(共37张PPT)
第1课时 等比数列
第四章
4.3.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解等比数列的定义,会用定义判断一个数列为等比数列.
2.掌握等比数列的通项公式,并能灵活运用公式进行相关计算.
3.掌握等比中项的定义并能解决相应问题.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数学建模素养.
自主预习 新知导学
一、等比数列的定义
【问题思考】
1.观察下面几个数列:
(1)上面几组数列是等差数列吗 为什么
提示:都不是等差数列,因为不符合等差数列的定义.
(2)研究每个数列中相邻两项的关系,你会发现有怎样的共同特点
提示:从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个非零常数.
2.填空:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示.
3.做一做:已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是
( )
A.a≠0
B.a≠1
C.a≠0或a≠1
D.a≠0,且a≠1
解析:由等比数列的定义知a≠0,且a≠1.
答案:D
二、等比中项
【问题思考】
1.如果2,a,4成等差数列,那么如何求a
2.如果2,a,4成等比数列,那么如何求a 答案唯一吗
3.填空:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2= a·b .
4.做一做:已知1,a,4成等比数列,则a=( )
A.2 B.-2
C.±2 D.16
解析:由已知a2=4,得a=±2.
答案:C
三、等比数列的通项公式
【问题思考】
1.你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗
2.根据本页左边【问题思考】 1中的式子,你能归纳出等比数列的通项公式吗
提示:由a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……可猜测an=a1qn-1.
3.填空:等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则
(2)通项公式:an= a1qn-1 .
5.做一做:已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=-2,则an=( )
A.-6 B.-3×2n-1
C.-2×3n-1 D.3×(-2)n-1
解析:由等比数列的通项公式an=a1qn-1,得an=3×(-2)n-1.
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)常数列一定是等比数列.( )
(2)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列.( )
(3)等比数列中的项可以为零.( )
(4)若a,b,c三个数满足b2=ac,则a,b,c一定能构成等比数列.( )
×
√
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列的判定
【例1】 (1)下列数列为等比数列的是( )
A.2,22,222,…
C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…
D.0,0,0,…
比数列;C项中,当s=1时,数列为0,0,0,…,故不一定是等比数列;D项显然不是等比数列.
答案:B
(2)如果数列{an}的前n项和Sn满足对任意n∈N*,都有Sn= an-3.求证:{an}是等比数列.
反思感悟 判断一个数列{an}是等比数列的方法:
(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
若将已知条件改为“Sn=2n+a”,试判断{an}是不是等比数列.
解:an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).
故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;当a≠-1时,数列{an}不是等比数列.
【变式训练1】 已知数列{an}满足lg an=3n+5,求证:{an}是等比数列.
证明:∵lg an=3n+5,∴an=103n+5.
∴an+1=103(n+1)+5=103n+8.
∴数列{an}是等比数列.
探究二
等比数列的通项公式及运算
【例2】 在等比数列{an}中,
(1)若a1=3,q=-3,求an;
(4)若a5-a1=15,a4-a2=6,求an.
解:(1)∵a1=3,q=-3,{an}为等比数列,
∴an=a1·qn-1=3·(-3)n-1=-(-3)n.
反思感悟 1.等比数列的通项公式中,a1和q是两个基本量,只要求出这两个基本量,其余的量便可以得出.
2.等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组)来解决.
【变式训练2】 在等比数列{an}中,
(1)若a2=4,a5=- ,求an;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
由a1q+a1q4=18,得a1=32,
由an=a1qn-1=1,知n=6.
探究三
灵活设项求解等比数列
【例3】 有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数.
所以这四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.
所以所求的四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设成 ,a,aq或a,aq,aq2.
在例3中,将条件“第一个数与第四个数的和为16”改为“前三个数的和为48”,将“第二个数与第三个数的和为12”改为“后三个数的积为8 000”,其他条件不变,求这四个数.
解:设前三个数分别为a-d,a,a+d,
则有(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.
【变式训练3】 已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.
解法一:设这三个数依次为a,aq,aq2,
【易错辨析】
忽视等比数列中项的符号致错
【典例】 在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,则a7= .
错解:∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,
∴a5·a9=1.
又a7是a5,a9的等比中项,
答案:±1
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:等比数列中所有奇数项符号相同,由题意知a5+a9= ,a5·a9=1,
故a5>0,a9>0,可知a7>0.而错解中未判断a7的正负,所以得出错误结果.
正解:∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,
答案:1
防范措施 在解等比数列的问题时,一定要特别注意符号,等比数列中的项可以同正、同负,还可以正负交错,但是所有奇数项(或偶数项)的符号是相同的.
【变式训练】 如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= ,ac= .
解析:由题意,a2=-b,b2=9,ac=b2=9,又b<0,故b=-3.
答案:-3 9
随堂练习
1.在等比数列{an}中,a2= ,a6=8,则a4=( )
A.4 B.2
C.±4 D.±2
答案:B
2.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( )
A.4 B.8 C.6 D.32
解析:由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.
答案:C
3.若b既是a和c的等差中项,又是a和c的等比中项,则数列a,b,c的公比为 .
解析:由条件可知2b=a+c,且b2=ac,
∴a=c=b,
∴a,b,c的公比为1.
答案:1
解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,
又因为b是正数,所以b=1.
答案:1
5.在等比数列{an}中,a3=6,a4=18,求a1+a2.
解:设{an}的公比为q.
本 课 结 束(共29张PPT)
第2课时 等比数列的性质及应用
第四章
4.3.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握等比数列的性质及其应用.
2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.
3.培养逻辑推理能力和数学建模的能力,加强数据分析的素养.
自主预习 新知导学
一、“子数列”的性质
【问题思考】
1.取出等比数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗 如果是,它的首项与公比分别是多少
提示:是.首项为a1,公比为q2.
2.填空:对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为 ak+1 ,公比为 q ;若取出所有的k的倍数项,组成的数列为等比数列,首项为 ak ,公比为 qk .
二、“下标和”性质
【问题思考】
1.给出以下两个等比数列{an}:
①1,2,4,8,…;
②1,-3,9,-27,….
(1)在上述每一个数列中,请你计算a2·a6与a3·a5的值,看它们有什么关系.若计算a1·a5与a2·a4呢
提示:a2·a6=a3·a5;a1·a5=a2·a4.
(2)在上述每一个数列中,a2·a6,a3·a5的值与a4的值有什么关系 a1·a5,a2·a4与a3的值呢
2.填空:在公比为q的等比数列{an}中:
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),
则 aman = apaq .
(2)若m+n=2p(m,n,p∈N*),
3.做一做:(1) 已知在等比数列{an}中,若a1a9=9,则a4a6=( )
A.3 B.±3
C.9 D.±9
(2)在等比数列{an}中,若a4=4,则a2·a6等于( )
A.4 B.8
C.16 D.32
解析:(2)∵{an}是等比数列,
∴a2a6= =42=16.
答案:(1)C (2)C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)在等比数列{an}中,若a1<0,q>0,则数列的各项均为负数.( )
(2)在等比数列{an}中,若am·an=ap·aq,则m+n=p+q.( )
(3)在公比为q的等比数列{an}中,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am·an= .( )
(4)若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}(a>0,且a≠1)为等差数列.( )
√
×
√
√
合作探究 释疑解惑
探究一
等比数列性质的应用
【例1】 (1)在等比数列{an}中,若a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8等于( )
A.110 B.160
C.360 D.2 160
(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若 是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是( )
解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,
∵a1+a2=10,a3+a4=60,
∴q2(a1+a2)=10q2=60,解得q2=6.
则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2 160.
反思感悟 等比数列的常用性质
(1)设{an}为等比数列,m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq.若m+n=2p,
(5)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
【变式训练1】 (1)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则q= ,a8+a9+a10= .
(2)在等比数列{an}中,若a2,a9是方程3x2-2x-6=0的两根,则a4·a7= .
解析:(1)∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,
∴q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.
则a8+a9+a10=q7(a1+a2+a3)=27×1=128.
(2)在等比数列{an}中,若a2,a9是方程3x2-2x-6=0的两根,
答案:(1)2 128 (2)-2
探究二
等比数列的实际应用
【例2】 某工厂2020年1月的生产总值为a万元,计划从2020年2月起,每月的生产总值比上一个月增长m%,那么到2021年8月底该厂的月生产总值为多少万元
分析:(1)该问题可以转化为等比数列模型吗 (2)a1,q分别是多少 要求哪一个量
解:设从2020年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,
则数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列.
得an=a(1+m%)n-1.
故到2021年8月底该厂的月生产总值为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19万元.
反思感悟 利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型,本例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列,2021年8月底的月生产总值是该数列中的第20项,这一点容易被搞错.
【变式训练2】 某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加的台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产了多少台电脑
解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑的台数分别为x-d, x,x+d(d>0),则实际上3个月生产电脑的台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
解得x=90,d=10.
故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),即该厂第一季度实际生产了305台电脑.
探究三
等差数列、等比数列的综合应用
【例3】 已知{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,a1=16, 2a3+3a2=32.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=3log2an,求数列{bn}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.
解:(1)设{an}的公比为q,因为a1=16,2a3+3a2=32,所以2q2+3q-2=0.
(2)由(1)得bn=3(5-n)log22=15-3n.
当n≥2时,bn-bn-1=-3,故{bn}是首项为b1=12,公差为-3的递减的等差数列.
又b5=0,所以数列{bn}的前4项为正数,所以当n=4或5时,Sn取得最大值,且最大值为S4=S5=30.
反思感悟 解决等差数列、等比数列综合问题,一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系,利用两种数列的性质求解.
【变式训练3】 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得 =a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).
于是d(2a1+25d)=0.
因为a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
【思想方法】
方程思想在等比数列中的应用
【典例】 已知等比数列{an}是递增数列,若a5-a1=60,a4-a2=24,求公比q.
分析:用a1,q分别表示a2,a4,a5,解方程组求出q,注意所求值是否需要舍去.
【变式训练】 已知正数等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,求an.
随堂练习
解析:∵{an}为等比数列,
答案:C
2.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比等于( )
A.1 B.-1
C.-2 D.2
解析:设等比数列{an}的公比为q.
∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,
∴4×3q=4×3+3q2,即q2-4q+4=0,解得q=2.
答案:D
3.设数列{an}是首项为1,公差不为零的等差数列,Sn是其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则数列{an}的公差为 .
解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
答案:2
4.在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于 .
答案:64
5.已知等比数列{an}中,若4a7=a3·a11,数列{bn}为等差数列,且b7=a7,求b6+b8的值.
解:在等比数列{an}中,4a7=a3·a11= ,
∴a7=4.
∵b7=a7=4,
∴b6+b8=2b7=2×4=8.
本 课 结 束第2课时 等比数列的性质及应用
课后训练巩固提升
A组
1.已知数列{an}为一个等比数列,首项为a1,公比为q,且数列{an}为递减数列,则有( )
A.|q|<1
B.a1>0,q<1
C.a1>0,q<1或a1<0,q<1
D.以上都不对
答案:D
2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )
A.7 B.5
C.-5 D.-7
解析:设数列{an}的公比为q,
由
所以
所以所以a1+a10=-7.
答案:D
3.已知正项等比数列{an}中,a2·a3=a4,若S3=31,则an=( )
A.2·5n B.2·5n-1
C.5n D.5n-1
解析:∵a2·a3=a4,
∴a1q·a1q2=a1q3,即=a1≠0,解得a1=1.
∵S3=a1+a2+a3=31,即1+q+q2=31,解得q=5,∴an=5n-1.
答案:D
4.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成( )
A.511个 B.512个
C.1 023个 D.1 024个
解析:因为每20分钟分裂一次,所以经过3小时要分裂9次,即29=512(个).
答案:B
5.已知等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15=( )
A.±2 B.±4
C.2 D.4
解析:∵T13=4T9,∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13=4.
又a10·a13=a11·a12=a8·a15,
∴(a8·a15)2=4,∴a8a15=±2.
∵{an}为递减数列,∴q>0,∴a8a15=2.
答案:C
6.在等比数列{an}中,若a15=10,a45=90,则a30= .
解析:由等比数列的性质,可知a15,a30,a45成等比数列,
故=a15·a45=10×90=900,a30=±30.
答案:30或-30
7.设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3=-,且a2,a4,a3成等差数列,则公比q= ,数列{an}的前4项的和为 .
解析:在公比不为1的等比数列{an}中,由a1a2a3=-,得=-,∴a2=-.
∵a2,a4,a3成等差数列,∴2a4=a2+a3,
即2a2q2=a2+a2q,∴2q2-q-1=0,解得q=-(q≠1).
∴a1==1.
则S4=1-.
答案:-
8.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2a3a5a7a8)=5,则a1a9= .
解析:在各项均为正数的等比数列{an}中,
∵log2(a2a3a5a7a8)=log2=5log2a5=5,
∴a5=2,∴a1a9==4.
答案:4
9.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比.
解:设该数列的公比为q.
由已知,得
化简得解得(q=1舍去).
故首项a1=1,公比q=3.
10.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
分析:要求出等比数列中的某一项,可先求出其他一项和q,再利用an=amqn-m求解.
解:∵数列{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.
又a3+a7=20,
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
解方程,得t1=4,t2=16,
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.
当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5.∴q4=4.
∴a11=a3q8=4×42=64.
当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,
∴1+q4=.∴q4=.
∴a11=a3q8=16×=1.
综上可知,a11的值为64或1.
B组
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=6,则a1a2·…·a10等于( )
A.1 B.35
C.15 D.30
解析:由等比数列的性质,得a5a6=a4a7,
∵a5a6+a4a7=6,∴2a5a6=6,∴a5a6=3,
∴(a1a2·…·a10)2=(a5a6)10=310.
又等比数列{an}的各项均为正数,
∴a1a2·…·a10==35.
答案:B
2.(多选题)设{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,q是其公比,Kn是其前n项的积,且K5K8,则下列选项中成立的是( )
A.0B.a7=1
C.K9>K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
解析:根据题意,依次分析选项.
对于A,由K51,则q=∈(0,1),故A正确;
对于B,若K6=K7,则a7==1,故B正确;
对于C,{an}是各项为正数的等比数列,且q∈(0,1),K5K8>K9,得a6·q=1,K5=,K9=K6·a7·a8·a9=K6··q3,故>1,则有K9对于D,结合K5K8,可得D正确.
答案:ABD
3.已知各项均不为0的数列{an}满足=anan+2(n∈N*),若a3=1,a7=4a3,则a4a5a6=( )
A.±8 B.-8
C.8 D.16
解析:∵数列{an}满足=anan+2(n∈N*),
∴{an}是等比数列,∴a3,a5,a7同号.
∵a3=1,a7=4a3,∴a5==2,
∴a4a5a6==8.
答案:C
4.已知数列{an}为各项都为正数的等比数列,a1=1,S3=7,若a1a2a3·…·an=433,则n=( )
A.10 B.11
C.12 D.13
解析:由数列{an}为各项都为正数的等比数列,a1=1,
得S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7,
化简得q2+q-6=0,
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去);
又a1a2a3·…·an=433,
所以1×2×22×23×…×2n-1==266,即=66.
化简得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11,
所以n=12.
答案:C
5.已知-9,a1,a2,-1四个数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个数成等比数列,则b2(a2-a1)= .
解析:∵-9,a1,a2,-1四个数成等差数列,
∴-1=-9+3(a2-a1),解得a2-a1=.
∵-9,b1,b2,b3,-1五个数成等比数列,
∴=(-9)×(-1),且b2<0,解得b2=-3.
∴b2(a2-a1)=-3×=-8.
答案:-8
6.设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m= .
解析:∵{an}为等比数列,∴am-1am+1=,
∴am-1am+1-2am=-2am=0,得am=0(舍)或am=2.
又T2m-1==22m-1=128=27,
∴2m-1=7,得m=4.
答案:4
7.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得am·an=16,则的最小值为 .
解析:设正项等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=-1或q=2.
因为{an}是正项等比数列,所以q>0,因此q=-1不合题意,所以q=2.
因为aman=16,所以a1·2m-1·a1·2n-1=16,
所以2m+n-2=24,即m+n=6(m>0,n>0),
故+2+1=,
当且仅当,即m=,n=时,等号成立.
答案:
8.某工厂三年的生产计划是从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划每年的产值.
解:由题意得,原计划三年中每年的产值组成等差数列,
设为a-d,a,a+d(d>0),
则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.
又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列,
即(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].
将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d),
即d2+d-110=0.
解得d=10或d=-11(舍去).
原计划三年的产值分别为90万元,100万元,110万元.
9.已知数列{an}为等差数列,且公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:,…,,并恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求kn.
解:由题设有,即=a1a17,
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).
∴a1=2d或d=0(舍去).∴a5=a1+4d=6d,
∴等比数列的公比q==3.
∵是等差数列的第kn项,又是等比数列的第n项,
∴=a1+(kn-1)d=qn-1,∴kn=2·3n-1-1.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列
课后训练巩固提升
A组
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( )
A.- B.-2 C.2 D.
解析:∵{an}为等比数列,∴a5=a2·q3.
∴q3=,∴q=.
答案:D
2.若数列1,a,4,b2为等比数列,则a等于( )
A.-2 B.2
C.±2 D.±2
解析:根据题意,数列1,a,4,b2为等比数列,
则有解得a=2.
答案:B
3.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( )
A. B.log2
C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}
解析:由数列{an}是等比数列,设公比为q.
在A中,一定是等比数列,故A正确;
在B中,假设an=2n,则log2=log222n=2n,不是等比数列,故B错误;
在C中,an+an+1=an(1+q),当q=-1时,{an+an+1}不是等比数列,故C错误;
在D中,an+an+1+an+2=an(1+q+q2),{an+an+1+an+2}是等比数列,故D正确.
答案:AD
4.在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于( )
A.2 B.3 C. D.2
解析:在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则=q3=,公比q=2.
答案:A
5.已知1, ,…为等比数列,当an=8时,n等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:设等比数列的公比为q,由题可知,a1=1,q=,则an=qn-1=()n-1=8=()7,故n-1=7,n=8.
答案:C
6.已知等比数列{an}的各项都是正数,a5=1,a3a11=9,则{an}的公比q= .
解析:由题意可知q>0,∵a5=1,a3a11=9,
∴a9==9=a5q4=q4,解得q=.
答案:
7.在等比数列{an}中,an>0,a1-a5=90,a2-a4=36,则q= ;a5与a7的等比中项是 .
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由已知得
可得,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或q=.
若q=2,则a1=-6,不合题意,舍去,
若q=,则a1=96,故a5=96×=6,a7=a5q2=,a5与a7的等比中项为=3.
答案: 3
8.若三个不相等的实数a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c= .
解析:由题意得2b=a+c,①
c2=ab,②
由①得c=2b-a.③
将③代入②得a=b(舍去)或a=4b,
则c=2b-a=2b-4b=-2b.
a∶b∶c=4∶1∶(-2).
答案:4∶1∶(-2)
9.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)由题意得a2=,a3=.
(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,
得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,
因此an=.
10.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项;
(2)试问:-是这个等比数列中的项吗 如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由.
(1)证明:因为2an=3an+1,所以.
又a1≠0,故数列{an}是公比q=的等比数列.
因为a2·a5=,所以a1q·a1q4=,
即.
因为数列各项均为负数,则a1=-.
所以an=-=-.
(2)解:设an=-,由等比数列的通项公式,得-=-,即.
根据指数函数的性质,有4=n-2,即n=6.
因此-是这个等比数列的第6项.
B组
1.已知1,a,b,8是等比数列,则ab的值等于( )
A.1 B.4 C.8 D.16
解析:∵1,a,b,8是等比数列,∴,∴ab=8.
答案:C
2.在公差不为零的等差数列{an}中,若a2,a3,a6依次成等比数列,则其公比q等于( )
A. B. C.2 D.3
解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵a2,a3,a6依次成等比数列,
∴a3是a2与a6的等比中项,∴=a2·a6,
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),即d2+2a1d=0.
又d≠0,∴d=-2a1.
∴a2=a1+d=-a1,a3=a1+2d=-3a1.
又a1≠0,∴q==3.
答案:D
3.已知一个各项均为正数的等比数列,其任何项都是后面两项的和,则其公比是( )
A. B.
C. D.
解析:由已知得an=an+1+an+2,即a1qn-1=a1qn+a1qn+1,∴q2+q=1,解得q=.
∵q>0,∴q=.
答案:D
4.在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62,则通项an等于( )
A.2n-1 B.2n
C.2n+1 D.2n+2
解析:a1(1+q+q2+q3+q4)=31,①
由a2(1+q+q2+q3+q4)=62,
得q=2,代入①得a1=1,故an=2n-1.
答案:A
5.在6和768之间插入6个数,使它们组成共8项的等比数列,则这个等比数列的第6项是 .
解析:由条件得,768=6×q7,解得q=2.
故a6=6×25=192.
答案:192
6.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an= .
解析:当n=1时,S1=a1+,解得a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),∴an=-2an-1,即=-2,
∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,
∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.
答案:(-2)n-1
7.已知a>0,b>0,若a,2,b依次成等比数列,则a+4b的最小值为 .
解析:已知a>0,b>0,若a,2,b依次成等比数列,则ab=4,则a+4b≥2=4=8,当且仅当 a=4b=4时取等号,故a+4b的最小值为8.
答案:8
8.在数列{an}中,a1=5,an+1=2an+3(n∈N*).
(1)证明数列{an+3}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3).
又a1=5,∴a1+3=8.
∵an+3≠0,∴=2,
∴数列{an+3}是首项为8,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,an+3=8×2n-1=2n+2,∴an=2n+2-3.
9.已知三个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这三个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
解:由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d.
∵a-d+a+a+d=6,
∴a=2,即三个数分别为2-d,2,2+d.
①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),
解得d=6或d=0(舍去),此时三个数为-4,2,8.
②若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数为8,2,-4.
③若2为等比中项,则有22=(2+d)(2-d),
解得d=0(舍去).
综上可知,这三个数是-4,2,8.
