设x1又函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,
所以x1+x2<2,即x1<2-x2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.
因为f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2,
而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,
所以f(2-x2)=-x2-(x2-2).
设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,
则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).
当x>1时,g'(x)<0,
函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.
从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.第五章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
2.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.1 B.
C.0 D.-1
3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(2),f(lo2),f(log23)的大小关系是( )
A.f(lo2)B.f(lo2)C.f(log23)D.f(2)5.已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x-b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( )
6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P(单位:元),销售量为Q(单位:件),且销售量Q与零售价P满足关系式:Q=8 300-170P-P2,则销售该批商品的最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
7.若函数f(x)=,且0A.a>b
B.aC.a=b
D.a,b的大小不能确定
8.已知函数f(x)在R上可导,导函数为f'(x),满足f'(x)A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(5,+∞) D.(10,+∞)
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题中正确的是( )
A.命题“ x∈R,使得x2-2x+1<0”的否定是真命题
B.x≤1,且y≤1是“x+y≤2”的充要条件
C.已知f'(x)是f(x)的导函数,若 x∈R,f'(x)≥0,则f(1)D.已知a,b都是正数,且,则a10.下列四个函数中,既有极小值又有最小值的是( )
A.y=|x|
B.y=ex-x-1
C.y=xln x-5
D.y=x-sin x
11.已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f'(x),下列命题中是真命题的为( )
A.f(x)的单调递减区间是
B.f(x)的极小值是-15
C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)D.函数f(x)有且只有一个零点
12.对于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.f(x)在x=处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f()D.若f(x)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.若f(x)=x3-f'(1)x2+x+5,则f'(1)= .
14.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为 .
15.已知函数f(x)=4ln x+ax2-6x(a为常数),若x=2为f(x)的一个极值点,则f'(2)= ,a= .
16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
18.(12分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
19.(12分)已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a为常数).
(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值并判断x=-1是极大值点还是极小值点;
(2)若f(x)在区间[-3,-2]上单调递增,求a的取值范围.
20.(12分)某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元)(0≤t≤3).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3(单位:百万元)之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大
(2)现该公司准备共投入3(单位:百万元),分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加的销售额为-x3+x2+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入)
21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2<2.