(共36张PPT)
第1课时 等差数列的前n项和
第四章
4.2.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.
3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.
4.培养逻辑推理能力,提升数学建模和数学运算素养的能力.
自主预习 新知导学
等差数列的前n项和公式
【问题思考】
1.如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.
这堆钢管共有几层 图形的横截面是什么形状 这堆钢管共有多少根
提示:这堆钢管共有6层,图形的横截面是等腰梯形.
在这堆钢管的旁边再倒放上同样的一堆钢管,如图所示.
则这样共有钢管(4+9)×6=78(根),
2.请同学们交流一下,怎样求1+2+3+…+100的结果
提示:对于这个问题,把加数倒序写一遍,S=100+99+98+…+2+1.
则有2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,
故S=50×101=5 050.
3.你能用上述计算方法求1+2+3+…+n的值吗
提示:设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,①
又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,②
4.我们把上述这种计算方法称为倒序求和法.你能用这种方法推得等差数列{an}的前n项和Sn吗
提示:∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
5.问题4中求出的Sn是已知等差数列的首项、末项与项数时求前n项和Sn的公式,如果用an=a1+(n-1)d替换末项,那么问题4中求出的Sn会变形为怎样的形式呢
提示:Sn=na1+ n(n-1)d.
6.填空:等差数列的前n项和公式
7.做一做:已知数列{an}为等差数列,首项a1=2,公差d=2,则其前n项和Sn= .
∴Sn=2n+n(n-1)=n2+n.
答案:n2+n
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法.( )
(2)在等差数列中涉及a1,d,n,an,Sn五个量,利用方程思想可以“知三求二”.
( )
(3)在等差数列{an}中,若a1=3,d=2,则S10=120.( )
(4)若已知数列{an}的首项a1及末项an,用公式Sn= 可以求前n项和.( )
√
√
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
等差数列前n项和的计算
【例1】 根据下列条件求等差数列的前n项和.
(1)a1=1,a10=21,n=10;
(2)a1=100,d=-2,n=50;
(3)a1=2,an=32,d=2.
【变式训练1】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=3,a6=8,则S10的值为( )
A.65 B.62
C.59 D.56
(2)在等差数列{an}中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则{an}的前12项的和为( )
A.6 B.18
C.-18 D.-6
解析:(1)因为a6=a1+5×3=8,所以a1=-7,
(2)因为在等差数列{an}中,a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,所以a6+a7=-3,
答案:(1)A (2)C
探究二
与Sn有关的基本量的计算
【例2】 已知数列{an}是等差数列,
(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d;
(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;
(3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.
(2)(方法一)设数列{an}的公差为d,
所以a10=a1+9d=29.
(方法二)设数列{an}的公差为d,由S5=5a3=40,得a3=8.
所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19,
得d=3.
所以a10=a3+7d=8+3×7=29.
解得n=6或n=7.
反思感悟 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意整体代换思想的运用,以便简化计算.
例2(3)改为“在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,求S6”.
解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
【变式训练2】 已知等差数列{an}中,
(2)若S12=84,S20=460,求an;
(3)若S5=24,求a2+a4.
(2)(方法一)设数列{an}的公差为d,
故an=a1+(n-1)d=-15+4(n-1)=4n-19.
(方法二)设Sn=an2+bn,∵S12=84,S20=460,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-17n-2(n-1)2+17(n-1)=4n-19,
又当n=1时,S1=a1=2-17=-15=4×1-19,
∴an=4n-19.
(3)(方法一)设等差数列的首项为a1,公差为d,则
探究三
等差数列前n项和公式的应用
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104,
由n=1也适合上式,
得数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*).
当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|
=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)
=2S34-Sn
反思感悟 求数列{|an|}的前n项和需注意以下问题
(1)给出数列{an},要求数列{|an|}的前n项和,关键是分清n取什么值时an≥0或an<0.
(2)当{an}的各项都为非负数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和;当{an}的各项都为非正数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和的相反数;当{an}的某些项为正,某些项为负时,要对n进行分类讨论,转化为{an}的前n项和求解,其结果用分段函数表示.
【变式训练3】 在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
故an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63.
令an<0,即3n-63<0,n<21,得等差数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项是非负数.设Sn和S'n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和.
【易错辨析】
忽略Sn与an的关系致错
【典例】 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1,试判断{an}是否为等差数列,为什么
错解:an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n.
又an-an-1=2n-2(n-1)=2,
即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数,
所以{an}是等差数列.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:用公式an=Sn-Sn-1时,要求n≥2,忽视了这一条件而不去验证n=1的情况从而导致判断错误.
正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n;
当n=1时,a1=S1=1,不符合上式.
∴数列{an}不是等差数列.
防范措施 已知数列的前n项和Sn求数列的通项公式时,需分类讨论,即分n=1与n≥2两种情况;当n=1满足an的式子时,才能用同一个式子来表达,否则必须分段表示.
【变式训练】 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足
Sn= (an+1)2,求{an}的通项公式.
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
由an+an-1≠0,知an-an-1=2.
则{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列,
故an=2n-1.
随堂练习
1.在等差数列{an}中,已知a1=3,d=2,则S10等于( )
A.120 B.240
C.180 D.280
答案:A
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35
C.49 D.63
解析:∵a2+a6=a1+a7=14,
答案:C
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=12,则S9= .
解析:由等差数列的性质可得a1+a9=2a5.
答案:108
4.已知{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9,求此数列前10项的和.
解:设数列{an}的公差为d.
∵a1+a3+a5=3a3=9,
本 课 结 束第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
课后训练巩固提升
1.已知数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,则( )
A.当d<0时,Sn一定存在最大值
B.当d>0时,Sn一定存在最大值
C.当Sn存在最大值时,d<0
D.当Sn存在最大值时,d>0
答案:A
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为( )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
解析:由
则故|a6|>|a7|.
答案:C
3.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且满足,则=( )
A. B.
C.1 D.
解析:∵等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且满足,
∴.
答案:D
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= .
解析:∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,
∴S9-S6=5.
答案:5
5.已知等差数列{an}共有21项,奇数项之和为33,则S21= .
解析:∵,且S奇=33,
∴S偶=30,∴S21=S奇+S偶=33+30=63.
答案:63
6.在等差数列{an}中,a1+a4+a7+…+a97=10,a2+a5+a8+…+a98=20,则a3+a6+a9+…+a99= .
解析:设数列{an}的公差为d.
∵在等差数列{an}中,a1+a4+a7+…+a97=10,
a2+a5+a8+…+a98=20,
∴解得33d=10,
∴a3+a6+a9+…+a99=33d+a2+a5+a8+…+a98=30.
答案:30
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知,且a6a7<0,则Sn取最大值时n的值是 .
解析:∵,S11==11a6,S13=13a7,
∴,即a6>a7.
又a6a7<0,∴a6>0,a7<0,∴等差数列{an}为递减数列.则Sn取最大值时n的值为6.
答案:6
8.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值及此时的n值.
解:(1)依题意,S3=3a2=-15 a2=-5.
因为a1=-7,所以公差d=-5-(-7)=2,
所以an=a1+(n-1)d=-7+(n-1)×2=2n-9.
(2)由(1)知,d=2,所以Sn=na1+×2=n2-8n,所以当n=-=4时,Sn取得最小值S4=-16.
9.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 min走2 m,以后每分钟比前1 min多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1 min多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇
解:(1)设甲、乙运动开始n min后第一次相遇,
依题意,有2n++5n=70,
整理,得n2+13n-140=0,
解得n=7或n=-20(舍去).
故甲、乙开始运动7 min后第一次相遇.
(2)设m min后第二次相遇,依题意有2m++5m=3×70,
整理得m2+13m-6×70=0.
解得m=15或m=-28(舍去).
故开始运动15 min后第二次相遇.
10.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,S3=12.
(1)求a24与S7的值;
(2)已知m,n均为正整数,满足am=Sn,试求所有n的值构成的集合.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则S3=3×1+d=12,解得d=3.
故a24=1+23×3=70,S7=7×1+×3=70.
(2)由(1)知,am=1+(m-1)×3=3m-2,
Sn=n×1+×3=.
∵am=Sn,∴3m-2=,
∴m=.
∵m,n均为正整数,又为正整数,
∴只需为整数,且即可.
即n-1=3k(k∈N),
∴n=3k+1,k∈N,
∴所有n的值构成的集合为{n|n=3k+1,k∈N}.(共40张PPT)
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
第四章
4.2.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握等差数列前n项和的性质及应用.
2.会求等差数列前n项和的最值.
3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题.
4.提高数学运算和数据分析的能力素养.
自主预习 新知导学
一、等差数列前n项和的性质
【问题思考】
1.已知等差数列{an},其前n项和为Sn.
(1)a1+a2,a3+a4,a5+a6有什么大小关系
提示:∵a3+a4=(a1+a2)+4d,a5+a6=(a3+a4)+4d,
∴(a5+a6)-(a3+a4)=(a3+a4)-(a1+a2)=4d,
即a1+a2,a3+a4,a5+a6构成等差数列.
(2)我们知道,a1+a2=S2,a3+a4=S4-S2,a5+a6=S6-S4,则上述关系可以描述为一个怎样的结论
提示:如果{an}是等差数列,那么S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列.
(3)这种结论可以推广吗
提示:可以推广.
2.填空:在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则
(1){an}中连续的n项和构成的数列Sn, S2n-Sn ,S3n-S2n, S4n-S3n ,…构成等差数列,公差为 n2d ;
(2)若等差数列{an}有2n项,则S2n= n(a1+a2n) =n(an+an+1)(注:an,an+1为中间两项);
3.做一做:(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
(2)在等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则S6= .
解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,
∴S6=15.
答案:(1)C (2)15
提示:由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质,
三、等差数列前n项和Sn的最值
【问题思考】
1.你能把等差数列的前n项和公式写成Sn关于n的二次函数的形式吗
2.这个函数式有何特点
提示:该函数式表示的图象可以看作是二次项系数为 ,过原点的抛物线上的一些点.
3.填空:在等差数列{an}中,
(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.
4.做一做:已知数列{an}的前n项和Sn=n2-48n,则Sn的最小值为 .
解析:Sn=n2-48n=(n-24)2-576.
∵n∈N*,
∴当n=24时,Sn有最小值-576.
答案:-576
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列 也是等差数列.( )
(2)若a1>0,d<0,则等差数列中所有的非负项之和最大.( )
(3)在等差数列{an}中,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.( )
√
√
√
合作探究 释疑解惑
探究一
等差数列前n项和的性质
【例1】 (1)已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,且前n项和为200,则n等于( )
A.9 B.10
C.11 D.12
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S15=( )
A.80 B.90
C.100 D.110
(3)若一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差d= .
解析:(1)依题意,a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,
所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,
所以a1+an=40,
(2)在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即10,30,S15-40成等差数列,S15-40=50,故S15=90.
(3)(方法一)设等差数列的首项为a1,公差为d,
答案:(1)B (2)B (3)5
反思感悟 巧妙应用等差数列的前n项和Sn的性质
(2)在等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).
(3)在等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
(4)在等差数列{an}中,公差为d,前k项的和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S(m-1)k,…构成公差为k2d的等差数列.
【变式训练1】 (1)在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为 .
(2)在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则S12= ,a17+a18+a19+a20= .
(3)有一个共有100项的等差数列,其奇数项之和与偶数项之和分别为100和200,则公差d= .
解析:(1)∵等差数列{an}有2n+1项,S奇-S偶=an,
∴an=15.
又S2n+1=(2n+1)an,∴165+150=(2n+1)×15,
∴n=10.
(2)由等差数列的性质,知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3= S12-S8=5,b4=7,b5=9,即S12=1+3+5=9,a17+a18+a19+a20=b5=9.
(3)(方法一)∵S偶-S奇=50d=100,∴d=2.
(方法二)设等差数列{an}的公差为d,则奇数项、偶数项分别构成等差数列,公差为2d.
答案:(1)10 (2)9 9 (3)2
探究二
求等差数列前n项和的最值
【例2】 在等差数列{an}中,若Sn为其前n项和,且a1=25,S17=S9,则数列{an}的前多少项和最大
解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.
∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.
∵a1=25>0,
∴当n≤13时,an>0,当n≥14时,an<0.
∴S13最大.
解法四:由解法一得d=-2.
∴当n=13时,Sn有最大值.
反思感悟 1.求等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形:
(1)若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和;
(2)若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和.
2.求等差数列前n项和Sn最值的方法:
(2)运用二次函数图象的对称性求最值.
若把条件变为:“a1<0,S9=S12”,该数列前多少项之和最小
解法一:设等差数列{an}的公差为d,
∵d>0,∴Sn有最小值.
又n∈N*,∴当n=10或n=11时,Sn取得最小值.
解法二:a1=-10d(过程同解法一).
得10≤n≤11,故n取10或11时,Sn取最小值.
【变式训练2】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a8=82,S41=S9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最大值.
解:(1)∵a2+a8=82=2a5,∴a5=41.
∵S41=S9,∴41a21=9a5,
故an=a5+(n-5)d=41-2(n-5)=51-2n.
(2)由(1),得Sn=-n2+50n=-(n-25)2+625.
由二次函数的性质,当n=25时,Sn有最大值625.
探究三
利用等差数列的前n项和解决实际问题
【例3】 某长江抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一个堤坝作为一道防线.经计算,除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外,还需用20台同型号的翻斗车,平均每辆车要工作24 h才能完成任务.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从附近高速公路上抽调,每隔20 min能有一辆车到达,且指挥部最多还可调集24辆车,那么在24 h内能否构筑成这道防线
分析:这25辆车分别工作的时间按一定顺序排起来,组成一个等差数列,计算出这25辆车可以工作的时间,即这个等差数列的前25项和,如果大于或等于总共需要工作的时间,那么就能构筑成这道防线,否则不能.
总共需要工作的时间为24×20=480(h).
因为500 h>480 h,所以,在24 h内能构筑成这道防线.
反思感悟 有关数列的应用问题,应先通过对实际问题相关数据的研究建立关于数列的数学模型,再求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:
(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征
(2)是求数列{an}的通项还是求其前n项和
(3)列出等式(或方程)求解.
(4)怎样求解
(5)答案是怎样的
【变式训练3】 一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.
(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,那么这支车队所有车辆当天一共行驶了多少千米
解:由题意,知第1辆车休息时行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.
(1)因为a15=-10×15+250=100,所以到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.
(2)因为这支车队所有车辆行驶的总时间为
【易错辨析】
不能正确应用等差数列的前n项和公式致错
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:不能正确应用等差中项的结论转化出2a7=a1+a13致错,或者没有注意到等差数列的前n项和是关于n的二次式而出现错误.
所以设Sn=(3n-1)kn,Tn=(n+7)kn,k≠0,
所以a7=S7-S6=38k,b7=T7-T6=20k,
防范措施 等差数列的前n项和Sn为关于n的二次函数.对于此类问题有如下结论: (m∈N*),如本例的方法一就应用了等差数列的项与前n项和的这一关系进行求解.
【变式训练】 有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若
随堂练习
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40=( )
A.110 B.150
C.210 D.280
解析:等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=10,S20=60,则S20-S10=50.
由等差数列的性质,得10,50,S30-S20,S40-S30仍然是等差数列,公差为40,
故S30-S20=90,S40-S30=130,则S30=150,S40=280.
答案:D
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则m等于( )
A.10 B.20
C.38 D.9
解析:∵{an}为等差数列,∴am-1+am+1=2am,
得am=0(舍)或am=2.
又S2m-1=(2m-1)am=38,
∴m=10.
答案:A
4.某班20名同学植树节那天在一段直线公路的一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为
m.
解析:假设20名同学是1号到20号依次排列,若使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,
答案:2 000
5.在等差数列{an}中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a3+a6+a9+…+a3n.
解:(1)因为{an}是等差数列,a1+a3=12,a2+a4=18,
本 课 结 束4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和
课后训练巩固提升
A组
1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和S9等于( )
A.66 B.99
C.144 D.297
解析:∵a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,
∴3a4=39,3a6=27,∴a4=13,a6=9,
∴S9==99.
答案:B
2.设{an}为等差数列,其前n项和为Sn.若2a8=6+a11,则S9=( )
A.54 B.40
C.96 D.80
解析:由等差数列的性质,得2a8=6+a11=a11+a5,
解得a5=6.
则S9==9a5=54.
答案:A
3.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=,则数列{bn}的前5项和等于( )
A.30 B.45
C.90 D.186
解析:由等差数列{an},易得公差d1=3.
因为bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.
答案:C
4.(多选题)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+3a2=S6,则下列四个选项中正确的有( )
A.a7=0 B.S13=0
C.S7最小 D.S5=S8
解析:根据题意,设等差数列{an}的公差为d,
对于A,若a1+3a2=S6,则4a1+3d=6a1+d,变形可得a1+6d=0,即a7=0,故A正确;
对于B,S13==13a7=0,B正确;
对于C,S7==7a4,可能大于0,也可能小于0,因此C不正确;
对于D,S5-S8=-=-3a1-18d=-3a7=0,D正确.
答案:ABD
5.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-3,则|a1|+|a2|+…+|a5|=( )
A.13 B.8
C.5 D.20
解析:∵数列{an}满足an+1-an=2,a1=-3,
∴{an}是首项为-3,公差为2的等差数列,
∴an=-3+(n-1)×2=2n-5,
∴|a1|+|a2|+…+|a5|=-a1-a2+a3+a4+a5=-(-3)-(-1)+1+3+5=13.
答案:A
6.在等差数列{an}中,若a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n= .
解析:设等差数列{an}的公差为d,则a3+a5=2a1+6d=2+6d=14,解得d=2.
则Sn=n+×2=n2.
由题意知Sn=100,即n2=100.
解得n=10或n=-10(舍).
答案:10
7.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a11= ,a1= .
解析:∵S11=S10+a11,又S10=S11,∴a11=0.
由a11=a1+10d,且d=-2,解得a1=20.
答案:0 20
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若首项a1=-3,公差d=2,Sk=5,则正整数k= .
解析:依题意得k×(-3)+×2=5,
即k2-4k-5=0.
解得k=5或k=-1(舍).
故k=5.
答案:5
9.已知等差数列{an},解答下列问题:
(1)若a1=5,a10=95,求S10;
(2)若a1=20,an=54,Sn=999,求n,d;
(3)若d=2,S100=10 000,求a1与an.
解:(1)S10==500.
(2)∵Sn==999,
∴n=27,d=.
(3)∵S100=100a1+×2=10 000,∴a1=1,
∴an=a1+(n-1)·d=2n-1.
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+S3=20,S5=50.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)请确定3 998是不是数列{an}中的项.
解:(1)设数列{an}的公差为d.
由题意有解得a1=2,d=4,
则数列{an}的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2.
(2)假设3 998是数列{an}中的项,有4n-2=3 998,得n=1 000,
故3 998是数列{an}中的第1 000项.
B组
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=a3,且a3≠0,则=( )
A.1 B.
C. D.3
解析:设等差数列{an}的公差为d,
∵S3=a3,且a3≠0,
∴3a1+3d=a1+2d,整理得-2a1=d≠0.
∴.
答案:C
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=11,S2m-1=121,则m的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,am=11,S2m-1=121,
∴S2m-1=(a1+a2m-1)=(2m-1)(am+am)=11×(2m-1)=121,解得m=6.
答案:D
3.(多选题)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则( )
A.an=-
B.an=
C.数列为等差数列
D.+…+=-5 050
解析:Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn+1-Sn=SnSn+1,
整理得=-1(常数),所以数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列.
故C正确;
所以=-1-(n-1)=-n,故Sn=-.
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(首项不符合通项),故an=故B正确;A不正确;
所以+…+=-(1+2+3+…+100)=-5 050,故D正确.
答案:BCD
4.如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则a2+a3+a4+…+an等于( )
……
A. B.
C. D.
解析:由题中图案的点数可知a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,所以an=3n-3,n≥2,
所以a2+a3+a4+…+an=.
答案:C
5.《算法统宗》是中国古代的数学名著,在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问小儿多少岁.则这位老公公年龄最小的儿子的年龄为( )
A.8岁 B.11岁
C.20岁 D.35岁
解析:这位老公公9个儿子的年龄从小到大成等差数列,设年龄最小的儿子的年龄为a1岁,则公差为d=3,由题意,S9=9a1+d=9a1+36×3=207,解得a1=11.
答案:B
6.在等差数列{an}中,a1>0,d=,an=3,Sn=,则a1= ,n= .
解析:由得n2-13n+30=0,解得n=3或n=10.
当n=3时,a1=2>0;
当n=10时,a1=-<0,不合题意,舍去,
故a1=2,n=3.
答案:2 3
7.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项公式an= .
解析:∵an+1=an+n+1,
∴an+1-an=n+1.
a2-a1=2,
a3-a2=3,
……
an-an-1=n(n≥2),
∴an=+2=(n≥2).
又当n=1时,a1=2适合上式,
∴an=.
答案:
8.在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=2,a2+a3+a4=5,则a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2 019-a2 020= .
解析:设等差数列{an}的公差为d,
∵a1+a2+a3=2,a2+a3+a4=5,
∴3d=5-2,3a1+3d=2,解得d=1,a1=-,
∴an=-+n-1=.
∴a2n-1-a2n=-1.
则a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2 019-a2 020=-1 010.
答案:-1 010
9.已知等差数列{an}的前n项和Sn=4n2-25n.求数列{|an|}的前n项和Tn.
解:当n=1时,a1=S1=4-25=-21;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4n2-25n)-[4(n-1)2-25(n-1)]=8n-29.
当n=1时,a1=-21=8×1-29,也符合8n-29的形式,故数列{an}的通项公式为an=8n-29.
令an=8n-29≥0,又n∈N*,解得n≥4.
当n≤3时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=25n-4n2;
当n≥4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+an=-S3+Sn-S3=4n2-25n+78,故Tn=
