第2课时 导数的几何意义
课后训练巩固提升
A组
1.如果曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线过点(-1,2),那么有( )
A.f'(2)<0 B.f'(2)=0
C.f'(2)>0 D.f'(2)不存在
解析:由题意知切线过点(2,3),(-1,2),所以切线的斜率k=f'(2)=>0.故选C.
答案:C
2.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则在f(x)的图象上A,B的对应点附近,有( )
A.A处下降,B处上升
B.A处上升,B处下降
C.A处下降,B处下降
D.A处上升,B处上升
解析:∵所给图象是导函数的图象,且点A处f'(x)<0,点B处f'(x)>0,
∴函数f(x)的图象在点A处的切线斜率小于0,在点B处的切线斜率大于0.故选A.
答案:A
3.已知曲线y=f(x)=x2+2x在某点处的切线的斜率是4,则该切点的横坐标为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x=x·Δx+(Δx)2+2Δx,
∴=x+Δx+2.
∴f'(x)==x+2.
设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=x0+2.
由已知x0+2=4,得x0=2.故选D.
答案:D
4.若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点P(1,3),则b等于( )
A.3 B.-3
C.5 D.-5
解析:∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上,
∴3=k+1,3=1+a+b,解得k=2,a+b=2.
∵y=x3+ax+b的导数为y'=3x2+a,
∴3×12+a=k=2,∴a=-1,b=3.故选A.
答案:A
5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
解析:由y'==(Δx+2x+a)=2x+a,
得y'|x=0=a.
因为切线的斜率为1,所以y'|x=0=a=1.
又因为点(0,b)在直线x-y+1=0上,所以b=1.
故选A.
答案:A
6.设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为 .
解析:由偶函数的图象和性质可知应为-1.
答案:-1
7.曲线y=f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为 .
解析:曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k==5.
∵f(1)=4,
∴切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-1.
答案:y=5x-1
8.已知P是抛物线y=x2上一点,且过点P的切线与直线y=-x+1垂直,则过点P的切线方程为 .
解析:设点P(x0,).由已知得过点P的切线的斜率k=y'=2x0=2,故x0=1,从而点P(1,1).
因此,过点P的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
答案:y=2x-1
9.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的大致图象如图所示,
其导数的大致图象如图所示,
则y=f(x)对应 ;y=g(x)对应 ;y=h(x)对应 .
解析:根据导数的几何意义求解.由于曲线y=f(x)在任一点处的切线斜率均小于0且保持不变,故y=f(x)对应B.
曲线y=g(x)在任一点处的切线斜率均小于0,且随x的增大,切线的斜率增大,且趋近于0.
故y=g(x)对应C.
曲线y=h(x)在任一点处的切线的斜率均大于0,且先小后大,故y=h(x)对应A.
答案:B C A
10.如果曲线y=f(x)=x2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行,求切点的坐标与切线方程.
解:∵切线与直线y=3x+4平行,∴切线的斜率为3.
设切点的坐标为(x0,y0),
则y'=
=
(Δx+2x0+1)=2x0+1,
∴2x0+1=3,可得x0=1.
将x0=1代入y=x2+x-3,得y0=-1,
∴切点的坐标为(1,-1).
∴切线的方程为y+1=3(x-1),即3x-y-4=0.
11.已知曲线y=x3上一点P,求:
(1)曲线在点P处的切线的斜率;
(2)曲线在点P处的切线方程.
解:(1)由y=x3,
得y'=
=
=[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=x2.
因为y'|x=2=22=4.
所以曲线在点P处的切线的斜率等于4.
(2)曲线在点P处的切线方程为y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.
B组
1.已知函数f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列数值大小比较正确的是( )
A.2f'(2)B.2f'(4)<2f'(2)C.2f'(2)<2f'(4)D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2)
解析:由导数的几何意义知,f'(2)为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率,f'(4)为曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线斜率,过点(2,f(2)),(4,f(4))的割线的斜率为.
由函数f(x)的图象易知f'(2)<答案:A
2.若曲线y=f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=( )
A.2 B.1
C.-1 D.±1
解析:∵f'(a)==3a2,
∴曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).
∴切线与x轴的交点为.
∴三角形的面积为·|a3|=,
解得a=±1.
答案:D
3.过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线的方程为( )
A.2x+y+3=0 B.3x-y+5=0
C.2x+y+1=0 D.x-y+1=0
解析:由于点(-1,0)不在抛物线y=x2+x+1上,故设切点坐标为(x0,y0).
∵y'=2x+1,∴切线的斜率为2x0+1.
又y0=+x0+1,
∴切线方程为y--x0-1=(2x0+1)(x-x0).
将点(-1,0)的坐标代入切线方程,得x0=0或x0=-2.
当x0=0时,y0=1;当x0=-2时,y0=3.
这时可以得到两条直线方程,经验证,只有D符合.
答案:D
4.下列点中,在曲线y=f(x)=x2上,且在该点处的切线的倾斜角为的是( )
A.(0,0) B.(2,4)
C. D.
解析:设该切点的坐标为(x0,f(x0)),
则f'(x0)=(2x0+Δx)=2x0=tan=1,可得x0=,
故该切点为.故选D.
答案:D
5.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-b=0,则实数a的值为 .
解析:y'|x=2=
=
=[6Δx+(Δx)2+12]=12.
由题意知a≠0,从而=12,得a=1.
答案:1
6.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 .
解析:∵y'|x=1==(2+3Δx)=2,
∴所求直线的斜率k=2.
∴直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
答案:2x-y+4=0
7.如图,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)= .
解析:∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,f(2)=-4+5=1,
∴f(2)+f'(2)=1+(-2)=-1.
答案:-1
8.求过点P(3,5),且与曲线y=x2相切的直线方程.
解:y'==2x.
由于点P不在曲线上,故设切点为A(x0,),x0≠3,则切线的斜率为y'=2x0.
∵所求切线过P(3,5)和A(x0,)两点,
∴y'=kPA,即2x0=,解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,切线方程分别为y-1=2(x-1),y-25=10(x-5),即y=2x-1,y=10x-25.
9.已知直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,求a的值及切点的坐标.
解:设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0).
设函数f(x)=y=x3-x2+1,
则f'(x)===3x2-2x.
由题意知,切线的斜率k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1.
于是切点的坐标为或(1,1).
当切点为时,由=-+a,得a=.
当切点为(1,1)时,由1=1+a,得a=0(舍去).
故a的值为,切点坐标为.(共38张PPT)
第2课时 导数的几何意义
第五章
5.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.
2.会求导函数.
3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线,并会求其方程.
5.通过对导数几何意义的理解与运用,进一步提高直观想象与运算求解的素养.
自主预习 新知导学
一、导数的几何意义
【问题思考】
1.如图,
(1)割线P0P的斜率k是多少
(2)割线P0P,P0P1,P0P2,P0P3,
哪条割线的斜率与P0T的斜率最接近
提示:割线P0P3.
2.填空:导数的几何意义.
(1)如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0,
3.做一做:已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)=( )
A.4 B.-4
C.-2 D.2
解析:由导数的几何意义,知f'(1)=2,故选D.
答案:D
二、导函数的概念
【问题思考】
1.函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)与它的导函数f'(x)相同吗 它们有什么区别与联系
提示:不相同.(1)两者的区别:由导数的定义,知f'(x0)是一个具体的值,f'(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在区间I上的一个新函数,所以两者的区别是:前者是数值,后者是函数.
(2)两者的联系:函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)是其导函数f'(x)在x=x0处的函数值.
2.填空:从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同.( )
(2)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不存在.( )
(3)y=f'(x)在x=x0处的函数值就是函数y=f(x)在x=x0处的导数值.( )
(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
×
×
√
√
×
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在区间[a,b]上单调递增,由导数的几何意义可知,函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上各点处的切线的斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.
答案:A
反思感悟 函数的单调性与导数的关系
(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)上任一点处的导数值都大于零,则y=f(x)的图象在区间(a,b)上呈上升趋势,y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,若函数y=f(x)在区间(a,b)上任一点处的导数值都小于零,则y=f(x)的图象在区间(a,b)上呈下降趋势,y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.当函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数值都等于零时,函数y=f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分.
(2)若f'(x)在区间(a,b)上单调递增,则f(x)的图象是向下凸的,如例1选项A中图象.若f'(x)在区间(a,b)上单调递减,则f(x)的图象是向上凸的,如例1选项B中图象.若f'(x)在区间(a,b)上是常数函数,则f(x)的图象是一条线段.
【变式训练1】 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是( )
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)=f'(xB)
C.f'(xA)D.f'(xA)与f'(xB)大小不能确定
解析:由y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导数的几何意义有f'(xA)>f'(xB).故选A.
答案:A
探究二
求曲线的切线方程
反思感悟 求曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程的方法
(1)求函数f(x)在x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0).
(2)列点斜式得出切线方程.
【例3】 求过点(-1,0)与曲线y=x2相切的直线方程.
因为点(-1,0)不在曲线上,所以设切点的坐标为(x0, x 0 2 ),则切线的斜率为k=2x0.
切线方程为y- x 0 2 =2x0(x-x0),代入(-1,0),得- x 0 2 =2x0(-1-x0),解得x0=0或x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;
当x0=-2时,切线的斜率k=-4,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-4(x+1),
即4x+y+4=0.
故所求切线方程为y=0或4x+y+4=0.
反思感悟 求曲线y=f(x)过某点的切线方程的方法
(1)设出切点M(x0,f(x0)),求函数f(x)在x0处的导数f'(x0),得切线的斜率k=f'(x0).
(2)写出过切点M的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),将已知点的坐标代入切线方程,列出关于x0的方程,解出x0的值,即得切点的坐标.
(3)根据x0的值求得切线方程.
【变式训练2】 曲线y=x2+x+1在点(1,3)处的切线方程是 .
∵点(1,3)在曲线上,
∴切线的斜率k=y'|x=1=2×1+1=3.
∴所求切线方程为y-3=3(x-1),即3x-y=0.
答案:3x-y=0
探究三
求切点的坐标
【例4】 已知抛物线y=2x2+1.
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
∴该切点的坐标为(1,3).
本例中条件不变,求抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0
解:∵切线与直线x+8y-3=0垂直,
∴切线的斜率为8.
∴x2=2,y2=9.
即所求点的坐标为(2,9).
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤:
(1)设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f'(x);
(3)求切线的斜率f'(x0);
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将x0代入曲线方程求出y0得切点坐标.
【变式训练3】 设P0为曲线f(x)=x3+x-2上一点,且曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,求点P0的坐标.
解:设P0(x0,f(x0)).
当x0=1时,y0=0;当x0=-1时,y0=-4,
∴点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).
【规范解答】
导数的几何意义的综合应用
【典例】 求曲线y= 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为
则曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
两条切线y=-x+2,y=2x-1与x轴所围成的图形如图所示,
反思感悟 导数的几何意义的综合应用
(1)导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点;
(2)导数的几何意义的综合应用题的解题关键是求函数在某点处的导数,即切线的斜率,注意结合相关知识(如函数、方程、不等式等)求解.
【变式训练】 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.求:
(1)直线l2的方程;
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b).
随堂练习
1.函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)是( )
A.在x=x0点的函数值的增量与自变量增量的比
B.一个函数
C.导函数f'(x)在x=x0处的函数值,是一个常数
D.函数在x=x0点到它附近一点之间的平均变化率
解析:由导数的定义知,应选C.
答案:C
答案:B
3.抛物线y=2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为 .
解析:y'=4x,k=y'|x=1=4.
答案:4
4.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y= x+2,则f(1)= ,f'(1)= .
(1)曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)斜率为4的曲线的切线方程.
∴曲线在点P(2,4)处的切线的斜率k=y'|x=2=4,
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.
可得切点为(-1,1),(2,4),切线的斜率为1,4.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
本 课 结 束
