第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
第1课时 变化率问题、导数的概念
课后训练巩固提升
A组
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)从1到3的平均变化率是( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:=-1,故选B.
答案:B
2.如果质点A运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系是s(t)=-,那么该质点在t=3 s时的瞬时速度为( )
A.- B.
C.- D.
解析:Δs=s(3+Δt)-s(3)=-,该质点在t=3时的瞬时速度为,故选D.
答案:D
3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
解析:=a+b·Δx,
f'(x0)=(a+b·Δx)=a,故选C.
答案:C
4.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0.
∴f'(0)==-1.故选B.
答案:B
5.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上的一点,且y'=0,则点P的坐标为( )
A.(1,10) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(-1,10)
解析:Δy=3(x0+Δx)2+6(x0+Δx)+1-3-6x0-1=6x0·Δx+3(Δx)2+6Δx.
∵=6x0+3Δx+6=6x0+6=0,
∴x0=-1,于是y0=-2.故选B.
答案:B
6.如果函数f(x)在x=a处的导数为m,那么
= .
解析:∵=m,
=m,
∴
=
=
=m+m=2m.
答案:2m
7.设函数f(x)=x2+2x在x0处的导数等于0,则x0= .
解析:该函数在x0处的导数是f'(x0)==2x0+2,因为2x0+2=0,所以x0=-1.
答案:-1
8.过曲线y=f(x)=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k= .
解析:∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,
∴=2+Δx.
∴割线PQ的斜率为2+Δx.
当Δx=0.1时,割线PQ的斜率k=2+0.1=2.1.
答案:2.1
9.已知f(x)=(x-1)2,求f'(x0),f'(0).
解:令y=f(x).∵Δy=(x0+Δx-1)2-(x0-1)2=2x0·Δx-2Δx+(Δx)2,
∴=2x0-2+Δx.
∴f'(x0)=(2x0-2+Δx)=2x0-2.
把x0=0代入上式,得f'(0)=2×0-2=-2.
10.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求满足f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值.
解:由导数的定义知,f'(x0)==2x0,g'(x0)==3.
因为f'(x0)+2=g'(x0),所以2x0+2=3,即3-2x0-2=0.
解得x0=或x0=.
B组
1.已知函数f(x)=x2从x0到x0+Δx的平均变化率为k1,从x0-Δx到x0的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是( )
A.k1k2
C.k1=k2 D.无法确定
解析:由已知得k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx.
∵Δx可正可负且不为零,
∴k1,k2的大小关系不确定.
答案:D
2.设f(x)在x=x0处可导,且=1,则f'(x0)=( )
A.1 B.3 C. D.0
解析:∵=3=3f'(x0)=1,
∴f'(x0)=.故选C.
答案:C
3.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值为( )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
解析:f'(x)=
=
==-,
于是有-=-,解得m=±2.
答案:D
4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f'(x0)=4,则的值为 .
解析:=2=2=2f'(x0)=8.
答案:8
5.设函数y=f(x)=mx3+2,若f'(-1)=3,则m= .
解析:∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=m(-1+Δx)3+m=3m·Δx-3m(Δx)2+m(Δx)3,
∴=3m-3m·Δx+m(Δx)2.
∴f'(-1)=[3m-3mΔx+m(Δx)2]=3m.
由f'(-1)=3,即3m=3,得m=1.
答案:1
6.已知函数y=f(x)=x+,f'(1)=-2,则k= .
解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)+-1-k=Δx-,则=1-.
∵f'(1)=-2,∴=1-k=-2.∴k=3.
答案:3
7.建造一栋面积为x(单位:m2)的房屋需要成本y(单位:万元),且y是x的函数,y=f(x)=+0.3.求f'(100),并解释它的实际意义.
解:根据导数的定义,得f'(100)==
=
=0.105(万元/m2).
f'(100)=0.105表示当房屋的面积为100 m2时,成本增加的速度为1 050元/m2,也就是说当房屋的面积为100 m2时,面积每增加1 m2,成本就要增加1 050元.
8.柏油路是用沥青混合其他材料铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠的液体.如果开始加热后第x h时,沥青的温度(单位:℃)为
y=f(x)=
求开始加热后第15 min和第4 h时沥青温度的瞬时变化率.
解:∵15 min=0.25 h,且当0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,
∴==40+80Δx.
∴f'(0.25)=(40+80Δx)=40.
∵当1∴+=-(6+Δx).
∴f'(4)==-×6=-.
∴在开始加热后第15 min和第4 h时,沥青温度的瞬时变化率分别为40 ℃/h和- ℃/h.(共37张PPT)
第1课时 变化率问题、导数的概念
第五章
5.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解物理学和几何学中两类变化率问题,领会其中由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
2.理解函数平均变化率的含义,会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.理解导数(瞬时变化率)的概念,会用导数的定义求函数在某点处的导数.
4.通过对平均变化率及导数的定义的理解与运用,提高运算求解、直观想象与抽象概括的素养.
自主预习 新知导学
一、平均速度与瞬时速度
【问题思考】
(2)当Δt趋近于0时,问题(1)中的平均速度趋近于多少 怎样理解这一速度
提示:当Δt趋近于0时, 趋近于3g,即平均速度趋近于物体在t=3时的瞬时速度.
2.填空:
(1)平均速度
(2)瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
3.做一做:如果质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=3t2,那么质点A在t0=3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18
C.54 D.81
解析:∵s(t)=3t2,t0=3,
∴s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3×32=18Δt+3(Δt)2.
答案:B
二、函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率
【问题思考】
1.假设下图是一座山的剖面图,并建立如图所示的平面直角坐标系.设A是出发点,H是山的顶点,爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某游客的水平位置,函数值y=f(x)表示此时游客所在的高度,则点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).
(1)该游客从点A爬到点B,自变量x和函数值y的变化量分别是多少
提示:自变量x的变化量为x2-x1,记作Δx;函数值的变化量为y2-y1,记作Δy.
(2)由y的变化量的大小能否判断山路的陡峭程度
提示:不能.山路的陡峭程度也与自变量x的变化量有关.
(3)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度
2.填空:对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为 Δx ,y的变化量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0) .
(2)实质:函数值的变化量与自变量变化量的比值;
(3)作用:刻画函数值在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢.
3.填空:
函数平均变化率的几何意义:
4.想一想:平均变化率可以是零吗 举例说明.
提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
5.做一做:如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是 .
解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为 ,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
答案:[x3,x4]
三、函数f(x)在x=x0处的导数
【问题思考】
1.(1)函数在某点处的导数是一个变量还是一个定值
提示:是一个定值,是函数在该点的函数值的变化量与自变量的变化量比值的极限,不是变量.
(2)函数y=f(x)的导数处处为0,是否说明函数y=f(x)为常数函数
提示:是.
3.做一做:已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=( )
A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx C.-3 D.0
故选C.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(2)若物体以10 m/s的速度匀速前进,则在t=10 s时的瞬时速度也是10 m/s.
( )
(3)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关.( )
(4)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
×
√
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
瞬时速度
【例1】 以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t s时的高度为s(t)=v0t- gt2,求物体在t0时刻的瞬时速度.
若把例题中的“v0”改为“v0=20”,求物体在t=3 s时的瞬时速度.
故物体在t=3 s时的瞬时速度为20-3g.
反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤:
第一步,求时间变化量Δt和位置变化量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
第二步,求平均速度;
第三步,求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于常数v,即为瞬时速度.
求:(1)物体在3≤t≤5这段时间内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
【变式训练1】 若一物体运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函
数关系是s=
解:(1)因为物体在3≤t≤5这段时间内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在3≤t≤5这段时间内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为物体在t=0附近的平均速度为
即物体的初速度v0为-18 m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
因为物体在t=1附近的平均速度为
探究二
平均变化率
【例2】 分别求函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx都为 ,判断函数在哪一点附近的平均变化率最大.
解:f(x)在x=1附近的平均变化率为
反思感悟 求函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤:
(1)求自变量的变化量:Δx=x2-x1;
(2)求函数值的变化量:Δy=f(x2)-f(x1);
(3)作商求函数的平均变化率:
探究三
函数在某点处的导数
【例3】 已知函数y=f(x)=x2+3.求:
(1)f(x)在x=1处的导数;
(2)f(x)在x=a处的导数.
反思感悟 利用导数的定义求导数的三个步骤:
(1)求函数的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
简记为:一差,二比,三趋近.
【变式训练3】 求函数y=f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
∴f'(1)=6+a.
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:平均变化率 中的Δy是在自变量x的变化量为Δx时的变化量,它们是相对应的,若不一致,则会导致出错,如本例中自变量的变化量是(x0+2Δx)-x0=2Δx.
答案:C
防范措施 1.整体意识,即注意分子与分母的整体形式,注意整体调配.
2.注意培养数据分析和数学运算素养.
A.-2 B.2
C.-4 D.4
答案:D
随堂练习
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.42 B.0.41
C.0.43 D.0.44
解析:Δy=f(2.1)-f(2)=0.41.故选B.
答案:B
2.函数f(x)=x2-1从x0到x0+Δx的平均变化率为( )
A.2x0-1 B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1
答案:B
3.函数y=f(x)=x2+3x在x=2处的导数为 .
解析:∵y=f(x)=x2+3x,
从而函数在x=2处的导数为7.
答案:7
4.一个物体沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s=1-t+t2,则物体在t=3 s时的瞬时速度为 .
答案:5 m/s
解:根据导数的定义,
本 课 结 束
