5.2.2 导数的四则运算法则
课后训练巩固提升
A组
1.下列运算中正确的是( )
A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'
B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'
C.'=
D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'cos x
答案:A
2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于( )
A.-1 B.-2
C.2 D.0
解析:∵f'(x)=4ax3+2bx为奇函数,
∴f'(-1)=-f'(1)=-2.
答案:B
3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+ln x,则f'(e)=( )
A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e
解析:∵f(x)=2xf'(e)+ln x,∴f'(x)=2f'(e)+.
∴f'(e)=2f'(e)+,解得f'(e)=-.故选C.
答案:C
4.若函数f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-1,0)
解析:∵f(x)=x2-2x-4ln x,
∴f'(x)=2x-2-.
由f'(x)>0,得>0.
∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴x>2.故选C.
答案:C
5.曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
解析:当x=π时,y=2sin π+cos π=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.
∵y'=2cos x-sin x,
∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.
∴曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.
答案:C
6.已知一物体沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+,则该物体在t=2 s时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
解析:∵s'(t)=2t-,∴s'(2)=4-.
答案:D
7.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
解析:∵y'=aex+ln x+1,∴y'|x=1=ae+1=2.
∴ae=1,则a=e-1.
将点(1,1)代入y=2x+b,得b=-1.
答案:D
8.(多选题)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+ D.f(x)=ex+x
解析:对于A,f(x)=3cos x,其导数f'(x)=-3sin x为奇函数,图象不关于y轴对称,不符合题意;
对于B,f(x)=x3+x,其导数f'(x)=3x2+1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;
对于C,f(x)=x+,其导数f'(x)=1-为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;
对于D,f(x)=ex+x,其导数f'(x)=ex+1不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意.故选BC.
答案:BC
9.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为 .
解析:∵f'(x)=-f'sin x+cos x,
∴f'=-f',得f'-1.
∴f(x)=(-1)cos x+sin x.∴f=1.
答案:1
10.已知函数f(x)=ax+bex的图象在点P(-1,2)处的切线与直线y=-3x平行,则函数f(x)的解析式是 .
解析:由题意知f'(-1)=-3,即a+be-1=-3.①
由题意知f(-1)=2,即-a+be-1=2.②
由①②联立,解得a=-,b=-e.
故f(x)=-x-ex+1.
答案:f(x)=-x-ex+1
11.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a= .
解析:y'=4x3+2ax,因为曲线在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,
所以y'|x=-1=-4-2a=8,解得a=-6.
答案:-6
12.求下列函数的导数:
(1)y=xex;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=;
(4)y=xsin x-.
解:(1)y'=x'·ex+x·(ex)'=ex+xex=(1+x)ex.
(2)因为(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6.
所以y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.
(3)y'='=.
(4)y'=(xsin x)'-'=sin x+xcos x-.
13.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,求实数a,b的值.
解:函数f(x)=ax-的导数为f'(x)=a+,则y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为a+.
由题意知a+.①
切点为,将切点的坐标代入切线方程,得2a-.②
将①②联立,解得a=1,b=3.
B组
1.在一次降雨过程中,某地的降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在t=40 min时的瞬时降雨强度(降雨量的导数)为( )
A.20 mm B.400 mm
C. mm/min D. mm/min
解析:∵f'(t)=,∴f'(40)=.
答案:D
2.若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-2,则函数g(x)=x2+f(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为( )
A.5x-y-3=0 B.5x-y+3=0
C.x-5y+3=0 D.x-5y-3=0
解析:由函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-2,得f'(1)=3,f(1)=1.
∵函数g(x)=x2+f(x),
∴g'(x)=2x+f'(x),则g'(1)=2×1+f'(1)=2+3=5,g(1)=12+f(1)=1+1=2.
∴函数g(x)=x2+f(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.故选A.
答案:A
3.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),得a=1.
∴f(x)=x3+x.∴f'(x)=3x2+1.
∴f'(0)=1.∴切线方程为y=x.
答案:D
4.已知函数f(x)的图象如图所示,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
解析:由题图可知曲线y=f(x)在点(3,f(3))处切线的斜率为=-,所以f'(3)=-.
因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x).
所以g'(3)=f(3)+3f'(3).
又由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×=0.
答案:B
5.设函数f(x)=x3+x2+tan θ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[]
C.[,2] D.[,2]
解析:∵f'(x)=sin θ·x2+cos θ·x,
∴f'(1)=sin θ+cos θ=2sin.
∵θ∈,∴sin.
∴2sin∈[,2].
答案:D
6.设点P是曲线y=ex-x+上的任意一点,曲线在点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析:y=ex-x+的导数为y'=ex-.
由ex>0,可得切线的斜率k>-.
由tan α>-,且0≤α<π,得0≤α<<α<π.
答案:D
7.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
解析:∵y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
∴k=y'|x=0=3.
∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
答案:y=3x
8.若曲线y=xα+1(α∈Q,且α≠0)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .
解析:由题意得y'=αxα-1,则曲线在点(1,2)处的切线的斜率k=y'|x=1=α.
因为切线过坐标原点,所以k=α==2.
答案:2
9.曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为 .
解析:由y'=-sin x-,得y'|x=0=-.故切线方程为y-1=-x,即x+2y-2=0.
答案:x+2y-2=0
10.已知曲线y=f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0.
(1)求a,b的值;
(2)如果曲线y=f(x)在某点处的切线与直线l:y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
解:(1)f(x)=x3+ax+b的导数f'(x)=3x2+a.
由题意可得f'(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6,从而可得a=1,b=-16.
(2)因为切线与直线y=-x+3垂直,
所以切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),
则f'(x0)=3+1=4,解得x0=±1.
由f(x)=x3+x-16,可得y0=1+1-16=-14或y0=-1-1-16=-18,于是切点的坐标为(1,-14),(-1,-18).
故切线方程为y=4(x-1)-14,y=4(x+1)-18,
即y=4x-18,y=4x-14.
11.已知曲线C:y=x2-2x+3,直线l:x-y-4=0,在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最短,并求出最短距离.
解:作出曲线C与直线l的图象(图略)可知它们无公共点,所以平移直线l,使之与曲线C相切的切点即为点P,点P到直线l的距离最短.
设点P的坐标为(x0,y0).
∵y=x2-2x+3,
∴y'=2x-2.
由题意知y'=2x0-2=1,解得x0=,
∴y0=-2x0+3=.∴点P.
∴点P到直线l的距离d=.(共30张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
第五章
5.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能利用导数的运算法则求函数的导数.
2.通过导数的四则运算法则的应用,增强运算求解的数学素养.
自主预习 新知导学
导数的运算法则
【问题思考】
1.已知函数f(x)=x,g(x)=ln x.
(1)求f'(x),g'(x).
提示:f'(x)=1,g'(x)= .
(2)如何求函数Q(x)=x+ln x,H(x)=x-ln x的导数 跟问题(1)的结果有什么关系
2.填空:
(1)一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数,我们有如下法则:
[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) .
(2)对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商)的导数,我们有如下法则:
[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
由函数的乘积的导数法则可以得出:常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即[cf(x)]'= cf'(x) .
3.做一做:下列运算正确的是( )
对于D,(x2cos x)'=(x2)'cos x+x2(cos x)'=2xcos x-x2sin x,故错误.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)和的导数等于导数的和,差的导数等于导数的差.( )
(2)积的导数等于导数的积,商的导数等于导数的商.( )
(3)若f(x)=f'(a)x2+ln x(a>0),则f'(x)=2f'(a)x+ .( )
√
×
√
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的四则运算
【例1】 求下列函数的导数:
(1)f(x)=(x+2)(x-3);
(2)f(x)=lg x-3x;
解:(1)∵f(x)=x2-x-6,
∴f'(x)=(x2-x-6)'=2x-1.
反思感悟 应用导数的四则运算法则求函数的导数的技巧
(1)求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的求导.
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.
【变式训练1】 求下列函数的导数:
(1)y=x5-3x3-5x2+6;
(2)y=(2x2+3)(3x-2);
解:(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x.
(2)(方法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.
(方法二)∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,
∴y'=18x2-8x+9.
探究二
导数的运算及其几何意义
【例2】 求过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程.
若将本例改为求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程,结果会怎样
解:∵y'=3x2-2,
∴y'|x=1=1,即切线的斜率k=1.
∴曲线在点A处的切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.
反思感悟 1.求曲线的切线方程时一定要分清是求曲线在点P处的切线方程,还是求过点P与曲线相切的直线方程.
2.本题中点(1,-1)虽然在曲线上,但经过该点的切线不一定只有一条,即该点可能是切点,也可能是切线与曲线的交点.
【例3】 若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b= .
解析:函数y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a.
答案:1
反思感悟 与切线有关的参数问题的处理技巧
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
【变式训练2】 设函数f(x)= x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,求实数b,c的值.
解:由题意,得f'(x)=x2-ax+b,所以f'(0)=b=0.
综上所述,b=0,c=1.
探究三
导数运算法则的综合应用
【例4】 在抛物线y=-x2上求一点,使之到直线4x+3y-8=0的距离最小.
解:如图所示,作与直线4x+3y-8=0平行的直线l,当l与抛物线y=-x2相切时,切点P到直线4x+3y-8=0的距离最小.
反思感悟 导数的综合应用的解题技巧
导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现在综合大题中.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题,可以结合导数的几何意义去分析.
【变式训练3】 已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离.
解:作与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线,则切点P即为在已知曲线上到直线y=x-2的距离最小的点.
【规范解答】
求导公式及运算法则的综合应用
【典例】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值.
解:因为f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b.
所以f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),又函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,
反思感悟 1.求函数的导数必须熟记导数的运算法则,要特别注意常数、积和商的导数形式,不能把求导法则用错,如本例中正确应用幂函数的求导公式及加法求导法则.
2.函数f(x)在x=x0处的导数就是函数的图象在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k切线=f'(x0),其中,切点既在曲线上又在切线上,如本例的原点即切点.
【变式训练】 (1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程;
(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标.
解:(1)∵y'=ex+xex+2,
∴曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e0+0+2=3,
∴所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),
∵y'=3x2-10,∴3 -10=2,解得x0=±2.
又点P在第二象限内,∴x0=-2.
∵点P在曲线C上,∴y0=(-2)3-10×(-2)+3=15.
∴点P的坐标为(-2,15).
随堂练习
1.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为( )
解析:∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax.
又f'(1)=2,∴2a=2,∴a=1.故选A.
答案:A
2.函数y=xln x的导数是( )
解析:y'=x'·ln x+x·(ln x)'=ln x+x· =ln x+1.故选C.
答案:C
3.曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .
解析:由y=2ln x,得y'= ,
则曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线的斜率为k=y'|x=1=2.
故所求的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
答案:y=2x-2
4.已知曲线y1=2- 与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0= .
答案:1
5.已知偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.
解:∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.
又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,
∴切点为(1,-1).∴a+c+1=-1.①
∵切线的斜率为1,且f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.②
本 课 结 束
