第2课时 等差数列的性质及应用
课后训练巩固提升
A组
1.(多选题)若数列{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有( )
A.{an+3} B.{}
C.{an+1-an} D.{2an}
解析:设数列{an}的公差为d,由于当d≠0时,是一个关于n的二次式,故不一定能构成等差数列.ACD都是等差数列.
答案:ACD
2.已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,若a5+a6+a7+a8+a9=0,则( )
A.a5=6 B.a6=0
C.a7=0 D.a9=0
解析:∵{an}为等差数列,∴a5+a9=a6+a8=2a7,
∴a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,∴a7=0.
答案:C
3.在等差数列{an}中,a3+a9=24-a5-a7,则a6=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
解析:在等差数列{an}中,若a3+a9=24-a5-a7,
则有(a3+a9)+(a5+a7)=4a6=24,得a6=6.
答案:B
4.已知等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,则a3+a4+…+a9等于( )
A.21 B.30 C.35 D.40
解析:因为a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以a6=5.
所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.
答案:C
5.在等差数列{an}中,a3=23,公差d为整数,若前8项均为正数,从第9项起为负数,则它的公差是( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
解析:依题意,a8=a3+5d=23+5d>0,
a9=a3+6d=23+6d<0,解得-又d为整数,故d=-4.
答案:C
6.已知数列{an}是等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15= .
解析:因为a5+a13=a1+a17,所以a9=117.
所以a3+a15=a9+a9=234.
答案:234
7.若x≠y,数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差数列,则= .
解析:由x,a1,a2,y成等差数列,可知a2-a1=.
由x,b1,b2,b3,y成等差数列,可知b2-b1=.
故.
答案:
8.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.
又a2a4a6=45,∴a2a6=9,
即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9,
解得d=±2.
若d=2,则an=a4+(n-4)d=2n-3;
若d=-2,则an=a4+(n-4)d=13-2n.
9.已知四个数成递增的等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.
又这四个数成递增的等差数列,∴d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
B组
1.已知数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N*),且a1+a2+a3=9,a4=8,则a5等于( )
A. B.9
C. D.7
解析:由数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N*),得数列{an}为等差数列,设公差为d.
∵a1+a2+a3=9,∴a2=3.
又a4=8,∴d=,∴a5=a4+d=8+.
答案:A
2.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为( )
A.37 B.36
C.20 D.19
解析:由am=a1+a2+…+a9,得(m-1)d=9a5=36d m=37.
答案:A
3.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于( )
A.39 B.20
C.19.5 D.33
解析:∵a1+a4+a7=3a4=45,∴a4=15.
∵a2+a5+a8=39,∴3a5=39,∴a5=13,
∴d=a5-a4=-2,∴a6=a5+d=11,
a3+a6+a9=3a6=3×11=33.
答案:D
4.已知过圆x2+y2=10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为数列的末项ak,若公差d∈,则k的取值不可能是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:将x2+y2=10x化为x2-10x+y2=0,即(x-5)2+y2=52,表示圆心C(5,0),r=5的圆.
设A(5,3),则AC=3,故a1=8,ak=10.
则10=8+(k-1)d,k=+1.
由≤d≤,得5≤+1≤7,即5≤k≤7.
答案:A
5.已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3+a7= ,a3a7的最大值为 .
解析:依题意,等差数列{an}的各项都为正数,所以a3>0,a7>0,
所以a3+a7=2a5=6.a3a7≤=9,当且仅当a3=a7=3时等号成立.
答案:6 9
6.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为 .
解析:由2log3(2x-1)=log32+log3(2x+11),可得2x=7,故x=log27.
答案:log27
7.已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.
解法一:设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,
得解得
故这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
解法二:设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,
得
化简,得解得
故这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
解法三:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,
得
化简,得解得
故这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
8.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…的前100项(含第100项),共有多少相同的项
解:设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn},c1=11,因为等差数列5,8,11,…的通项公式为an=3n+2,等差数列3,7,11,…的通项公式为bn=4n-1,
所以数列{cn}为等差数列,且公差d=12.
所以cn=11+(n-1)×12=12n-1.
又因为a100=302,b100=399,cn=12n-1≤302,
得n≤25,所以已知两数列共有25个相同的项.4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的通项公式
课后训练巩固提升
A组
1.等差数列1,-1,-3,…,-89共有( )项.
A.92 B.47 C.46 D.45
解析:由题意知首项a1=1,d=-2,故-89=1+(n-1)×(-2),解得n=46.
答案:C
2.(多选题)下列关于等差数列的命题中正确的有( )
A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则可能成等差数列
解析:对于A,取a=1,b=2,c=3,可得a2=1,b2=4,c2=9,显然,a2,b2,c2不成等差数列,故A错;
对于B,取a=b=c,可得 2a=2b=2c,故B正确;
对于C,因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.
所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),
即 ka+2,kb+2,kc+2 成等差数列,故C正确;
对于D,a=b=c≠0 ,故D正确.
综上可知,B,C,D正确.
答案:BCD
3.已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a3=8,则a4+a6=( )
A.31 B.29
C.28 D.26
解析:依题意,数列{an}为等差数列,且a1=2,a3=8,
所以2d=a3-a1=8-2=6,所以d=3,
所以a4+a6=2a1+8d=4+24=28.
答案:C
4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )
A.15 B.30
C.31 D.64
解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则有
解得
故a12=a1+11d=15.
答案:A
5.若x是a,b的等差中项,x2是a2,-b2的等差中项,则a与b的关系为( )
A.a=b=0 B.a=-b
C.a=3b D.a=-b或a=3b
解析: x2=,
故3b2+2ab-a2=0,即a=-b或a=3b.
答案:D
6.已知等差数列{an}满足a1=0,a5=4,则公差d= ,a2+a4= .
解析:因为等差数列{an}满足a1=0,a5=4,所以4=0+4d,则公差d=1,a2+a4=2a1+4d=4.
答案:1 4
7.已知等差数列{an}中,a1+a3+a9=20,则4a5-a7= .
解析:等差数列{an}中,a1+a3+a9=3a1+10d=20,则4a5-a7=4(a1+4d)-(a1+6d)=3a1+10d=20.
答案:20
8.在等差数列{an}中,若ap=q,aq=p,则ap+q= .
解析:设数列{an}的公差为d,
∵ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,
∴d==-1,a1=p+q-1.
∴ap+q=a1+(p+q-1)d=0.
答案:0
9.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=5,d=2,求a10;
(2)已知a1=3,d=4,an=59,求n;
(3)已知d=,a28=14,求a1;
(4)已知a5=21,a10=36,求a1和d.
解:(1)a10=a1+(10-1)d=5+9×2=23.
(2)∵an=a1+(n-1)d,
∴59=3+4(n-1),解得n=15.
(3)∵a28=a1+27d,
∴a1=a28-27d=14-27×=-6.
(4)由解得
10.已知数列{an}满足a1=2,an+1=.
(1)数列是否为等差数列 请说明理由.
(2)求an.
解:(1)数列是等差数列.理由如下:
∵a1=2,an+1=,
∴,∴,
即是首项为,公差为d=的等差数列.
(2)由(1)可知+(n-1)d=,故an=.
B组
1.在等差数列{an}中,若a1 011=5,a1+2a4=9,则a2 019=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
解析:数列{an}是等差数列,a1 011=a1+1 010d=5,a1+2a4=3a1+6d=9,解得1 008d=2,故a2 019=a1+2 018d=a1+1 010d+1 008d=5+2=7.
答案:C
2.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列,则( )
A.d>0 B.d<0
C.a1d>0 D.a1d<0
解析:设bn=2a1an,则bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,则bn>bn+1,即2a1an>2a1an+1.
∵y=2x是递增函数,∴a1an>a1an+1,
∴a1an-a1(an+d)>0,
∴a1(an-an-d)>0,即a1(-d)>0,∴a1d<0.
答案:D
3.已知等差数列{an}的首项为70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )
A.a8 B.a9
C.a10 D.a11
解析:∵an=a1+(n-1)d=70+(n-1)×(-9)=79-9n,
∴a8=7,a9=-2,a10=-11,
故绝对值最小的一项为a9.
答案:B
4.已知首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是( )
A. B.(-∞,3)
C. D.
解析:由题意得解得答案:C
5.(多选题)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题中,是真命题的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列{an+3nd}是递增数列
解析:因为对于公差d>0的等差数列{an},an+1-an=d>0,所以数列{an}是递增数列成立,A是真命题;
对于数列{nan},第n+1项与第n项的差为 (n+1)·an+1-nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,B是假命题;
对于数列,第n+1项与第n项的差为,不一定是正实数,C是假命题;
对于数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差为an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d>0,数列{an+3nd}是递增数列成立,D是真命题.故选AD.
答案:AD
6.已知正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2(n∈N*,n≥2),则a7= .
解析:因为2(n∈N*,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列,
所以=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=,n≥1.
所以a7=.
答案:
7.设a>0,b>0,若lg a与lg b的等差中项为0,则的最小值是 .
解析:∵a>0,b>0,lg a与lg b的等差中项为0,
∴lg a+lg b=2×0,解得ab=1.
则≥2=2,∴的最小值是2.
答案:2
8.已知成等差数列,试证:a2,b2,c2成等差数列.
证明:∵成等差数列,
∴.
∴2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+c+2b),
∴2b2=a2+c2,∴a2,b2,c2成等差数列.
9.已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:∵an=4-(n≥2),
∴an+1-2=2-(n≥1).
∴(n≥1),
即bn+1-bn=(n≥1),∴{bn}为等差数列.
(2)解:∵为等差数列,
∴+(n-1)×.∴an=2+.
∴数列{an}的通项公式为an=2+.(共36张PPT)
第2课时 等差数列的性质及应用
第四章
4.2.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能应用等差数列解决实际应用问题.
2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.
3.培养学生的逻辑推理能力,提高数学运算能力,提升数据分析素养.
自主预习 新知导学
一、等差数列性质的应用
【问题思考】
1.已知等差数列{an}的公差为d,那么
(1)数列a1,a3,a5,a7,…是什么数列
提示:因为a3=a1+2d,a5=a3+2d,a7=a5+2d,…,所以数列a1,a3,a5,a7,…是公差为2d的等差数列.
(2)数列a2,a4,a6,a8,…是什么数列
提示:数列a2,a4,a6,a8,…是公差为2d的等差数列.
(3)“等距”抽取数列{an}中的项,如数列a1,a5,a9,a13,…;a2,a6,a10,a14,…,它们分别是等差数列吗
提示:数列a1,a5,a9,a13,…是公差为4d的等差数列;a2,a6,a10,a14,…是公差为4d的等差数列.
2.填空:从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.
3.做一做:已知数列{an}是等差数列,公差d=2,则数列{a3n}的公差为 .
解析:因为数列{an}的公差d=2,所以数列{a3n}的公差d'=3×2=6.
答案:6
二、 等差数列通项公式的推广
【问题思考】
1.在等差数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系 能否用它们求公差 (其中n>m,m,n∈N*).
2.填空:
(1)等差数列通项公式的变形:
(2)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)可知,等差数列的图象是函数y=dx+(a1-d)图象上的一系列孤立的点,所以d= 的几何意义是(n,an),(m,am)两点连线的斜率为d.
3.做一做:若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差为( )
解析:∵a7-a2=5d,
∴5d=3,d= .
答案:A
三、通项公式中“下标和”的性质
【问题思考】
1.看下面三个等差数列:
①1,3,5,7,9,13,…;
②5,2,-1,-4,-7,-10,…;
③2,2,2,2,2,2,….
(1)你能计算出每个数列中a1+a5与a2+a4的值吗
提示:①a1+a5=10,a2+a4=10;
②a1+a5=-2,a2+a4=-2;
③a1+a5=4,a2+a4=4.
(2)各个等差数列中,a1+a5与a2+a4的值有怎样的数量关系 这种关系是巧合吗
提示:相等,不是巧合.
(3)如果换为a1+a4与a2+a3呢
提示:仍然相等.
2.填空:(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an= ap+aq .
(2)在等差数列{an}中,若m+n=2t,则am+an= 2at .
(3)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an= a2+an-1 = a3+an-2 =…=ai+1+an-i=….
3.做一做:已知数列{an}是等差数列,a2+a10=8,则a5+a7= .
解析:由等差数列的性质,得a5+a7=a2+a10=8.
答案:8
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)在等差数列{an}中,a10=a3+7d.( )
(2)若数列{an}为等差数列,则数列am,am+k,am+2k,am+3k,…也成等差数列.( )
(3)等差数列{an}去掉前几项后余下的项仍组成等差数列.( )
(4)在等差数列{an}中,等式a15=a7+a8 一定成立.( )
√
√
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
等差数列性质的应用
【例1】 (1)在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于( )
A.-9 B.-8
C.-7 D.-4
(2)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项的值为( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
解析:(1)∵{an}是等差数列,设其公差为d,
∴a6-a4=6=2d.∴d=3.
∵a1+d=-5,∴a1=-8.
(2)设cn=an+bn,则{cn}为等差数列,设其公差为d.
则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.
故d=c2-c1=0,cn=100(n∈N*).从而c37=100.
答案:(1)B (2)C
反思感悟 1.关于等差数列中性质的应用问题.若已知am,an,求ap,(1)可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap;(2)也可以利用等差数列通项公式的推广公式求解,即用d= 直接求解;(3)若m,n,p有一定规律,则可以构造新的等差数列求解.
【变式训练1】 (1)若等差数列{an}的公差为2,则数列{3an-2}的公差为
( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a19-b19=16,则a10-b10的值为( )
A.-6 B.6
C.0 D.11
解析:(1)∵数列{an}的公差为2,
∴数列{3an-2}的公差为3×2=6.
(2)∵{an},{bn}是等差数列,
∴{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a19-b19=16,且a10-b10是它们的等差中项,
∴a10-b10= (6+16)=11.
答案:(1)D (2)D
探究二
等差数列“下标和”性质的应用
【例2】 在公差为d的等差数列{an}中,
(1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.
解法一:(1)化成关于a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,
即4(a1+12d)=48.
可得4a13=48,解得a13=12.
(2)化成关于a1和d的方程组,
故d=3或-3.
解法二:(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48及a2+a24=a3+a23=2a13,
得4a13=48,故a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34及a3+a4=a2+a5,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.
反思感悟 1.正确认识等差数列的“下标和”性质:
(1)此性质是等差数列特有的性质;
(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,反之不成立;
(3)若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap;
(4)(2)中命题结论等式的两边各有两项,也可以推广到三项、四项……但等式两边和的项数必须相同.
2.利用等差数列的性质解题可以大大简化解题过程.
3.若{an}是公差为d的等差数列,则其具有的其他性质如下:
(1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;
(2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;
(3){an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列;
(4)am+n-an=am+k-ak=md(m,n,k∈N*);
(5)若下标成等差数列,则数列am,am+k,am+2k,am+3k,…成等差数列,公差为kd(m,k∈N*);
(6)若{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan±tbn}(k,t为非零常数)也为等差数列.
本例(2)中已知条件不变,添加条件“a4>a2”,求a5的值.
解:∵a2+a3+a4+a5=34,且a3+a4=a2+a5,
∴2(a2+a5)=34,∴a2+a5=17.
∵a4>a2,∴a4-a2=2d>0,
∴d>0,∴a5>a2,∴a5=13.
【变式训练2】 在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=( )
A.100 B.90
C.95 D.20
解析:在等差数列{an}中,
∵a2+a8=10,
∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5.
∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90.
答案:B
探究三
等差数列的实际应用
【例3】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息回答下列问题:
(1)求第2年养鸡场的个数及全县
出产鸡的总只数.
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比
第1年是扩大了还是缩小了 请说明理由.
(3)哪一年的养鸡业规模最大 请说明理由.
解:由题干图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列,记为数列{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为数列{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},则cn=anbn.
所以c2=a2b2=1.2×26=31.2.
即第2年养鸡场有26个,全县出产鸡的总只数为31.2万.
(2)因为c6=a6b6=2×10=20所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
(3)因为an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8,
bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),
所以cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).
因为cn对应的二次函数图象的对称轴为n= ,所以当n=2时,cn最大.
即第2年的养鸡业规模最大.
【变式训练3】 假设某市2014年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米.那么从哪一年年底开始,该市每年新建住房面积大于820万平方米
解:设从2013年年底开始,n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米.
由题意,得{an}是等差数列,首项a1=400,公差d=50.
则an=a1+(n-1)d=350+50n.
令350+50n>820,解得n> .
由于n∈N*,则n≥10.
即从2023年底开始,该市每年新建住房面积大于820万平方米.
【易错辨析】
等差数列性质使用不正确致错
【典例】 在等差数列{an}中,已知a3=2,a6=5,求a9.
错解:因为3+6=9,所以a9=a3+a6=2+5=7.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:性质am+an=ap+aq中必须是两项相加等于两项相加,并不是下标和相等即相等.
正解:a3,a6,a9构成一个新的等差数列,其中a3是第1项,a6是第2项,a9是第3项,故a9=8.
防范措施 使用性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”时,一定注意结论中等式两边的项数相同.
【变式训练】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
随堂练习
1.(多选题)在等差数列{an}中,下列关系式不成立的是( )
A.a1+a8=a3+a5 B.a2+a7=2a5
C.a1+a9=2a5 D.a2-a1=a8-a9
答案:ABD
2.在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=39,a4+a5+a6=27,则a1+a6的值为( )
A.22 B.66
C.44 D.132
解析:∵{an}为等差数列,
∴a1+a2+a3=3a2=39,∴a2=13.
∵a4+a5+a6=3a5=27,
∴a5=9,∴a1+a6=a2+a5=13+9=22.
答案:A
3.在等差数列{an},{bn}中,若a1+b1=3,a3+b3=7,则a5+b5= .
解析:∵{an},{bn}为等差数列,
∴{an+bn}为等差数列,
∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),
∴a5+b5=2×7-3=11.
答案:11
4.在等差数列{an}中,若公差d=2,a1+a3+a5=30,则a2+a4+a6= .
解析:根据数列{an}为等差数列,得a1+a3+a5=3a3=30,∴a3=10.
又d=2,∴a4=12.
∴a2+a4+a6=3a4=3×12=36.
答案:36
5.已知三个数成等差数列,其公差为d>0,三项之和为15,首末两项之积为9,求这三个数.
解:设这三个数为a-d,a,a+d.(d>0)
本 课 结 束(共35张PPT)
第1课时 等差数列的通项公式
第四章
4.2.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及运用.
3.掌握等差数列的判定方法.
4.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理能力与数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、等差数列的概念
【问题思考】
1.观察下面几组数列:
①0,5,10,15,20,25,…;
②9,6,3,0,-3,-6,…;
③2,2,2,2,2,2,….
(1)每个数列从第2项起,每一项与前一项的差分别是几
提示:从第2项起,每一项与前一项的差分别是5,-3,0.
(2)每个数列中,相邻两项的递推关系分别是什么
提示:分别是an+1-an=5,an+1-an=-3,an+1-an=0.
(3)这几个数列都有什么共同特点
提示:从第2项起,每一项与前一项的差都是同一个常数.
2.填空:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示.符号语言: an+1-an=d (d为常数,n∈N*).
二、等差中项
【问题思考】
1.如果三个数a,A,b成等差数列,那么它们之间有怎样的数量关系
提示:因为A-a=b-A,所以a+b=2A.
2.填空:(1)由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A= a+b .
3.做一做:方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为( )
A.1 B.6
C.-6 D.-3
解析:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-6,
答案:D
三、等差数列的通项公式
【问题思考】
1.已知等差数列1,3,5,7,…,你能归纳出它的通项公式吗 怎样表示
提示:能.an=2n-1.
2.在等差数列{an}中,能不能用a1与d表示an呢 怎样表示
提示:能.an-a1=(n-1)d,移项可得an=a1+(n-1)d.
3.填空:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d .
4.做一做:已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=( )
A.4-2n B.2n-4
C.6-2n D.2n-6
解析:an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=-2n+6.
答案:C
四、从函数角度认识等差数列{an}
【问题思考】
1.观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关
提示:等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)当x=n时的函数值,即an=f(n).
2.填空:若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d =nd+(a1-d).
(1)点(n,an)落在直线 y=dx+a1-d 上;
(2)这些点的横坐标每增加1,其函数值增加 d ;
(3)若d>0,则数列{an}是递增数列;若d<0,则数列{an}是递减数列;若d=0,则an=a1,数列{an}是常数列.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当公差d=0时,数列不是等差数列.( )
(2)若数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,则这个数列是等差数列.( )
(3)等差数列的定义用符号语言表示,即an=an-1+d.( )
(4)若一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4,则它一定是等差数列.
( )
×
×
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
等差数列的判断
【例1】 (1)若数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的递增等差数列
B.是公差为5的递增等差数列
C.是首项为7的递减等差数列
D.是公差为2的递减等差数列
解析:因为an-an-1=2n+5-[2(n-1)+5]=2>0(n≥2),所以数列{an}是公差为2的递增等差数列.故选A.
答案:A
(2)判断下列数列是不是等差数列,并给出证明.
①an=4-2n;
②an=n2+n.
解:①是等差数列.证明如下:
当n∈N*时,an+1-an=4-2(n+1)-(4-2n)=4-2n-2-4+2n=-2(常数),
故{an}是等差数列,且公差为-2.
②不是等差数列.证明如下:
因为a1=2,a2=6,a3=12,
所以a2-a1≠a3-a2,所以{an}不是等差数列.
反思感悟 1.给出了数列的通项公式,要判断是否为等差数列可以用定义法,也可以直接看通项公式是否为an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)的形式,若符合此形式,则为等差数列,否则不是.
2.定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列为等差数列,可用an+1-an=d(常数)(n∈N*)或它的等价命题,但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出反例.
【变式训练1】 (1)(多选题)下列通项公式所表示的数列中,是等差数列的是( )
A.an=2 B.an=8-3n
C.an=log37n D.an=n2-3n
解析:由等差数列的定义可知,A项中的数列是公差为0的等差数列;B项中的数列是公差为-3的等差数列;C项中的数列是公差为log37的等差数列;D项中的数列,由通项公式知,a1=-2,a2=-2,a3=0,而a2-a1≠a3-a2,所以该数列不是等差数列.
答案:ABC
(2)判断下列数列是不是等差数列.
①5,8,11,…,3n+2,…;
②1,1,1,1,…;
③-3,-2,-1,1,2,3,4,….
解:①根据等差数列的定义可知,该数列是首项为5,公差为3的等差数列.
②根据等差数列的定义可知,该数列是首项为1,公差为0的等差数列.
③由于1-(-1)≠2-1,故该数列不是等差数列.
探究二
等差数列的基本运算
【例2】 (1)已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a5=( )
A.1 B.2
C.3 D.6
解析:∵{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,设其公差为d,
∴a5=a1+4d=-10+12=2.
答案:B
(2)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
故这个等差数列的首项是-2,公差是3.
反思感悟 1.在等差数列{an}中,若已知am=a,an=b,一般列出关于a1,d的方
程组 求出a1,d,从而确定该数列的通项公式.
2.通项公式an=a1+(n-1)d中有四个量a1,d,n,an,求解过程中反映了“知三求一”的方程思想.
在本例(2)中将条件改为“a1=2,a5=10,an=32”,求n的值.
解:根据等差数列的通项公式a5=a1+4d,得10=2+4d,解得d=2.
故an=a1+(n-1)d,代入解得n=16.
【变式训练2】 在等差数列{an}中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1=( )
A.-3 B.-2
C.0 D.1
解析:设等差数列{an}的公差为d,
故a1=-3.
答案:A
探究三
等差中项及其应用
【例3】 (1)已知等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( )
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,
∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.
∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2,
∴an=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.
答案:B
(2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,且它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
解法一:设这三个数为a,b,c,且a故这三个数是4,6,8.
解法二:设这三个数为a-d,a,a+d,
由①得a=6.代入②,得d=±2.
因为该数列是递增的,所以d=-2舍去.故这三个数为4,6,8.
反思感悟 等差中项的应用策略
(1)求两个数x,y的等差中项A,即根据等差中项的定义,得A= .
(2)当三个数或四个数成等差数列,且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,a+3d.利用和为定值先求出其中某个未知量,再进一步解题.
(2)若lg a,lg b,lg c成等差数列,则 2lg b=lg a+lg c=lg ac,即b2=ac.
答案:(1)A (2)B
【易错辨析】
对等差数列的定义理解不透致错
【典例】 若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.
错解:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,
所以a1=10+lg 2,a2=10+2lg 2,a3=10+3lg 2,
所以a2-a1=lg 2,a3-a2=lg 2,
则a2-a1=a3-a2,故数列{an}为等差数列.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:a3-a2=a2-a1=常数,不能满足等差数列的定义中“从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数”的要求.
正解:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,
所以an+1=10+(n+1)lg 2.
所以an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).
所以数列{an}为等差数列.
防范措施 定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列{an}为等差数列,即证对任意n∈N*,都有an+1-an=d (常数).
【变式训练】 已知数列{an}的通项公式an=4n-1,n∈N*.
(1)求log2a2,log2a3;
(2)求证:数列{log2an}是等差数列.
(1)解:log2a2=log24=2,
log2a3=log216=4.
(2)证明:∵log2an=log24n-1=(n-1)log24=2n-2,
∴log2an+1=2(n+1)-2=2n.
∴log2an+1-log2an=2n-(2n-2)=2.
又log2a1=log240=0,
∴数列{log2an}是首项为0,公差为2的等差数列.
随堂练习
1.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,则a2 020等于( )
A.2 019 B.2 020
C.2 038 D.2 040
解析:由an+1-an=1,知{an}为等差数列且d=1.
∵a1=1,∴an=a1+(n-1)d=n,∴a2 020=2 020.
答案:B
2.在等差数列{an}中,a2+a3=1+a4,a5=9,则a8=( )
A.14 B.15
C.16 D.17
解析:设等差数列{an}的公差为d,
∵a2+a3=1+a4,a5=9,
∴2a1+3d=1+a1+3d,a1+4d=9.
联立解得a1=1,d=2.
∴a8=1+7×2=15.
答案:B
3.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m与n的等差中项是 .
解析:由m和2n的等差中项为4,则m+2n=8,
又由2m和n的等差中项为5,则2m+n=10.
两式相加,得m+n=6.
答案:3
4.(1)若{an}为等差数列,a8=36,a12=56,求a80;
(2)若{an}为等差数列,a2=12,an=-20,d=-2,求n.
解:(1)设an=a1+(n-1)d.
∴an=a1+(n-1)×5=5n-4,
∴a80=5×80-4=396.
(2)∵a1=a2-d=12+2=14,
∴an=14+(n-1)×(-2)=-20,∴n=18.
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