(共37张PPT)
4.4* 数学归纳法
第四章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
3.体会逻辑推理的过程,加强数学建模和数据分析的素养提升.
自主预习 新知导学
数学归纳法
【问题思考】
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).
请问:以上两个结论正确吗 为什么
提示:不正确,问题1是不完全归纳,第四名同学的到来与前面的同学没有关系.问题2中当n=1时成立,当n=2,3,4时不成立.
2.在学校,我们经常会看到一种现象:排成一排的自行车,如果一名同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下.试想:要使整排自行车倒下,则需要具备哪几个条件
提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下.
3.填空:数学归纳法的定义
一般地,证明一个与 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n= n0(n0∈N*) 时,命题成立;
(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
4.做一做:用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证( )
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
解析:由题知,n的最小值为3,故第一步验证当n=3时是否成立.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
(4)在用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
×
×
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
数学归纳法的原理
解析:结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1项,
答案:D
反思感悟 1.验证是基础:
找准起点,有些问题中验证的初始值不一定是1.
2.递推是关键:
数学归纳法的实质在于递推,故从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
【变式训练1】 (1)我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“当n=k时论断成立 当n=k+1时论断也成立”的过程中( )
A.必须运用假设
B.n可以部分地运用假设
C.可不用假设
D.应视情况灵活处理,A,B,C均可
(2)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= (n≥2,n∈N),验证当n=2时,左端的式子为 ;当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为 .
解析:(1)由“当n=k时论断成立 当n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.
当验证当n=2时,左端的式子为1+2+3+4.
当n=k时,等式左端=1+2+…+k2,
当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+(k+1)2,增加的项为(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.
答案:(1)A (2)1+2+3+4 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
探究二
用数学归纳法证明等式问题
【例2】 用数学归纳法证明:
1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).
证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.
反思感悟 在用数学归纳法证题时,利用假设是核心.
在第二步证明当n=k+1命题成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“当n=k时命题成立”作为条件来导出“当n=k+1时命题成立”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
即当n=k+1时,等式成立.
由(1)和(2)知,等式对任何n∈N*都成立.
【变式训练2】 用数学归纳法证明:
故当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对于n∈N*等式都成立.
探究三
用数学归纳法证明不等式
反思感悟 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些,方法更灵活些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)>g(k),求证f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:
(1)先凑假设,作等价变换;
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析,直到凑出结论.
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时,不等式成立,
故当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N*都成立.
探究四
归纳——猜想——证明
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
证明:①当n=1时,由(1)可知猜想成立;
即当n=k+1时猜想成立.
由①②可知猜想对任何n∈N*都成立.
反思感悟 1.本题中由当n=k时命题成立证明当n=k+1命题成立时,利用ak+1=Sk+1-Sk来寻找ak+1与ak的关系是证明的关键.
2.在证明与数列有关的问题时,一般要用到ak+1与ak或Sk+1与Sk的关系,在寻找它们之间的关系时,往往要用到已知条件和ak+1=Sk+1-Sk来建立等量关系.
【变式训练4】 设数列{an}满足a1=3,an+1= -2nan+2,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2,a3的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)利用数学归纳法证明上述猜想.
(1)解:∵数列{an}满足a1=3,an+1= -2nan+2,n=1,2,3,…,
∴a2=9-2×1×3+2=5,a3=25-2×2×5+2=7.
由此猜想数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)证明:用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,a1=2×1+1=3,成立;
②假设当n=k时猜想成立,即ak=2k+1,
则当n=k+1时,有ak+1= -2kak+2=(2k+1)2-2k(2k+1)+2=2k+3=2(k+1)+1,成立.
由①②可得,an=2n+1.
【易错辨析】
未应用归纳假设而致错
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知,等式对任意n∈N*都成立.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N*都成立.
防范措施 数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系,即当n=k时命题成立,当n=k+1时命题也成立,因此在证明当n=k+1命题成立时,要用上归纳假设才能说明“当n=k时命题成立则有当n=k+1时命题也成立”.
【变式训练】 已知n∈N*,求证:1×22-2×32+…+(2n-1)·(2n)2-2n·(2n+1)2 =-n(n+1)(4n+3).
证明:(1)当n=1时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边.
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立,
即1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).
则当n=k+1时,1×22-2×32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2
=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]
=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)
=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],
即当n=k+1时等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.
随堂练习
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= (a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边的项是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
答案:D
<5,……由此归纳第n个不等式为 ;要用数学归纳法证明该不等式,由当n=k(k≥1)时不等式成立,推证当n=k+1时,左边应增加的项数为 .
解析:第一空:∵不等式的右侧:2=1+1,3=2+1,4=3+1,……
左侧:每一个式子分别有:22-1,23-1,24-1,……项,每一个式子中最后一项的分
证明:①当n=1时,左边=3,右边=3,所以左边=右边.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,
所以当n=k+1时等式成立.
由①②知,对一切n∈N*,结论成立.
本 课 结 束4.4* 数学归纳法
课后训练巩固提升
A组
1.用数学归纳法证明1++…+<2-(n≥2)(n∈N*)时,第一步需要证明( )
A.1<2-
B.1+<2-
C.1+<2-
D.1+<2-
解析:第一步需验证第一个n值,应为n=2,此时不等式为1+<2-.
答案:C
2.已知f(n)=2+4+6+…+2n,则f(n+1)比f(n)多了( )
A.1项 B.n项
C.(n+1)项 D.2n-1项
解析:由题意,f(n)=2+4+6+…+2n(n∈N*),f(n+1)=2+4+6+…+2n+(2n+2)+…+2n+1,则f(n+1)-f(n)=(2n+2)+(2n+4)+…+2n+1,f(n+1)比f(n)多了2n-1项.
答案:D
3.已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*),若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时,p(k)也成立,则下列判断中正确的是( )
A.p(k)对k=2 004成立
B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立
D.p(k)对某些偶数可能不成立
解析:由题意,知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.故选D.
答案:D
4.用数学归纳法证明+…+(n≥2)的过程中,设f(k)=+…+,从n=k到n=k+1推理时,不等式的左边为( )
A.f(k)+
B.f(k)+
C.f(k)++…+
D.f(k)+
解析:当n=k时,左边=+…+,
当n=k+1时,左边=+…++…+,故第二步由k到k+1时不等式左边的变化是增加了f(k)++…+.
答案:C
5.若存在常数a,b,使等式1×22+2×32+…+n(n+1)2=(an+b)对n∈N*都成立,则a,b的值分别为 、 .
解析:因为存在常数a,b,使等式对所有的正整数都成立,所以当n=1,2时等式都成立,所以得a+b=8,2a+b=11,解得a=3,b=5.
答案:3 5
6.用数学归纳法证明1++…+1),第一步要证明的不等式是 .
解析:当n=2时,左边为1+=1+,右边为2.
故应填1+<2.
答案:1+<2
7.用数学归纳法证明+…+.假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
解析:观察不等式中各项的分母变化知,
当n=k+1时,+…+.
答案:+…+
8.用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)(n∈N*).
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+4+7+…+(3k-2)=k(3k-1).
那么当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]
=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=(k+1)(3k+2)=(k+1)[3(k+1)-1],
即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.
9.由下列式子:
1>,
1+>1,
1+,
1++…+>2,
……
猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明.
解:猜想:1++…+.
证明:(1)当n=1时,不等式成立;
(2)假设当n=k时,不等式成立,即1++…+,则当n=k+1时,左边=1++…++…++…+,其中+…+共有2k项,+…+,所以1++…++…++…+,即当n=k+1时,不等式成立,由(1)(2)可知,对任意n∈N*,不等式成立.
B组
1.某个命题与正整数n有关,如果当n=k+1(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k时命题也成立.现已知当n=2 019时该命题不成立,那么可推得( )
A.当n=2 020时该命题不成立
B.当n=2 020时该命题成立
C.当n=2 018时该命题不成立
D.当n=2 018时该命题成立
答案:A
2.用数学归纳法证明+…+>1,从n=k到n=k+1推理时,左边应增加的项是( )
A.+…+
B.
C.+…+
D.
解析:用数学归纳法证明+…+>1时,假设当n=k时不等式成立,左边=+…+,则当n=k+1时,左边=+…+,故由n=k递推到n=k+1时不等式的左边增加了+…+.
答案:A
3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是( )
A.f(k+1)=f(k)+k+1
B.f(k+1)=f(k)+k-1
C.f(k+1)=f(k)+k
D.f(k+1)=f(k)+k+2
解析:当n=k+1时,任取其中1条直线记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k).因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而当n=k+1时交点的个数是f(k+1)=f(k)+k.
答案:C
4.利用数学归纳法证明“1++…+1)”的过程中,由假设“当n=k时不等式成立”,推导“当n=k+1时不等式也成立”时,左边应增加的项数是( )
A.k B.k+1
C.2k D.2k+1
解析:当n=k(k>1,k∈N*)时不等式成立,即有1++…+答案:C
5.用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+n3=(n∈N*),则从n=k到n=k+1推理时左边应添加的项为 .
解析:用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n3=(n∈N*),当n=1时,左边的项是1;
假设当n=k时等式成立,左边为1+2+3+…+k3,
则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+k3+(k3+1)+…+(k+1)3,
故由n=k到n=k+1时需增添的项是(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.
答案:(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且Sn++2=an(n≥2),则S3= ;Sn= .
解析:由于a1=-,满足Sn++2=an(n≥2),
令n=2,则S2++2=a2,化为a1++2=0,
故-+2=0,解得S2=-.
令n=3,S3++2=a3,化为S2++2=0,即-+2=0.
解得S3=-.
猜想:Sn=-.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,S1=-,结论成立;
(2)假设当n=k时结论成立,即Sk=-,
当n=k+1时,Sk+1++2=ak+1=Sk+1-Sk,Sk+1=-=-=-.
即当n=k+1时,结论也成立.
由(1)(2)可得,对任意的正整数n,结论都成立.
答案:- -
7.已知函数f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N*).
(1)求f(n+1)-f(n);
(2)用数学归纳法证明f(n)=(-1)n·n.
(1)解:∵f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N*),
∴f(n+1)-f(n)=(-1)n+1(2n+1).
(2)证明:①当n=1时,f(1)=-1,成立.
②假设当n=k∈N*时成立,即f(k)=(-1)k·k,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k·k+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k+1·(2k+1-k)=(-1)k+1·(k+1).
故当n=k+1时等式也成立.
综上可得,对于任意n∈N*,f(n)=(-1)n·n.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an≥1,且4Sn=(an+1)2,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法予以证明.
解:(1)∵an≥1,且4Sn=(an+1)2,
∴当n=1时,(a1-1)2=1,
∴a1=1,
当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,
∴a2=3或a2=-1(舍),
当n=3时,4(4+a3)=(a3+1)2,
∴a3=5或a3=-3(舍),
∴a1=1,a2=3,a3=5.
(2)由(1)猜想an=2n-1,下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1,显然成立,
②假设当n=k时,结论成立,即ak=2k-1,
则当n=k+1时,由4Sk=(ak+1)2,有
4ak+1=4(Sk+1-Sk)=(ak+1+1)2-(ak+1)2,
∴-2ak+1-4k2+1=(ak+1-2k-1)(ak+1+2k-1)=0,
∴ak+1=2k+1或ak+1=-2k+1(舍),
∴n=k+1时结论成立.
由①②知,当n∈N*时,an=2n-1均成立.
