5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
课后训练巩固提升
A组
1.若函数y=10x,则y'|x=1等于( )
A. B.10 C.10ln 10 D.
解析:∵y'=10xln 10,∴y'|x=1=10ln 10.
答案:C
2.已知函数f(x)=xn(n∈Q,且n≠0),且f'(-1)=-4,则n等于( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
解析:∵f'(x)=nxn-1,∴f'(-1)=n(-1)n-1=-4.
若(-1)n-1=-1,则n=4,此时满足(-1)n-1=-1;
若(-1)n-1=1,则n=-4,此时不满足(-1)n-1=1.
∴n=4.
答案:A
3.已知曲线y=x3在某点处的切线的斜率等于3,则曲线在该点处的切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
解析:由y'=3x2=3,得x=±1,则切点有两个,故切线有2条.
答案:B
4.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2 C.e D.
解析:由已知得y'=ex.根据导数的几何意义,可得切线斜率k=y'|x=0=e0=1.
答案:A
5.曲线y=f(x)=sin x在点(0,f(0))处的切线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
解析:∵y'=cos x,∴y'|x=0=cos 0=1.
设此切线的倾斜角为α,则tan α=1.
∵α∈[0,π),∴α=.故选D.
答案:D
6.若过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:由已知得y'=-.令-=-4,得x=±,则点P的坐标为.故选B.
答案:B
7.曲线y=f(x)=ln x在点(1,f(1))处切线的倾斜角为( )
A.1 B.- C. D.
解析:由y=ln x,得y'=.
∴切线的斜率k=y'|x=1=1.
∴切线的倾斜角α满足tan α=1.
∵0≤α<π,∴α=.故选C.
答案:C
8.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则点P的坐标为 .
解析:y'='=-2x-3,设点P(x0,y0),则-2=tan 135°=-1,解得x0=,从而y0=.
故点P的坐标为().
答案:()
9.在曲线y=(x<0)上求一点P,使得点P到直线x+2y-4=0的距离最小.
解:由题意知,平行于直线x+2y-4=0的直线与曲线y=(x<0)相切的切点即为所求.
设切点P(x0,y0),由y'=-,得y'=-.
∵直线x+2y-4=0的斜率为-,
∴-=-,解得x0=或x0=-.
∵x<0,∴x0=-,从而y0=-=-.
∴点P的坐标为.
10.证明:过曲线y=上的任一点P(x0,y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数.
证明:由y=,得y'=-.
所以过曲线y=上的点P(x0,y0)(x0>0)的切线的斜率k=y'=-.
所以过点P(x0,y0)的切线方程为y-y0=-(x-x0).
因为y0=,所以令x=0,得y=y0+;
令y=0,得x=2x0.
因此过点P(x0,y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×2x0×=2,是一个常数.
B组
1.若函数f(x)=logax的图象与直线y=x相切,则a的值为( )
A. B. C. D.
解析:设切点坐标为(x0,y0).
由f(x)=logax,得f'(x)=.
根据题意有解得x0=e,a=.故选B.
答案:B
2.正弦曲线y=sin x上有一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.[0,π)
C. D.
解析:∵(sin x)'=cos x,
∴直线l的斜率kl=cos x.
∴-1≤kl≤1.
又直线倾斜角的取值范围是[0,π),
∴直线l的倾斜角的范围是.故选A.
答案:A
3.若直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b= .
解析:设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0.
∵y'=(ln x)'=,∴y'.
由题意知,∴x0=2,y0=ln 2.
由ln 2=×2+b,得b=ln 2-1.
答案:ln 2-1
4.已知函数f(x)=a2(a为常数),g(x)=ln x,若2x[f'(x)+1]-g'(x)=1,则x= .
解析:因为f'(x)=0,g'(x)=,
所以2x[f'(x)+1]-g'(x)=2x-=1,
解得x=1或x=-.
又x>0,所以x=1.
答案:1
5.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0= .
解析:由y=x2-1,得y'=2x0;
由y=1-x3,得y'=-3.
由题意得2x0=-3,即3+2x0=0.
解得x0=0或x0=-.
答案:0或-
6.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是 .
解析:∵y'=,
∴切线方程为y-(x-a).
令x=0,得y=;令y=0,得x=-a.
由题意知·a=2,解得a=4.
答案:4
7.设坐标平面上的抛物线C:y=x2,过第一象限的点(a,a2)作抛物线C的切线l,则直线l与y轴的交点Q的坐标为 .
解析:显然点(a,a2)在抛物线C:y=x2上.
∵y'=2x,∴y'|x=a=2a.
∴直线l的方程为y-a2=2a(x-a).
令x=0,得y=-a2,
∴直线l与y轴的交点Q的坐标为(0,-a2).
答案:(0,-a2)
8.设曲线y=f(x)=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99的值为 .
解析:∵f'(1)=n+1,
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1.
令y=0,得xn=,
∴an=lg n-lg(n+1).
∴a1+a2+…+a99=lg 1-lg 100=-2.
答案:-2
9.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,求点P的坐标.
解:设f(x)=y=ex,则f'(x)=ex,所以f'(0)=1.
因此曲线y=f(x)=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
设g(x)=y=(x>0),则g'(x)=-.
设点P的坐标为(xP,yP),且xP>0.
由题意可得g'(xP)=-=-1,解得xP=1,则yP==1.所以点P的坐标为(1,1).
10.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点.试在抛物线的弧AB上求一点P,使△ABP的面积最大.
解:∵|AB|为定值,
∴三角形面积最大,只需点P到边AB的距离最大.
∴点P是平行于边AB的直线与抛物线相切的切点.
设点P(x0,y0),作出抛物线的大致图象,如下图,知点P在x轴上方的图象上,即点P在y=上,
∴y'=.
又kAB=,∴,解得x0=1,∴y0=1.
因此点P(1,1).(共30张PPT)
5.2.1 基本初等函数的导数
第五章
5.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握几个常用函数的导数,并能进行简单的应用.
2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.
3.通过基本初等函数的导数公式的简单应用,增强运算求解的数学素养.
自主预习 新知导学
一、几个常用函数的导数
【问题思考】
1.(1)请同学们回忆,根据导数定义求导数的步骤.
提示:第一步,求Δy=f(x+Δx)-f(x);
同理,可求得其他函数的导数.
2.填空:
3.想一想:正比例函数的图象有什么特点 与其导数的关系是什么
提示:正比例函数的图象是过原点的直线,其斜率为常数,故正比例函数的导数为常数,该常数是直线的斜率.
4.做一做:设y=e3,则y'等于( )
A.3e2 B.e2
C.0 D.以上都不是
解析:∵y=e3是一个常数,
∴y'=0.故选C.
答案:C
二、基本初等函数的导数公式
【问题思考】
1.利用函数y=x,y=x2的导数,猜想函数y=xn(n∈Q,且n≠0)的导数是什么
提示:函数y=xn(n∈Q,且n≠0)的导数是y'=nxn-1.
2.填空:
基本初等函数的导数公式:
(1)若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0;
(2)若f(x)=xα(α∈Q,且α≠0),则f'(x)=αxα-1;
(3)若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x;
(4)若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x;
(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)=axln a;特别地,若f(x)=ex,则f'(x)=ex;
3.做一做:函数y=lg x的导数为( )
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)常数函数的导数是它本身.( )
(2)正弦函数的导数是余弦函数,余弦函数的导数是正弦函数.( )
(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).( )
×
×
×
合作探究 释疑解惑
探究一
利用导数公式求函数导数
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=x8; (2)y= ;
(3)y=2x; (4)y=sin x.
解:(1)y'=(x8)'=8x8-1=8x7.
(3)y'=(2x)'=2xln 2.
(4)y'=(sin x)'=cos x.
反思感悟 求基本初等函数的导数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,先将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
【变式训练1】 求下列函数的导数.
探究二
利用导数公式求切线方程
【例2】 已知曲线y= ,求过曲线上某点与直线y=2x-4平行的切线方程.
反思感悟 1.曲线y=f(x)在点P处的切线只有一条,但过点P求曲线y=f(x)的切线时,点P不一定是切点,故应设出切点坐标,并求出切点坐标,有几个切点就有几条切线.
2.解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系:一是切点坐标满足曲线方程;二是切点坐标满足对应切线的方程;三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值.
【变式训练2】 已知曲线y= .求:
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)曲线过点Q(1,0)处的切线方程.
(1)因为点P(1,1)是曲线上的点,所以P为切点,
所求切线的斜率为函数y= 在x=1处的导数,即k=y'|x=1=-1.
所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.
探究三
导数的简单综合应用
【例3】 某质点沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=sin t,则质点在t= s时的速度为 m/s;质点运动的加速度为 m/s2.
∵v(t)=cos t,
∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t(m/s2).
反思感悟 导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的联系搭建了桥梁,很多综合应用问题我们可以数形结合,巧妙利用导数的几何意义,即切线的斜率,建立相应的含有未知参数的方程来解决.
(2)导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.
【变式训练3】 已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直 并说明理由.
解:不存在.理由如下:假设存在这两条曲线的一个公共点,其坐标为P(x0,y0),则这两条曲线在P(x0,y0)处的切线的斜率分别为k1=cos x0,k2=-sin x0.
若两条切线互相垂直,则cos x0·(-sin x0)=-1,即sin x0·cos x0=1,
也就是sin 2x0=2,这是不可能的.
故两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直.
【易错辨析】
因导数公式特征不明确而致错
【典例】 下列说法:
错解:①②③
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:求导时易出现的错误是解析式化简出错,符号处理不清,理解不到位,从而出错.
∵f(x)=x2,∴f'(x)=2x,
∴f'(3)=2×3=6,故③错;②正确.
答案:②
防范措施 对用根式形式表示的函数要先化成指数形式,再利用基本初等函数的求导公式求解.
【变式训练】 给出下列命题:
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:对于①,y'=0,故①错;
显然③,④正确,故选C.
答案:C
随堂练习
1.已知f(x)=log2x,则f(1)+f'(1)=( )
答案:D
2.函数f(x)=sin x,则f'(6π)= .
解析:因为f'(x)=cos x,所以f'(6π)=1.
答案:1
3.已知①y=f(x),②y=g(x),③y=h(x)都是物体运动的路程y关于时间x的函数,且f'(x)=1,g'(x)=2,h'(x)=3,则运动速度最快的是 .(填序号)
解析:由导数的几何意义知,①中,物体的瞬时速度为1,②中,物体的瞬时速度为2,③中,物体的瞬时速度为3,且都是匀速运动,故最快的是③.
答案:③
4.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
解:∵y=x2,∴y'=(x2)'=2x.
本 课 结 束
